華南師范大學數學科學學院(510631) 陳禧杰

一、試題呈現

題目(2019 浙江臺州調研考試)已知函數f(x)=x2ex(e為自然對數的底數e≈2.71828···.)

(Ⅰ)若關于x的方程f(x)=a有三個不同的解,求實數a的取值范圍.

(Ⅱ)若實數m,n,滿足m+n=f(?2),其中m >n,分別記:關于x的方程f(x)=m在(?∞,0)上兩個不同的解為x1,x2;關于x的方程f(x)=n在(?2,+∞)上兩個不同的解為x3,x4,求證|x1?x2|>|x3?x4|.

二、解法探究

(一)第一小問

分析第一小問考察的是學生對函數的單調性和極值點的分析能力,大致過程為:求導并分析單調性后找到兩個極值點x= 0,x=?2,畫出函數的大致圖像,數形結合推斷出再找到合適的點,利用零點唯一性定理,證明存在三個不同的實數解.

(二) 第二小問

三、總結

在一些較難的證明題中,要學會合理運用間接法,當利用已知條件難以直接證明時可選擇搭建中間“橋梁”,例如該題借助了三次函數的中心對稱性先找到關于零點的等式關系作為證明不等式的中間值,這樣一來,題目的命題背景和證明方向都會變得清晰且自然.