廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510000) 項(xiàng)娜

1 前言

G·波利亞在《怎樣解題》中指出:解題的價(jià)值不是答案的本身,而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的?”,“是什么促使你這樣想的?”也就是說(shuō),解題過(guò)程的本質(zhì)是一個(gè)思維過(guò)程,是一個(gè)把知識(shí)與問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)思考、分析、探索的過(guò)程.怎樣解題的精髓在于啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想,并創(chuàng)設(shè)以下這些問(wèn)題去引導(dǎo)學(xué)生思考—你以前見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍不同的形式出現(xiàn)嗎?你知道一道與它有關(guān)的題目?你知道一條可能有用的定理嗎?這里有一道和你的題目有關(guān)而且以前解過(guò),你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?…[1]專(zhuān)題復(fù)習(xí)可以幫助學(xué)生建立完善的知識(shí)體系,益于啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想.筆者以專(zhuān)題“動(dòng)態(tài)幾中PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值”教學(xué)設(shè)計(jì)為例,按波利亞提出的這些問(wèn)題去設(shè)計(jì),去啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想,在解題的過(guò)程中,必將使學(xué)生的思維受到良好的訓(xùn)練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣,進(jìn)而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2 “動(dòng)態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值”專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析

(1)教學(xué)內(nèi)容:中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題—?jiǎng)討B(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題,其中A,B是定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在某條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

(2)內(nèi)容解析:從近幾年的中考來(lái)看,線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各省市的中考題中,問(wèn)題常以二次函數(shù)、反比例函數(shù)、平行四邊形、圓等圖形為背景,讓學(xué)生求兩條線(xiàn)段和的最小值、三條線(xiàn)段和(三角形周長(zhǎng))的最小值、四條線(xiàn)段和(四邊形周長(zhǎng))的最小值等,其中以二次函數(shù)、正方形、矩形、菱形等圖形為背景,求PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).

2.1 教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

2.1.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、構(gòu)造、歸納、論證等過(guò)程,積極參與求解PA+k·PB(0＜k ＜1)型的線(xiàn)段和最小值,體會(huì)k倍線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化在求線(xiàn)段和最值問(wèn)題中的關(guān)鍵作用,感悟轉(zhuǎn)化思想;

(2)進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的整體性,知識(shí)的系統(tǒng)性,感悟啟發(fā)性思維.

2.1.2 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是:會(huì)靈活構(gòu)造直角三角形,將k·PB成功轉(zhuǎn)化,能說(shuō)出如何將PA+k·PB(0＜k ＜1)線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”問(wèn)題的過(guò)程;能通過(guò)邏輯推理論證所求線(xiàn)段長(zhǎng)確為最小值.

2.3 教學(xué)疑難診斷分析

經(jīng)歷學(xué)習(xí)新人教版八上“13.4 最短路徑問(wèn)題”及初三第一輪基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí),學(xué)生對(duì)“當(dāng)定點(diǎn)A,B分布在直線(xiàn)l的同側(cè)時(shí),在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P,使PA+PB和最小值問(wèn)題已有了清楚地認(rèn)知.如何將PA+k·PB(0＜k ＜1)線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”的問(wèn)題過(guò)程中,對(duì)如何作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形,轉(zhuǎn)化k·PB,該作哪個(gè)點(diǎn)關(guān)于哪條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)等問(wèn)題,學(xué)生在理解和實(shí)踐上存在著許多困難.

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課的重點(diǎn)是經(jīng)歷并理解將PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”問(wèn)題;

本節(jié)課的難點(diǎn)是添加輔助線(xiàn),靈活構(gòu)造直角三角形,轉(zhuǎn)化k倍線(xiàn)段.

2.5 教法與學(xué)法

本節(jié)課以問(wèn)題串為驅(qū)動(dòng),采用探究式、啟發(fā)式、討論法等教學(xué)方法;學(xué)生自主探究、合作討論、分享交流.

2.6 教學(xué)設(shè)計(jì)

活動(dòng)一:熱身訓(xùn)練、回顧舊知

問(wèn)題1.如圖a,等邊ΔABC中,AD,BE分別是邊BC和邊AC上的中線(xiàn),點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PC的最小值等于( )

圖a

A.線(xiàn)段AB的長(zhǎng) B.線(xiàn)段BC的長(zhǎng)

C.線(xiàn)段AD的長(zhǎng) D.線(xiàn)段BE的長(zhǎng)

問(wèn)題2.如圖b,在ΔABC中,AB=AC,BC=4,ΔABC的面積是16,AC邊的垂直平分線(xiàn)EF分別交AC,AB邊于點(diǎn)E,F.若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn),則MC+MD的最小值為( )

圖b

A.4 B.5 C.10 D.8

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考完成問(wèn)題1,2,遇到困難可以舉手向老師提問(wèn).教師引導(dǎo)性提問(wèn):關(guān)注問(wèn)題1,2 所求,熟悉嗎?會(huì)讓你聯(lián)想到哪一塊學(xué)過(guò)的知識(shí)?運(yùn)用哪一條可能有用的定理?請(qǐng)學(xué)生回答,并讓學(xué)生闡述為什么選這個(gè)答案.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題1,2 讓學(xué)生回顧知識(shí)“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”,利用軸對(duì)稱(chēng),把定直線(xiàn)同側(cè)兩定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn),進(jìn)而利用“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”解決兩條線(xiàn)段和最小值問(wèn)題.順勢(shì)引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,為接下來(lái)未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)學(xué)問(wèn)題作好知識(shí)和方法上的鋪墊.

活動(dòng)二:真題體驗(yàn),方法遷移

圖d

變式1(問(wèn)題1 進(jìn)行變式).如圖c,在邊長(zhǎng)為4 的等邊ΔABC中,AD是邊BC上的中線(xiàn),點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值等于____

圖c

【師生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立思考,教師啟發(fā)性提問(wèn):與問(wèn)題1 相比,變式1 難在哪?能不能想辦法將轉(zhuǎn)化成圖中某條隱形的線(xiàn)段?能否直接在圖中找到這條線(xiàn)段?找不到,能否想辦法構(gòu)造出這條線(xiàn)段?會(huì)讓你聯(lián)想到哪些我們學(xué)過(guò)的可能用得上的定理?如何將的最小值轉(zhuǎn)化成與問(wèn)題1 類(lèi)似的兩線(xiàn)段和最小值問(wèn)題,進(jìn)而利用“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”求解?可以詳細(xì)闡述你的思考過(guò)程嗎?再小組合作交流,探討結(jié)果,選小組代表上臺(tái)分享.還有其他想法嗎?你能提出新的問(wèn)題嗎?你能從條件出發(fā),或者從問(wèn)題出發(fā),將這道題繼續(xù)變式嗎?再留足時(shí)間組織學(xué)生進(jìn)行組內(nèi)探討;最后和學(xué)生一起歸納變式1 的解法,步驟,思路;通過(guò)引申變式1,啟發(fā)學(xué)生反思問(wèn)題的切入口,突破點(diǎn),關(guān)鍵處等,進(jìn)而慢慢感悟通性通法,建立知識(shí)模型,提煉通法.

問(wèn)題3.(2017年廣州市中考,第24 題)如圖e,矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,ΔCOD關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)圖形為ΔCED.

圖e

(2)連接AE,若.

①求sin ∠EAD的值;

②若點(diǎn)P為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連接OP,一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以1cm/s 的速度沿線(xiàn)段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1.5cm/s 的速度沿線(xiàn)段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí),求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.

圖f

【師生活動(dòng)】針對(duì)問(wèn)題3可直接告知學(xué)生第(2)問(wèn)①的結(jié)果,讓學(xué)生獨(dú)立思考完成②,巡視學(xué)生的完成情況,適時(shí)指導(dǎo)學(xué)困生,當(dāng)學(xué)生基本做完后,指導(dǎo)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論交流;然后請(qǐng)小組代表闡述其思考過(guò)程,及時(shí)追問(wèn)為什么這樣思考?教師適當(dāng)點(diǎn)撥并與學(xué)生一起提煉一般性的解題思路;最后教師啟發(fā)性追問(wèn):

當(dāng)k ＞1 時(shí),又該如何去找角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化k倍線(xiàn)段長(zhǎng)?

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)從特殊到一般,先探究當(dāng)k=1,時(shí),求PA+k·PB的最小值,方法:構(gòu)造以PA為斜邊含特殊角度30°,45°,60°的直角三角形,轉(zhuǎn)化k·PA,再探究骨干題中所涉及的一般情形.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)由淺入深,層層遞進(jìn);

由變式1 到引申變式1,再到骨干題(廣州市2017年中考第24 題),注重學(xué)生學(xué)習(xí)方法遷移能力的培養(yǎng),教師啟發(fā)式問(wèn)題的設(shè)計(jì),構(gòu)建知識(shí)模型助力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性,嚴(yán)謹(jǐn)性,進(jìn)而達(dá)到“講一題、懂一串、會(huì)一類(lèi)、通一片”的良好局面.

活動(dòng)三:知識(shí)再探、思維拓展

問(wèn)題4.如圖,拋物線(xiàn)y=x2-2mx+3m與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;

(2)點(diǎn)D為該拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)、且在第二象限內(nèi),連接AC,若∠DAB=∠ACO,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)E為線(xiàn)段OC上一動(dòng)點(diǎn),試求的最小值.

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力、聯(lián)想能力,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,滲透轉(zhuǎn)化思想.

活動(dòng)四:師生互動(dòng)、反思總結(jié)

問(wèn)題5.議一議

通過(guò)上述問(wèn)題的處理,說(shuō)說(shuō)處理動(dòng)態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題可以按哪些步驟進(jìn)行?是否能歸納通法解決此類(lèi)型題?過(guò)程涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法?

【歸納總結(jié)】①解決動(dòng)態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線(xiàn)段和最小值問(wèn)題步驟:

尋找滿(mǎn)足sinθ=k的θ構(gòu)造以PB為斜邊包含θ的直角三角形轉(zhuǎn)化k·PB=PQ求(PA+PQ)的最小值(A,Q兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短)(PA+k·PB)(0＜k ＜1)最小值=(PA+PQ)的最小值.

若k ＞1,轉(zhuǎn)化

②解決方法:幾何法(三角函數(shù)、相似、勾股定理等知識(shí)求出線(xiàn)段最小值);

③涉及的數(shù)學(xué)思想方面:從特殊到一般、演繹、歸納、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等.

【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)歸納此類(lèi)型題的解法,把此類(lèi)題進(jìn)行模塊整合,使學(xué)生從整體眼光看待本節(jié)專(zhuān)題內(nèi)容,增長(zhǎng)學(xué)生的解題能力和加強(qiáng)學(xué)生的解題思維,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力.

活動(dòng)五:引申鞏固、課后作業(yè)

問(wèn)題6.(必做)如圖g,ΔABC在直角坐標(biāo)系中,D為射線(xiàn)AO上一點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),運(yùn)動(dòng)路徑為A →D →C,點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3 倍,已知點(diǎn)P在CD上的運(yùn)動(dòng)速度是3cm/s,則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最少時(shí)間是多少?

圖g

圖h

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下,設(shè)F為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線(xiàn)段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F,再沿線(xiàn)段FD以每秒2 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少?

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分為必做題和選做題兩部分,必做題用于鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)、方法、技能,選做題用于學(xué)有余力的學(xué)生課后研究,有利于開(kāi)拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí),也體現(xiàn)了分層教學(xué)要求.

3 中考專(zhuān)題教學(xué)思考

3.1 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)思考

3.1.1 內(nèi)容基于教材,高于教材

認(rèn)真閱讀中考考綱,解讀中考考點(diǎn),分析近幾年中考考題,不難發(fā)現(xiàn)大部分的試題都可以在教材當(dāng)中找到原型,或是教材上的一道例題、習(xí)題直接引用,或是對(duì)教材幾道習(xí)題進(jìn)行變式,然后再加工整合,使之具有更強(qiáng)的綜合性,包含更多的知識(shí)點(diǎn),更加考驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)綜合知識(shí)的靈活應(yīng)用能力.可以說(shuō)大多數(shù)的中考題都基于教材但又高于教材,活于教材.因此,在中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí),教師需要對(duì)教材進(jìn)行提煉、升華,貫徹一題多解,一題多變,多題一法的原則.本節(jié)課的內(nèi)容設(shè)計(jì)構(gòu)思源于新人教版八上“13.4 最短路徑問(wèn)題”的提煉、升華,但兩者最終都可化歸為“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”問(wèn)題,方法歸一助力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力[3].

3.1.2 用數(shù)學(xué)整體觀(guān)整合教學(xué)內(nèi)容

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)教學(xué),重點(diǎn)在于知識(shí)的“延伸點(diǎn)”以及“生長(zhǎng)點(diǎn)”.數(shù)學(xué)是一個(gè)整體,思維是一個(gè)系統(tǒng),專(zhuān)題教學(xué)應(yīng)注重整體性設(shè)計(jì),提升學(xué)生的系統(tǒng)思維水平.因此,在中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí),教師需將知識(shí)放在整體知識(shí)體系之中,幫助學(xué)生整合知識(shí)體系,理清部分與整體知識(shí)之間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)具備的整體性進(jìn)行感受.為了讓學(xué)生的知識(shí)掌握和知識(shí)體系構(gòu)建更加具有邏輯性、整體性,教師還應(yīng)當(dāng)注重強(qiáng)化知識(shí)間的縱向聯(lián)系,聯(lián)想已學(xué)知識(shí)點(diǎn),在獲取新知和新方法的同時(shí),還可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)原有知識(shí)理解的升華和綜合運(yùn)用能力的提高.本節(jié)課在學(xué)習(xí)“PA+k·PB(k ＞0)型線(xiàn)段和最小值問(wèn)題”的過(guò)程中,基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)為:“兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短”,對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容予以明確的過(guò)程中,在素材選擇、問(wèn)題設(shè)計(jì)以及編排方面,均需要以此知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ),凸顯知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展路徑,使學(xué)生的思維得到自然生長(zhǎng)[3].

3.2 中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)反思

3.2.1 以思維分享為核心,引導(dǎo)學(xué)生形成問(wèn)題鏈

在專(zhuān)題教學(xué)過(guò)程中,我們借助如圖1-圖3所示的思維導(dǎo)圖,重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷理性思考的過(guò)程.以本節(jié)課為例:

圖2

圖3

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,教師要立足于具體問(wèn)題的引導(dǎo)與分析,讓學(xué)生體會(huì)探討問(wèn)題的自然生成過(guò)程.本節(jié)課中教師通過(guò)提出問(wèn)題“你是怎樣思考的”,實(shí)事求是地呈現(xiàn)學(xué)生的思考過(guò)程,通過(guò)問(wèn)題“為什么這樣思考”引導(dǎo)學(xué)生理性分析,歸納通性通法,通過(guò)問(wèn)題“還有其他的方法嗎”引導(dǎo)學(xué)生求變創(chuàng)新,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[2].

3.2.2 提煉規(guī)律,構(gòu)建知識(shí)模型

在進(jìn)行完一道具有代表性的經(jīng)典例題品析之后,教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同類(lèi)型的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)小結(jié),以思維導(dǎo)圖形式展示解題步驟的分析與解題方法的提煉,帶領(lǐng)學(xué)生一起構(gòu)建知識(shí)模型.本節(jié)課以思維導(dǎo)圖形式展示了變式1 的解題步驟流程與解題方法.孔凡哲教授曾說(shuō):“從某種意義上說(shuō),解決問(wèn)題就是一種模型化的過(guò)程”.

3.2.3 反思解題經(jīng)歷,總結(jié)通性通法

數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出,反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心與動(dòng)力.所以,在進(jìn)行完一個(gè)專(zhuān)題的復(fù)習(xí)教學(xué)之后,教師需要引導(dǎo)學(xué)生反思問(wèn)題涉及的知識(shí)考點(diǎn)、問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征、條件與結(jié)論的關(guān)系,整合知識(shí)模塊,總結(jié)通性通法,這樣有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)各種類(lèi)似問(wèn)題之間的聯(lián)系和差別,使學(xué)生熟練掌握與此類(lèi)型題相關(guān)的一系列問(wèn)題,能夠以一道題為載體解決多個(gè)或多類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而達(dá)到“講一題、懂一串、會(huì)一類(lèi)、通一片”的良好局面,助力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[3].

總之,合理設(shè)計(jì)中考專(zhuān)題教學(xué),能使學(xué)生高效地復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的縱向理解,助力幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的內(nèi)在體系,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)整體觀(guān).