王念先，劉明政，葛萍萍，姚俊夫

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

為獲取高效率和高推重比，燃?xì)廨啓C(jī)、渦輪機(jī)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心轉(zhuǎn)子部件廣泛采用雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)。主動(dòng)磁懸浮軸承(active magnetic bearing, AMB)具有無機(jī)械摩擦、無磨損、無需潤滑、功耗低和壽命長等優(yōu)點(diǎn)，用AMB取代支承雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的機(jī)械軸承，即構(gòu)成磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，可顯著降低系統(tǒng)復(fù)雜度，減輕質(zhì)量，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，大幅提升系統(tǒng)的可靠性、可維護(hù)性及整體性能[1]。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行過程中，轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋是常見故障，可能導(dǎo)致災(zāi)難性的后果。由于磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有復(fù)雜的耦合特性，同時(shí)存在內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的多頻激勵(lì)，裂紋對系統(tǒng)的影響更為復(fù)雜[2]，需要開展針對性研究。

裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)問題已受到研究人員的廣泛重視。Mayes等[3]通過一種余弦函數(shù)來考慮裂紋的呼吸效應(yīng)。AL-Shudeifat[4]提出一種新的函數(shù)形式，可以更精確地描述裂紋的呼吸過程。Peng等[5]在時(shí)域內(nèi)分析了裂紋位置對渦輪機(jī)械系統(tǒng)的渦動(dòng)動(dòng)力學(xué)影響，并將裂紋的呼吸函數(shù)改進(jìn)為一個(gè)高次諧波。Wang等[6]提出一個(gè)同時(shí)考慮呼吸裂紋時(shí)變剛度特性和滑動(dòng)軸承各向異性的模型，并研究了由軸承各向異性和速度相關(guān)特性引起的裂紋轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。這些研究發(fā)現(xiàn)，裂紋可以與其他非線性特性耦合，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性，利用所提出的模型可以準(zhǔn)確地分析裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

由于中介軸承的存在，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)響應(yīng)存在直接耦合，雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對裂紋的響應(yīng)有很大差異。路振勇等[7]重點(diǎn)研究了空心軸中存在橫向裂紋的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)特性，指出裂紋能激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的超諧響應(yīng)，但該雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用的是傳統(tǒng)機(jī)械軸承。

除了傳統(tǒng)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)之外，研究人員對裂紋磁懸浮單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)也進(jìn)行了探討。Zhu等[8]研究表明，與傳統(tǒng)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，含磁軸承的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性更為復(fù)雜。鐘志賢等[9]討論了主動(dòng)磁懸浮軸承的控制算法和控制器參數(shù)對有裂紋故障的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。目前還未見對于含裂紋故障的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)研究報(bào)道。

為此，本文針對裂紋磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)展開研究，采用有限元法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)采用PID控制策略，分析系統(tǒng)在不同控制參數(shù)下的動(dòng)態(tài)特性，以期為磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的建模和裂紋故障診斷提供參考。

1 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種相似的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中2個(gè)同軸轉(zhuǎn)子通過機(jī)械中介軸承連接，轉(zhuǎn)子由3個(gè)主動(dòng)磁懸浮軸承(AMB1～AMB3)支承，AMB1和AMB2放置在內(nèi)轉(zhuǎn)子的端部，AMB3放置在靠近AMB1的外轉(zhuǎn)子的端部。在裂紋動(dòng)力響應(yīng)研究中，由于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向自由度與徑向振動(dòng)之間的耦合可以忽略，因此這里不考慮系統(tǒng)的軸向自由度。

圖1 裂紋磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

采用有限元法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行研究，將雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分為8個(gè)軸段，共10個(gè)節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1和表2。

表1 系統(tǒng)各軸段的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 轉(zhuǎn)子圓盤的結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.1 圓盤動(dòng)力學(xué)模型

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包含4個(gè)圓盤。假設(shè)圓盤是剛體，具有4個(gè)自由度，則圓盤在節(jié)點(diǎn)i處的運(yùn)動(dòng)方程如下：

(1)

其中，

1.2 磁軸承動(dòng)力學(xué)模型

與機(jī)械軸承類似，本文采用等效剛度和等效阻尼對磁軸承的支承特性進(jìn)行描述。忽略磁軸承的漏磁和磁飽和等非線性特性，在PID算法控制下，磁軸承的等效剛度ke和等效阻尼ce可以描述為[10]：

(2)

式中：KP、KI和KD分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；f為系統(tǒng)的渦動(dòng)頻率；Aa為功率放大器增益；As為傳感器增益；ki和ks分別為磁軸承的電流剛度和位移剛度。

式(2)表明，等效剛度和等效阻尼不僅取決于磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)和尺寸，還取決于控制系統(tǒng)和渦動(dòng)頻率?？紤]到磁懸浮軸承在x、y軸上的弱耦合效應(yīng)，忽略等效交叉剛度和等效交叉阻尼。這樣一來，磁懸浮軸承就相當(dāng)于2個(gè)相互垂直的彈簧阻尼結(jié)構(gòu)。

假設(shè)磁懸浮軸承放置在節(jié)點(diǎn)i處，軸承的運(yùn)動(dòng)方程與圓盤具有相同的狀態(tài)向量，可表示為：

(3)

與磁懸浮軸承類似，中介軸承的動(dòng)力學(xué)方程也可以表示為式(3)的形式，但其剛度和阻尼為定值。

1.3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

采用有限元法建立轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型，將轉(zhuǎn)子分成N段和N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，基于Timoshenko梁單元，轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型為：

(4)

將各剛性圓盤和軸承添加到選定的節(jié)點(diǎn)上，其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣被添加到相應(yīng)的轉(zhuǎn)子質(zhì)量和陀螺矩陣中。中介軸承的添加過程稍有區(qū)別，它是內(nèi)轉(zhuǎn)子與外轉(zhuǎn)子之間的一種支承，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子在中介軸承處存在耦合。在該模型中，中介軸承放置在節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)10之間，將軸承剛度矩陣加到轉(zhuǎn)子剛度矩陣的元素K(13∶16，13∶16)和K(37∶40，37∶40)中。同時(shí)，要實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)10之間的解耦，需在矩陣元素K(13，37)、K(37，13)、K(14，38)和K(38，14)處減掉中介軸承的剛度。對阻尼矩陣進(jìn)行同樣的運(yùn)算即可獲得雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

1.4 裂紋模型

圖2 裂紋轉(zhuǎn)子橫截面示意圖

采用余弦函數(shù)對裂紋的呼吸過程進(jìn)行描述[3]：

(5)

式中：f(t)為裂紋呼吸模型，表示裂紋隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化過程。

(6)

當(dāng)裂紋較淺時(shí)(R-h>r)：

sin-1(1-μr)]

(7)

3sin-1(γ)]

(8)

Ace=R2[π-cos-1(1-μr)+(1-μr)γ]-πr2

(9)

(10)

當(dāng)裂紋較深時(shí)(R-h

(11)

(12)

Ace=R2[π-cos-1(1-μr)+(1-μr)γ]-

(13)

α1=2cos-1[(R-h)/r]

因此，第j段轉(zhuǎn)子產(chǎn)生裂紋時(shí)，裂紋單元新的剛度矩陣可表示為：

(16)

式中：kj為第j段轉(zhuǎn)子無裂紋時(shí)的剛度矩陣。

至此，裂紋雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可表示為：

=Fu(t)+Fg

(17)

式中：Kc為裂紋剛度矩陣。

2 裂紋磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

內(nèi)轉(zhuǎn)子激勵(lì)下磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖如圖3所示，從中可以得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和前、后向渦動(dòng)頻率。圖3中ff1和fb1分別為一階前向渦動(dòng)頻率和一階后向渦動(dòng)頻率。

圖3 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖

本文利用有限元軟件對理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證，磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型如圖4所示，結(jié)果對比如表3所示。

圖4 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型

由表3可知，與有限元分析結(jié)果相比，解析模型對1階臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算結(jié)果精度較高，2、3階臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果誤差稍大，但總體上能滿足理論分析的需求。

表3 解析模型的精度驗(yàn)證

采用Newmark-β法分析磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)。以靠近中介軸承的AMB2和AMB3的位移信號為對象，分別研究了內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

當(dāng)KP=20、KI=0.001、KD=0.05、內(nèi)外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比rs=1.5、內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速Ωi=10 000 r/min、μr=0.4時(shí)，AMB2處在不同裂紋條件下的時(shí)域響應(yīng)、軸心軌跡和頻率響應(yīng)如圖5所示。圖5(a)為無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)，圖5(b)為外轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)8和9之間出現(xiàn)裂紋時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)，圖5(c)為內(nèi)轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)3和4之間出現(xiàn)裂紋時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)。

由圖5可以看出，裂紋發(fā)生后，AMB2處的位移響應(yīng)發(fā)生了明顯的變化。裂紋會(huì)激發(fā)內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的高階諧波和疊加頻率。在圖5(a)中，沒有裂紋時(shí)，AMB2的振動(dòng)頻率僅包括內(nèi)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率fi和外轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率fo。在圖5(b)中，當(dāng)外轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)，除了fi和fo外，振動(dòng)頻率還包含轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的倍頻和內(nèi)、外轉(zhuǎn)子頻率的疊加，可描述為nfo、nfo-fi和nfo+fi。在圖5(c)中，當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)，AMB2的振動(dòng)頻率也發(fā)生變化，但與圖5(b)不同的是，振動(dòng)頻率的分量主要由nfi、fo-fi和fo+fi組成。同樣的情況也發(fā)生在外轉(zhuǎn)子的AMB3中。

(a)無裂紋

(b)外轉(zhuǎn)子裂紋

(c)內(nèi)轉(zhuǎn)子裂紋

保持系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)不變，在外轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)，不同裂紋深度下AMB2和AMB3處的頻率響應(yīng)瀑布圖如圖6所示，可以看出，裂紋深度對磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻響特性有較明顯的影響。在裂紋產(chǎn)生的初始階段，除轉(zhuǎn)動(dòng)頻率外，其他高階諧波和疊加頻率并不明顯；隨著裂紋深度的增加(μr>0.1)，系統(tǒng)響應(yīng)的頻率分量逐漸變得復(fù)雜，更多倍頻和組合頻率被激發(fā)出來；當(dāng)裂紋深度增加到一定程度時(shí)(μr=0.4)，不會(huì)再激發(fā)新的頻率成分。當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)有相似的規(guī)律，這里不再贅述。

(a)AMB2

(b)AMB3

3 控制參數(shù)對裂紋磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

根據(jù)式(2)，磁軸承的支承特性不僅取決于其結(jié)構(gòu)和尺寸，還取決于控制參數(shù)KP、KD和KI，下面分析控制參數(shù)對裂紋磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

3.1 KP對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

保持系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)不變，在不同KP取值下，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)瀑布圖如圖7所示，其中，圖7(a)和圖7(b)分別是裂紋位于外轉(zhuǎn)子時(shí)AMB2和AMB3處的頻率響應(yīng)，圖7(c)和圖7(d)是裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子時(shí)同一位置的頻率響應(yīng)。

從圖7可以看出，當(dāng)裂紋位于外轉(zhuǎn)子時(shí)，KP的變化對系統(tǒng)響應(yīng)的頻率分量幾乎沒有影響；但內(nèi)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)，頻率分量隨KP的變化產(chǎn)生了較明顯的變化。在圖7(c)和圖7(d)中，當(dāng)KP較小時(shí)，系統(tǒng)頻率響應(yīng)分量保持不變，但是當(dāng)KP增加到一定程度后，頻率響應(yīng)分量中出現(xiàn)了一階后向渦動(dòng)頻率fb1。

(a)AMB 2(裂紋位于外轉(zhuǎn)子) (b)AMB 3(裂紋位于外轉(zhuǎn)子)

(c)AMB 2(裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子) (d)AMB 3(裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子)

由此可以得出結(jié)論，KP對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響主要體現(xiàn)在裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子的情況下。當(dāng)KP較大時(shí)，內(nèi)轉(zhuǎn)子裂紋會(huì)激發(fā)一階后向渦動(dòng)頻率，而在相同條件下，外轉(zhuǎn)子裂紋不會(huì)激發(fā)該頻率。

3.2 KD對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

保持系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù)不變，不同KD取值下，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子出現(xiàn)裂紋時(shí)磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)瀑布圖如圖8所示，其中，圖8(a)和圖8(b)分別是裂紋位于外轉(zhuǎn)子時(shí)AMB2和AMB3處的頻率響應(yīng)，圖8(c)和圖8(d)是裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子時(shí)同一位置的頻率響應(yīng)。

從圖8可以看出，與參數(shù)KP相比，KD對頻率響應(yīng)的影響更為嚴(yán)重。KD較小時(shí)，各頻率分量的振動(dòng)幅值較大；隨著KD的增加，各頻率分量的響應(yīng)幅度迅速衰減；當(dāng)內(nèi)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生裂紋時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在KD較小時(shí)激發(fā)明顯的一階后向渦動(dòng)頻率fb1，fb1分量隨KD的增加而消失。因此，增加KD值可以有效抑制轉(zhuǎn)子頻率響應(yīng)中各頻率分量的幅值，在KD較小的情況下，內(nèi)轉(zhuǎn)子裂紋會(huì)激發(fā)后向渦動(dòng)頻率。

(a)AMB 2(裂紋位于外轉(zhuǎn)子) (b)AMB 3(裂紋位于外轉(zhuǎn)子)

(c)AMB 2(裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子) (d)AMB 3(裂紋位于內(nèi)轉(zhuǎn)子)

另外，根據(jù)式(2)，KI對系統(tǒng)阻尼有影響，但主要體現(xiàn)在低頻段，高頻段可以忽略，研究結(jié)果將不在這里展示。

綜上所述，KP和KD值會(huì)影響裂紋雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，特別是KP較大或KD較小時(shí)，內(nèi)轉(zhuǎn)子有裂紋時(shí)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)中會(huì)出現(xiàn)一階后向渦動(dòng)頻率fb1，而在相同條件下，外轉(zhuǎn)子裂紋不會(huì)激發(fā)該頻率，此特征可用于判斷轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋故障產(chǎn)生的位置。

4 結(jié)語

本文研究了帶有橫向呼吸裂紋的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。建立了裂紋雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，并采用Newmark-β法得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)，分析了不同裂紋情況下系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)、軸心軌跡和頻率響應(yīng)，討論了控制參數(shù)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。研究表明，裂紋可激發(fā)內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的高階諧波和疊加頻率；當(dāng)裂紋位于一個(gè)轉(zhuǎn)子時(shí)，產(chǎn)生的高階諧波和疊加頻率在另一個(gè)轉(zhuǎn)子上也可以觀察到?？刂茀?shù)會(huì)影響裂紋轉(zhuǎn)子的響應(yīng)，但產(chǎn)生的影響與裂紋出現(xiàn)的位置有關(guān)，當(dāng)KP較大或KD較小時(shí)，內(nèi)轉(zhuǎn)子裂紋會(huì)激發(fā)出系統(tǒng)的一階后向渦動(dòng)頻率，但在相同條件下外轉(zhuǎn)子裂紋不會(huì)激發(fā)該頻率。本文研究結(jié)果對磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裂紋建模和故障診斷具有一定的參考價(jià)值。