程文明 張道裕 諶慶榮 翟守才

(西南交通大學 機械工程學院∥軌道交通運維技術(shù)與裝備四川省重點實驗室,四川 成都 610031)

橋門式起重機因負載能力強、場地利用率高、操作靈活、通用性強等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和物流環(huán)節(jié)中。橋門式起重機系統(tǒng)的獨立控制量數(shù)目少于系統(tǒng)自由度[1- 2]，為典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，其欠驅(qū)動特性給控制帶來了難度。吊重通過鋼絲繩與起重小車相連，起重小車到達目標位置后吊具及吊重會存在一定程度的殘余擺動，這使得貨物難以精確定位，不但降低了工作效率，而且?guī)砹税踩[患。因此，對橋門式起重機防搖擺控制策略的研究具有現(xiàn)實意義。

總體而言，起重機的防搖擺控制策略可分為開環(huán)控制和閉環(huán)控制兩大類[3]。開環(huán)控制不依賴小車位置、吊重擺角等系統(tǒng)運行中的實時參數(shù)的獲取，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，但其往往需要精確的系統(tǒng)模型才能實現(xiàn)良好的控制效果，一般魯棒性較差。針對起重機防搖擺的開環(huán)控制方法主要有輸入整形控制和離線軌跡規(guī)劃等。文獻[4]提出一種經(jīng)優(yōu)化算法優(yōu)化的階躍輸入加速度函數(shù)，通過優(yōu)化算法保證系統(tǒng)對鋼絲繩繩長變化具有較低的敏感性，一定程度上解決了傳統(tǒng)輸入整形技術(shù)魯棒性較低的問題；文獻[5]采用相平面分析法研究3種起重機小車加速度曲線對吊重殘余擺動的影響，得到一種基于吊重等效能量控制的起重機小車動態(tài)加速度運動軌跡曲線；文獻[6]針對具有復(fù)雜雙擺效應(yīng)的起重機系統(tǒng)提出一種解析軌跡規(guī)劃方法，將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題，能保證小車定位和擺動抑制的雙重控制目標。閉環(huán)控制依賴小車位置、吊重擺角等系統(tǒng)運行中的實時參數(shù)的反饋，控制系統(tǒng)較復(fù)雜，但具有較好的魯棒性。針對起重機防搖擺的閉環(huán)控制方法主要有PID控制、自適應(yīng)控制和滑?？刂频?。文獻[7]提出一種新型軌跡跟蹤方法，先對起重機動力學方程進行部分反饋線性化，隨后進行一系列坐標變換，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造非線性控制器;文獻[8]提出了一種具有滑?？刂平Y(jié)構(gòu)的增強PD控制器，滑模部分用于構(gòu)造控制器框架，PD部分用于穩(wěn)定系統(tǒng)，控制器設(shè)計不依賴系統(tǒng)參數(shù)，控制效果較好且魯棒性強；文獻[9]提出一種新型自適應(yīng)分層滑?？刂破鳎浞椒梢允构潭ǖ幕１砻嫣幱诨顒訝顟B(tài)以搜索狀態(tài)軌跡，進而使系統(tǒng)狀態(tài)盡快進入所需的滑動表面，跟蹤精度高，魯棒性強；文獻[10]針對三維橋式起重機模型提出基于滑?？刂?SMC)的魯棒有限時間防搖擺跟蹤控制方法，分別實現(xiàn)了位置跟蹤、防偏和防擺控制，控制器能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)及初始條件的變化；文獻[11]針對旋轉(zhuǎn)起重機防擺問題提出含非線性滑模面的控制算法，非線性滑模面帶來的系統(tǒng)可變阻尼比使得系統(tǒng)具有較快的響應(yīng)速度與較小的超調(diào)，防擺控制效果良好。

隨著智能算法的發(fā)展，模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等展現(xiàn)出對未知非線性函數(shù)的擬合能力，這為系統(tǒng)參數(shù)完全或部分未知的起重機系統(tǒng)控制提供了新思路，出現(xiàn)了智能算法與傳統(tǒng)控制理論結(jié)合下的新型控制器。文獻[12]針對集裝箱起重機的防搖擺控制，利用模糊算法設(shè)計滑?？刂频目刂破髟鲆妫行П苊饬讼到y(tǒng)抖振的出現(xiàn)；文獻[13]將PID控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償結(jié)合在一起，使得系統(tǒng)能在取得較小的穩(wěn)態(tài)誤差的情況下依然保持良好的瞬態(tài)性能，為線性PID控制器增益選擇提供新思路；文獻[14]提出一種純神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器，控制器輸入僅需要小車位置及速度信息，無需模型信息，跟蹤效果良好；文獻[15]提出了一種塔式起重機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模防擺控制方法，利用RBF(徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出逼近系統(tǒng)的不確定項，并運用遺傳算法優(yōu)化滑?？刂破鞯膮?shù)，系統(tǒng)控制性能良好。

本文針對二維雙擺橋門式起重機的防搖擺軌跡跟蹤控制問題，提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直接魯棒自適應(yīng)控制算法。該算法利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能以任意精度逼近未知復(fù)雜非線性函數(shù)的特性[14- 17]，使用其構(gòu)造控制器輸出，隨后基于Lyapunov理論證明了目標控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后通過仿真實驗驗證了方法的有效性與魯棒性。

1 雙擺橋門式起重機動力學建模

橋門式起重機實際模型較為復(fù)雜，進行起重機動力學建模時需對其進行簡化，本文在合理的范圍內(nèi)做出以下假設(shè)：①模型為二維，僅考慮吊重與吊鉤在小車運行方向上的擺動；②不考慮空氣阻力；③不考慮吊重的起升與下降以及鋼絲繩變形，視鋼絲繩長為常數(shù)；④吊鉤及吊重視為質(zhì)點；⑤吊鉤與吊重在平衡點附近擺動；⑥起重小車質(zhì)量有界；⑦僅考慮作用于起重小車的系統(tǒng)外界擾動，且擾動有界。

簡化后的起重機模型示意圖如圖1所示，其中x為小車位置；θ1、θ2分別為吊鉤和吊重擺動角度；mt、mh、mp分別為小車、吊鉤、吊重質(zhì)量；l1、l2分別為小車與吊鉤間、吊鉤和吊重間鋼絲繩長度；u為控制輸出；d(t)為作用于小車上的有界外界隨機擾動；g為重力加速度。取系統(tǒng)廣義坐標q=[xθ1θ2]T，根據(jù)第二類拉格朗日能量方程構(gòu)造的系統(tǒng)動力學微分方程如下[9]：

(1)

圖1 二維雙擺橋門式起重機模型簡圖

由于假設(shè)吊鉤及吊重是在平衡點附近擺動的，故擺角θ1、θ2較小，可做如下線性化簡化[14]：

(2)

將式(2)代入式(1)可得：

(3)

2 控制器設(shè)計

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，泛化能力強，研究表明其能以任意精度逼近未知非線性函數(shù)[14- 17]。圖2所示為n-m- 1結(jié)構(gòu)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)有3層：輸入層、隱含層和輸出層。隱含層神經(jīng)元激活函數(shù)為徑向基函數(shù)，形式如下：

(4)

式中：X=[x1x2…xn]T,為網(wǎng)絡(luò)的輸入；cj為隱含層第j個神經(jīng)元高斯基函數(shù)中心向量，與輸入向量同維；bj為隱含層第j個神經(jīng)元高斯基函數(shù)寬度。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值為

w=[w1w2…wm]T。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層輸出為

h=[h1h2…h(huán)m]T。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出為

y=wTh=w1h1+w2h2+…+wmhm

(5)

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

2.2 控制律設(shè)計

由式(3)可得：

(6)

對跟蹤誤差函數(shù)s求時間的一階導數(shù)可得：

(7)

不考慮外界擾動時，引入跟蹤誤差函數(shù)s構(gòu)造魯棒項，可設(shè)計理想控制律如下：

(8)

式中，η為正常數(shù)。

將理想控制律代入式(7)得：

(9)

不考慮系統(tǒng)參數(shù)未知及外界擾動的情況下，構(gòu)造系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)如下：

(10)

對L*求時間的一階導數(shù)可得：

(11)

u*=w*Th(X)+ε

(12)

(13)

因理想控制律設(shè)計未考慮外界擾動影響，為使系統(tǒng)在外界擾動作用下仍保持穩(wěn)定，需要設(shè)計合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律，文中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律取

(14)

式中，γ為自適應(yīng)增益，γ>0，δ>0。

2.3 控制律的穩(wěn)定性證明

將控制律式(8)、(12)、(13)代入式(7)可得：

(15)

(16)

對L求時間的一階導數(shù)得：

(17)

將權(quán)值自適應(yīng)律代入式(17)，得：

(18)

(19)

由基本不等式可得：

(20)

將式(19)、(20)代入式(18)，可得

(21)

(22)

夜色已經(jīng)降臨，萬花谷里燈火繁盛，空氣里滿是初荷與金合歡花交會的清甜香氣，小鯤金聲玉振地長吟，載著四人往高高的摘星樓飛去，摘星樓之上，暮紫的回光里，燦燦長庚星領(lǐng)著群星正在冉冉浮現(xiàn)。

解不等式(22)可得：

(23)

(24)

3 仿真與分析

3.1 跟蹤軌跡選取

為評估上文所提出的小車控制律的控制效果，需要選取一個能使小車快速、平穩(wěn)到達目標位置的理想軌跡來驗證其跟蹤性能，本文小車運行軌跡的選擇參考文獻[14,20- 21]，軌跡表達式如下：

(25)

式中，pd為目標位置參數(shù)；ka、kv分別為最大容許加速度與最大容許速度參數(shù)；?為軌跡初始加速度參數(shù)。文中取pd=20，ka=0.5，kv=3，?=5。

3.2 控制器參數(shù)設(shè)置

3.3 對比實驗與分析

為驗證本文所提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直接魯棒自適應(yīng)控制器(下文簡稱DRAC)的控制性能，利用Matlab Simulink對其進行仿真，同時取Ouyang等[9]提出的一種自適應(yīng)分層滑模控制器(下文簡稱AHSMC)作為參照，其控制律如下：

(26)

(i=1,2,3)

控制器增益具體取值如下：λ1=0.01，λ2=0.01，η′=8，κ=440，δ′=44。

假定對照實驗控制對象為同一起重機，目標起重機基本參數(shù)如下：mt=1 000 kg，mh=100 kg，l1=2 m，l2=1 m。

選取工況1和工況2進行DRAC和AHSMC的對比實驗，其中工況1的mp=500 kg，工況2的mp=5 000 kg。

取零初始狀態(tài)下的系統(tǒng)進行仿真驗證，定義θ1res、θ2res為吊鉤、吊重在小車到達目標位置后10 s內(nèi)的最大殘余擺角。對比實驗仿真結(jié)果見圖3-6和表1。

由對比實驗仿真結(jié)果可知，工況1下，DRAC與AHSMC對目標軌跡的跟蹤效果都比較好，小車到達預(yù)定位置后吊鉤與吊重殘余擺動較小，系統(tǒng)能快速進入穩(wěn)定狀態(tài)。兩控制器作用下的控制器輸出(控制力)、吊鉤殘余擺角、吊重殘余擺角相似，但DRAC的最大小車位置跟蹤誤差較小，兩控制器的最大跟蹤誤差分別為0.001 7和0.010 5 m，且DRAC使跟蹤誤差收斂于0 m的表現(xiàn)優(yōu)于AHSMC；工況2下，DRAC仍能保持良好的跟蹤效果，小車最大位置跟蹤誤差及吊鉤、吊重殘余擺動較??；AHSMC的跟蹤效果有一定的下降，小車最大位置跟蹤誤差較工況1由原先的0.010 5 m增長到0.181 1 m，增加較多，吊鉤及吊重分別存在0.463°和0.466°的殘余擺動，其控制效果在吊重增加后有一定的削弱。

圖3 工況1的跟蹤效果對比圖

圖4 工況1的控制力及防擺效果對比圖

圖5 工況2的跟蹤效果對比圖

圖6 工況2的控制力及防擺效果對比圖

表1 DRAC和AHSMC對比實驗仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of comparative experiment of DRAC and AHSMC

結(jié)合上述仿真結(jié)果，對比AHSMC，DRAC具有如下優(yōu)勢：①控制器設(shè)計不需要具體系統(tǒng)參數(shù)值，僅需要小車位置及速度信息作為控制輸入，不需要擺角信息的實時反饋，整體控制器結(jié)構(gòu)較為簡單；②控制效果隨系統(tǒng)參數(shù)變化無明顯改變，魯棒性較強。

3.4 魯棒性實驗與分析

工況1、2的仿真結(jié)果表明DRAC對吊重的變化具有較強的魯棒性，為進一步探究起重機系統(tǒng)參數(shù)及外部隨機擾動對DRAC控制效果的影響，取如下幾個工況進行仿真分析。

工況3：mt=2 000 kg，mh=200 kg，mp=5 000 kg，l1=2 m，l2=1 m。

工況4：mt=1 000 kg，mh=100 kg，mp=5 000 kg，l1=1 m，l2=2 m。

工況5：mt=1 000 kg，mh=100 kg，mp=5 000 kg，l1=2 m；l2=1 m，d(t)=100 sintN。

以工況2為參考，工況3探究小車及吊鉤質(zhì)量變化對控制器控制效果的影響，工況4探究鋼絲繩長變化對控制器控制效果的影響，工況5探究外界隨機擾動對控制器控制效果的影響，且定義的隨機擾動為幅值100 N的正弦波函數(shù)。DRAC魯棒性實驗結(jié)果見圖7-8和表2。

由DRAC魯棒性實驗結(jié)果可知，工況3、4、5下，DRAC都對目標軌跡具有較好的跟蹤效果。小車位置跟蹤誤差、吊鉤殘余擺角、吊重殘余擺角這些能體現(xiàn)跟蹤性能和防擺效果的參數(shù)在魯棒性實驗的幾個工況下比較穩(wěn)定。控制力隨具體工況不同而略有波動，小車位置跟蹤誤差不超過0.006 4 m，吊鉤、吊重運行過程中擺動不超過3.127°，殘余擺動不超過0.045°。由此可得出：本文提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直接魯棒自適應(yīng)控制器具有較強的魯棒性，可被應(yīng)用于各種類型起重機、各種工況下起重機的防搖擺控制。

圖7 工況3、4、5跟蹤效果對比圖

表2 DRAC魯棒性實驗仿真結(jié)果Table 2 Simulation results of robustness experiment of DRAC

圖8 工況3、4、5控制力及防擺效果對比圖

4 結(jié)語

本文針對存在參數(shù)不確定性和外部隨機擾動的欠驅(qū)動雙擺橋門式起重機防搖擺跟蹤控制問題，提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直接魯棒自適應(yīng)控制器；隨后通過理論分析證明了目標控制律作用下系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性，并通過仿真實驗驗證了所提出控制器的控制性能。本文所提控制器的控制輸入為小車實時位置與速度信息，起重機模型未知或不精確不影響其實現(xiàn)控制，控制器控制輸出由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成，整個控制器結(jié)構(gòu)較為簡單。由仿真結(jié)果可知，本文提出的軌跡跟蹤控制器對目標軌跡的跟蹤性良好，具體體現(xiàn)為位置跟蹤誤差小、吊鉤與吊重殘余擺動??；同時其魯棒性較強，在起重機模型參數(shù)變化以及外部隨機擾動影響下控制性能比較穩(wěn)定。在后續(xù)工作中將安排實物實驗以驗證其實際控制性能。