楊貴福，劉魯濤

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

隨著科技的發(fā)展及人們生活水平的提高，民用小型無人機由于獲取便利、使用便捷而呈現(xiàn)爆發(fā)式增長。該類無人機在航拍、娛樂等領域已被廣泛應用，在帶來產(chǎn)業(yè)升級的同時，也帶來了在機場等禁飛區(qū)“黑飛”的各種安全威脅[1]。雷達系統(tǒng)是對該類無人機的管控與反制的常用手段之一，目標跟蹤作為其中非常重要的一環(huán)，成為了一個備受關(guān)注的研究課題。

雷達目標跟蹤是對目標的位置以及運動狀態(tài)等參數(shù)進行估計，形成目標的運動軌跡。對目標進行跟蹤過程中，噪聲、目標的機動情況等會影響跟蹤的結(jié)果。在雷達目標跟蹤研究的初期，通常采用卡爾曼濾波算法對目標的運動狀態(tài)進行估計和預測，建立起目標的運動軌跡。對于民用小型無人機這類的飛行器，由于受到人為操縱控制，并且自身運動性能不斷提高，其機動性越來越強。民用小型無人機運動狀態(tài)的復雜性和不確定性逐漸提高，這對雷達的跟蹤性能有了更高的要求?？柭鼮V波算法在目標運動狀態(tài)比較單一時有很好的跟蹤效果，當目標實施機動時(突然轉(zhuǎn)彎或加、減速等)，卡爾曼濾波算法對目標的跟蹤性能會下降[2]。為了提高對目標運動狀態(tài)描述的精確度，Blom 等[3]提出交互式多模型(interacting multiple model，IMM)結(jié)構(gòu)算法，該方法使用2 個或更多的運動模型來描述目標可能的運動狀態(tài)，最后通過有效地加權(quán)融合對目標運動狀態(tài)估計，很好地克服了單模型濾波算法估計誤差較大的問題。交互式多模型算法是一種具有馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率的結(jié)構(gòu)自適應算法[4]，目前在機動目標跟蹤領域得到了廣泛的應用。本文主要在IMM算法的基礎上，對其在單目標雷達數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)中的應用進行了分析和仿真。

1 交互式多模型算法

1.1 目標運動模型

在構(gòu)造目標的狀態(tài)方程之前，需要建立目標運動模型。目標運動模型是對目標運動特性的描述，是目標跟蹤的基本要素之一[5]。目標跟蹤性能的優(yōu)劣與目標運動模型建立的符合度有直接關(guān)系。目標運動模型的構(gòu)造需要盡量還原目標實際的運動情況，同時應盡量簡單以便進行數(shù)據(jù)處理。

假設在雷達探測范圍內(nèi)出現(xiàn)某種民用小型無人機在空中飛行，雷達系統(tǒng)將該無人機作為運動目標進行跟蹤探測。當目標在空中做勻速直線運動時，可選用勻速(constant velocity，CV)運動模型描述目標的這種運動狀態(tài)，這是目標跟蹤中最基本的一種運動模型[6]。

將運動目標在t時刻的位置分量、速度分量、加速度分量分別表示為x(t)、。因為目標做勻速直線運動，則=0。但運動目標會受到環(huán)境擾動帶來的隨機干擾，加速度具有隨機特性的擾動輸入，可以用連續(xù)時間白噪聲w(t)建模，并假設其服從均值為零的高斯分布，即

此時連續(xù)時間的狀態(tài)方程表示為[7]

式中：W(k)為過程噪聲，其為均值為零、協(xié)方差矩陣為Q的 高斯白噪聲序列；F(k)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其中T為采樣間隔。

當目標在空中做勻加速直線運動時，可選用勻加速(constant acceleration，CA)運動模型描述目標的這種運動狀態(tài)。此時加速度的一階導數(shù)考慮隨機干擾的情況，是具有隨機特性的擾動輸入，可以用白噪聲過程建模表示為

此時連續(xù)時間的狀態(tài)方程可表示為

狀態(tài)方程是對運動目標的觀測描述，而雷達系統(tǒng)對運動目標的觀測過程通過量測方程表示。線性系統(tǒng)的量測方程表示為

式中：Z(k)為量測向量；H(k)為量測矩陣；V(k)為量測噪聲序列，是對雷達在量測過程中存在誤差的模擬，一般設置為均值為零、協(xié)方差矩陣為R的高斯白噪聲。

1.2 算法原理

IMM 算法采用多個狀態(tài)空間模型同時對目標的可能行為模式進行描述，不同的狀態(tài)空間模型對應不同的卡爾曼濾波器[8]。IMM 算法的基本思想是：首先，在每一時刻通過對前一時刻所有濾波器的狀態(tài)估計值混合，得出與相應模型所匹配的濾波器初始條件；然后，對每個模型按照濾波算法的步驟并行處理；最后，用模型匹配似然函數(shù)更新的模型概率作為加權(quán)值，對每個濾波器的狀態(tài)估計值進行組合，得到的加權(quán)合并結(jié)果就是對目標狀態(tài)的估計[9]。本文設計的IMM 算法中模型集由CV 與CA 組成，模型個數(shù)為N。IMM算法的一般步驟及計算公式如下。

1)輸入交互。

對于算法模型集中的任意模型j(j=1,2,···,N)，由模型i(i=1,2,···,N)到模型j的混合概率為

式中：r為狀態(tài)空間模型個數(shù)；pij為模型i到模型j的轉(zhuǎn)移概率；μi(k)為當前時刻每個濾波器的模型概率。

模型j的混合狀態(tài)估計：

模型j的混合協(xié)方差估計：

2)對于模型j，進行卡爾曼濾波。

狀態(tài)預測：

預測誤差協(xié)方差：

殘差：

殘差協(xié)方差：

卡爾曼增益：

狀態(tài)更新：

預測誤差協(xié)方差更新：

3)模型概率更新。

采用似然函數(shù)更新模型概率μj(k)，模型j的似然函數(shù)為

模型j的概率更新為

式中c=

4)輸出融合

總的狀態(tài)估計：

總的協(xié)方差估計：

2 坐標轉(zhuǎn)換誤差分析

在許多雷達跟蹤系統(tǒng)中，目標的量測信息通常在極坐標系下獲得，但在笛卡爾直角坐標系中對目標運動狀態(tài)進行建模與跟蹤濾波處理，需要利用坐標變換的方法將極坐標下的量測值轉(zhuǎn)換成直角坐標形式。由于雷達在極坐標系下量測的數(shù)據(jù)中含有噪聲，轉(zhuǎn)換至直角坐標系下的數(shù)據(jù)有誤差存在，這成為雷達跟蹤系統(tǒng)必須考慮的問題[10]。

設二坐標雷達在極坐標系下對目標進行量測，得到的測量距離為rm，測量方位角為 θm，且有

式中：r為目標真實的距離；θ為目標真實的方位角；為相應的測量誤差，且其是不相關(guān)的零均值高斯分布，方差分別為

通過極-直坐標轉(zhuǎn)換，可得直角坐標系下目標位置的測量值為

由于式(1)與式(2)中包含了非線性轉(zhuǎn)換，如果直接將轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)作為跟蹤算法的目標觀測數(shù)據(jù)進行濾波，則得到的濾波估計結(jié)果為有偏估計[11]。因此需要對這種轉(zhuǎn)換的誤差進行分析，然后對誤差進行補償，得到目標觀測狀態(tài)的無偏轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)。

設xe、ye是直角坐標系的誤差，則有

按三角函數(shù)的和角公式展開得

同理可得：

因此，轉(zhuǎn)換后的直角坐標誤差(xe,ye)在真值(r,θ)條件下的均值為

以上是在真值(r,θ)條件下求取的均值，在工程實踐中無法直接應用。為了獲取能在實踐中使用的結(jié)果，在量測數(shù)據(jù)(rm,θm)的條件下求取xe和ye的均值。

在 μr中，用代換r，用代換θ，根據(jù)三角函數(shù)和差化積公式，可求得坐標轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換誤差為

因此，雷達量測數(shù)據(jù)坐標轉(zhuǎn)換的無偏轉(zhuǎn)換公式為

即直角坐標(xz,yz)是極坐標(rm,θm)的無偏轉(zhuǎn)換，μμ為坐標轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換誤差。

轉(zhuǎn)換誤差的協(xié)方差矩陣為[12]

式中：

3 單目標雷達數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)仿真

假定使用二坐標雷達對低空飛行的民用小型無人機進行觀測。目標的起始點為(500 m，2 000 m)，在t=0～50s 沿y軸以運動速度為-20 m/s 做勻速直線運動；在t=50～60 s 向x軸方向做90°的慢轉(zhuǎn)彎運動，加速度ax=ay=2 m/s2，完成慢轉(zhuǎn)彎后加速度將降為零；在t=60～66 s 沿x軸做勻速運動；從t=66s 開始做 90°的快轉(zhuǎn)彎運動，加速度為5 m/s2；在t=70s 結(jié)束轉(zhuǎn)彎，加速度降為零；在t=70～110 s沿y軸做勻速直線運動。雷達掃描周期T=2 s，目標距離與方位角測量噪聲的標準差分別為σr=10 m，σθ=1°。轉(zhuǎn)換誤差的協(xié) 方差矩陣為

IMM 濾波算法采用3 個模型對目標的運動狀態(tài)進行描述：第一個模型是非機動的CV 模型，過程噪聲的方差為零；第二、三個模型均為CA 機動模型，但過程噪聲的方差不同，第二個模型的過程噪聲方差為Q=0.001I2×2，第三個模型的過程噪聲方差為Q=0.011 4I2×2?？刂颇Ｐ娃D(zhuǎn)換的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

設定各模型的模型概率初始值分別為μ1=0.5、μ2=0.25、μ3=0.25。

定義濾波誤差的均值為

定義濾波誤差的標準差為

式中：M為蒙特卡洛模擬次數(shù)；k=1,2,···,N，N為采樣次數(shù)。

進行1 000 次蒙特卡洛仿真實驗，得到運動目標在極坐標下的真實軌跡、觀測軌跡及一次濾波估計結(jié)果曲線，如圖1—圖3 所示。其中，圖3 濾波估計結(jié)果是在無偏坐標轉(zhuǎn)換的條件下得出的。

圖1 目標真實軌跡

圖2 目標觀測軌跡

圖3 目標估計軌跡(一次濾波曲線)

從圖3 中可以看出，無論目標在非機動還是機動狀態(tài)，濾波軌跡相對于觀測軌跡更加接近于目標真實軌跡，具有較好的濾波效果，說明了IMM算法能夠?qū)崿F(xiàn)對雷達單目標進行有效的跟蹤。

IMM 算法的濾波過程包括了對目標狀態(tài)原始數(shù)據(jù)初始化、目標狀態(tài)預測及目標狀態(tài)更新。在極坐標下對目標距離、方位角濾波過程的誤差分析曲線如圖4 所示。

圖4 極坐標下濾波誤差分析曲線

圖4 曲線表示了濾波過程中的誤差。目標觀測狀態(tài)是由雷達系統(tǒng)測量得到的，通過初始誤差曲線可以看出，在各個時刻目標量測誤差都較大。預測誤差曲線是由IMM 算法對目標狀態(tài)的預測所形成的，當目標處于機動狀態(tài)時，IMM 算法的預測結(jié)果會出現(xiàn)較大的誤差。在濾波過程中IMM 算法利用觀測數(shù)據(jù)對預測狀態(tài)進行修正。對比預測誤差曲線與更新誤差曲線可以看出：在目標機動時濾波得到的目標狀態(tài)估計結(jié)果比預測結(jié)果的誤差要小；當目標狀態(tài)由機動轉(zhuǎn)換至非機動時，目標狀態(tài)估計誤差會趨近于零。

在極坐標下，方位角濾波誤差標準差曲線和距離誤差標準差曲線如圖5 和圖6 所示。

圖5 極坐標下方位角誤差標準差

圖6 極坐標下距離誤差標準差

圖5 是在極坐標下對方位角誤差標準差的分析曲線。分別將方位角在測量、有偏估計和無偏估計的條件下進行濾波誤差標準差分析。方位角測量值的誤差標準差約為1°，與仿真條件中設置的方位角量測噪聲標準差相符。對量測值進行極-直坐標轉(zhuǎn)換，通過交互式多模型算法對轉(zhuǎn)換結(jié)果進行濾波處理，得到的方位角估計誤差標準差約為0.7°。由于量測值直接進行坐標轉(zhuǎn)換存在轉(zhuǎn)換誤差，因此對轉(zhuǎn)換誤差補償之后再用濾波算法處理，得到的方位角無偏估計誤差標準差約為0.55°，這比測量值與有偏估計值更加接近于目標運動狀態(tài)的真實值。

同樣，由圖6 可以看出，在極坐標下距離測量誤差標準差約為10 m，量測值通過坐標轉(zhuǎn)換及濾波處理后，距離的有偏估計誤差標準差約為6.5 m，而對坐標轉(zhuǎn)換誤差補償之后濾波得到的距離誤差標準差稍小，說明無偏估計結(jié)果更精確一些。目標在第二次轉(zhuǎn)彎時要比第一次轉(zhuǎn)彎更急，因此在誤差標準差曲線上產(chǎn)生了更大的波動；在濾波進入穩(wěn)定狀態(tài)之后，誤差標準差又減小，這體現(xiàn)出IMM 算法受目標機動的影響很小。

為了比較交互式多模型算法與卡爾曼濾波算法對雷達目標的跟蹤性能，分別將雷達目標的量測值使用這2 種算法進行濾波處理，得到目標位置估計結(jié)果在極坐標下的估計誤差如圖7 所示。

圖7 極坐標下估計誤差曲線

由圖7 的估計誤差曲線可以看出：雷達目標在初始階段的勻速運動狀態(tài)下，交互式多模型算法與卡爾曼濾波算法的估計誤差都比較??；但目標進行機動運動之后，卡爾曼濾波算法對目標機動的適應性較低，因此估計誤差逐漸增大，使其失去對目標跟蹤的能力，而交互式多模型算法對機動目標有很好的適應性，得到估計結(jié)果的誤差較小，能夠?qū)崿F(xiàn)對目標進行有效跟蹤。

為了分析交互式多模型算法在實際應用時的可行性，在外場環(huán)境實驗中，將低空飛行的大疆公司小型無人機作為雷達目標，利用線性調(diào)頻連續(xù)波雷達對該目標進行觀測，無人機在一個運動過程通過實測數(shù)據(jù)形成的目標運動軌跡如圖8 所示。

圖8 實測數(shù)據(jù)形成的目標運動軌跡

無人機在這個運動過程中通過飛行記錄所顯示的目標真實運動軌跡如圖9 所示。

圖9 飛行記錄顯示的無人機運動軌跡

通過卡爾曼濾波算法與交互式多模型算法對雷達目標實測數(shù)據(jù)進行跟蹤濾波處理，得到的濾波估計結(jié)果所形成的目標運動軌跡如圖10 所示。由圖10 可以看出，卡爾曼濾波算法的濾波估計軌跡出現(xiàn)了很大的偏差，交互式多模型算法的濾波估計軌跡與目標飛行記錄顯示的運動軌跡比較符合。這是由于卡爾曼濾波算法在濾波過程中只通過單一模型對目標的運動狀態(tài)進行估計，但是無人機的真實運動狀態(tài)會出現(xiàn)機動情況，只通過單一模型不能概括目標所有的運動狀態(tài)，使得濾波結(jié)果會出現(xiàn)較大的誤差，還可能出現(xiàn)濾波發(fā)散的現(xiàn)象。交互式多模型算法能夠采用多個目標運動模型對目標的運動狀態(tài)進行濾波估計，因此在目標出現(xiàn)機動運動狀態(tài)時該濾波算法能實現(xiàn)對目標運動狀態(tài)的估計，并且濾波誤差較小。

圖10 目標的濾波估計軌跡

4 結(jié)論

本文對交互式多模型算法在雷達單目標跟蹤中的應用情況進行了描述。針對民用小型無人機的跟蹤問題，對目標的運動模型進行介紹，分析了量測數(shù)據(jù)坐標轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換誤差，并給出無偏坐標轉(zhuǎn)換公式。通過蒙特卡洛仿真實驗對交互式多模型算法在機動目標跟蹤時的跟蹤性能進行分析，仿真結(jié)果表明，濾波估計軌跡相對于觀測軌跡更加接近于目標真實軌跡，并且不會有大的偏差，實現(xiàn)了對機動目標的跟蹤能力，證明了算法估計的有效性。

通過外場環(huán)境實驗所得到的實測數(shù)據(jù)對卡爾曼濾波算法與交互式多模型算法的目標跟蹤性能進行比較，實測數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明交互式多模型算法能夠?qū)崿F(xiàn)對雷達單目標進行有效的跟蹤，說明了該算法在雷達目標跟蹤過程的實用性，體現(xiàn)出一定的工程應用價值。