華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張雁

解題教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與反思的一個(gè)重要途徑,對于學(xué)生解題能力的提高具有重要作用.有意義的解題教學(xué)可以讓學(xué)生在掌握特定題目解法的同時(shí),對數(shù)學(xué)問題有更深入的認(rèn)識,理解數(shù)學(xué)解題的策略.而波利亞解題思想為怎樣解題提供了清晰的思路,波利亞的“怎樣解題表”結(jié)合理論與實(shí)踐,通過程序化的解題系統(tǒng)與啟發(fā)式的過程分析一步步指引學(xué)生進(jìn)行解題思考,引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生念頭,培養(yǎng)他們的獨(dú)立探索能力.波利亞解題思想與解題教學(xué)的結(jié)合能夠指導(dǎo)教師教學(xué),教會學(xué)生思考,幫助學(xué)生培養(yǎng)良好解題習(xí)慣,構(gòu)建解題思維,向他們傳授解題學(xué)習(xí)的技能與方法,使他們從中領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì).而數(shù)學(xué)高考卷的第21 題作為壓軸題,很好地考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,區(qū)分度強(qiáng),對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高,其解題教學(xué)能體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第21 題對于學(xué)生采取合適的解題方法、正確運(yùn)用所學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思維能力都有較高的要求,故本文以該題為例,探析波利亞思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用.該題與波利亞解題思想結(jié)合的教學(xué)方式有利于幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),訓(xùn)練學(xué)生在解題時(shí)開展積極活躍且有邏輯的思維活動,提高學(xué)生的解題能力.

1 試題呈現(xiàn)及解法

(2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(3)設(shè)n ∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x...sin22nx≤.

評析:該題第(1)問探究三角函數(shù)的單調(diào)性問題,主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法、三角函數(shù)運(yùn)算方法等知識;考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.第(2)問要求學(xué)生求函數(shù)的值域,結(jié)合函數(shù)周期性知識,考查學(xué)生的分析問題能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.第(3)問求證原函數(shù)表達(dá)式的拓展形式相關(guān)的不等式,重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.試題的各小問間聯(lián)系密切,層次分明,不斷遞進(jìn),達(dá)到了試題的考察目的,實(shí)現(xiàn)思維方法在不同小問解題過程中的協(xié)調(diào)和統(tǒng)一,體現(xiàn)了“能力立意”的命題原則.

由于該題第(1)問考察知識內(nèi)容較為基礎(chǔ),第(2)問與第(3)問內(nèi)部存在較強(qiáng)邏輯關(guān)系,因此本文重點(diǎn)關(guān)注第(2)問與第(3)問的解法選取.

第(2)問解法:

方法一:利用函數(shù)單調(diào)性與周期性求解最值

由(1)知,f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,f(0)=f(π)=0,可以求得f(x)在(0,π)的最大值為最小值為而f(x)=sin2xsin 2x=2sin3xcosx是周期為π的周期函數(shù),故.

該法充分利用第(1)問得到的函數(shù)區(qū)間單調(diào)性信息,求解得到函數(shù)在特定區(qū)間上的最值,再通過函數(shù)表達(dá)式分析函數(shù)的周期性,將函數(shù)在區(qū)間上的最值推廣到整個(gè)定義域中.思路相對清晰,邏輯聯(lián)系強(qiáng),大部分學(xué)生的思維定勢傾向于利用單調(diào)性解決問題,采取此種做法進(jìn)行解題.

方法二:利用多元均值不等式消去變量

該法將函數(shù)值的范圍轉(zhuǎn)化為其平方值的范圍求解,結(jié)合多元均值不等式巧妙地拆分函數(shù)平方項(xiàng)表達(dá)式,以湊出正弦平方項(xiàng)與余弦平方項(xiàng),消去變量使問題得證.這種解法快速便捷,計(jì)算簡單,但要求學(xué)生對多元均值不等式有較為深入的理解,難點(diǎn)在于學(xué)生缺乏與均值不等式相關(guān)的的解題經(jīng)驗(yàn),難以從函數(shù)表達(dá)式中抽象出均值不等式對應(yīng)表達(dá),頓悟到4 sin6xcos2x可視作四元乘積.

第(3)問解法:

方法一:結(jié)合函數(shù)最值問題求解

這種解法將不等式左側(cè)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算,以拆分為三角函數(shù)和多個(gè)函數(shù)值的乘積,結(jié)合第(2)問函數(shù)值域范圍,使不等式得證.此解法充分運(yùn)用了已知結(jié)論,簡化運(yùn)算,與第(2)問關(guān)聯(lián)性強(qiáng),學(xué)生容易產(chǎn)生解題聯(lián)想,是大部分學(xué)生傾向采取的解法.

方法二:多元均值不等式消去變量

第(3)問需要證明的不等式左側(cè)為題目所給函數(shù)的拓展形式,可利用與第(2)問相同的多元均值不等式拆分函數(shù)平方項(xiàng)表達(dá)式,化不等式左側(cè)為多個(gè)正余弦平方項(xiàng)之和的積,從而使不等式得證.這種解法在第(3)問中的應(yīng)用是在第(2)問中應(yīng)用的拓展,學(xué)生對于該解法在前一問中應(yīng)用的理解對此法在本問中的應(yīng)用具有重要意義.

方法三:數(shù)學(xué)歸納法證明

則當(dāng)n=k時(shí),上式得證.所以

這種方式將原不等式左側(cè)式子進(jìn)行縮放,得到原函數(shù)的連乘拓展表達(dá)式,結(jié)合第(2)問中結(jié)論,利用第一數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,對數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求較高,是較少學(xué)生會采取的解題思路.

針對第(2)問,方法一與第(1)問存在較強(qiáng)關(guān)聯(lián),且利用單調(diào)性求解函數(shù)值域是學(xué)生經(jīng)常遇到的問題,在學(xué)生腦海中存在思維定勢,學(xué)生更容易聯(lián)想到這種方法,他們解題時(shí)可能會遇到的問題包括函數(shù)周期性的判斷、函數(shù)極值的求解,這些問題對于大多數(shù)學(xué)生而言都是易于解決的;方法二思路較為獨(dú)特,對學(xué)生掌握多元均值不等式的程度要求高,在考試解題中的運(yùn)用比較少見,關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)都在于三角函數(shù)與均值不等式聯(lián)系的建立,而這是學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以做到的.針對第(3)問,方法一是第(2)問單調(diào)性解法的延續(xù),思維過渡自然,簡單快捷,難點(diǎn)在于如何將多個(gè)平方項(xiàng)的乘積轉(zhuǎn)化為與已知函數(shù)相關(guān)聯(lián)的形式;方法二與第(2)問中均值不等式求解方法本質(zhì)相同,在學(xué)生掌握第(2)問對應(yīng)方法的前提下比較容易聯(lián)想應(yīng)用;方法三需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)思維,對于大部分學(xué)生來說難以尋找到此法突破口.故本文選擇引導(dǎo)學(xué)生掌握第(2)問方法一與第(3)問方法一的思路,對此展開與波利亞解題思想結(jié)合的解題教學(xué)研究.

2 試題教學(xué)方法探析

波利亞的解題程序?qū)⒔忸}過程分為四個(gè)部分:弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧,他強(qiáng)調(diào)程序化的解題系統(tǒng)、啟發(fā)式的過程分析、開放型的念頭誘發(fā)、探索性的問題轉(zhuǎn)換.教師在試題教學(xué)的過程中,應(yīng)做到不只是讓學(xué)生學(xué)會了這道題目的解法,更應(yīng)該在教導(dǎo)解法的過程中,讓學(xué)生思維更加嚴(yán)密,了解迅速找到適合的解題方法的策略,累積解題經(jīng)驗(yàn),總結(jié)規(guī)律,提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力,鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文在波利亞解題模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)解題教學(xué)過程,借助波利亞解題思想,在教導(dǎo)本題的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索能力,提高解題效率[1][2].

2.1 弄清問題

教師解題教學(xué)的第一步是要讓學(xué)生弄清問題,“問題想得透徹,意味著問題解決了一半”,學(xué)生在理解了問題中的各項(xiàng)信息以后才能對問題進(jìn)行清晰透徹的分析.這項(xiàng)過程可以借助波利亞的解題表進(jìn)行.波利亞的解題表包括:未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

針對本題,教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生思考上述問題,揭露問題的本質(zhì):

第(1)問第(2)問第(3)問未知是什么?3函數(shù)的單調(diào)性|f(x)|與38 的大小關(guān)系.sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx與3n 4n 的大小關(guān)系已知是什么?一個(gè)給定的函數(shù)表達(dá)式函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)在(0,π)上的單調(diào)性sin2 x sin 2x≤33 8條件是什么?一個(gè)確定的區(qū)間(0,π)給函數(shù)加一個(gè)絕對值n ∈N*滿足條件是否可能?可能,(0,π)是給定函數(shù)的一個(gè)正常區(qū)間,函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上有其單調(diào)性可能,每一個(gè)函數(shù)都可以加上絕對值可能,對于任意的n,n ∈N* 時(shí),sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx都是一個(gè)確定的式子要確定未知,條件是否充分?或者不充分?或者多余?或者矛盾?當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式確定時(shí),其在某個(gè)固定區(qū)間的單調(diào)性就是確定的,因此可以求出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性,故條件充分.|f(x)|的函數(shù)圖像是確定的,其最大值和最小值也是確定的,因此|f(x)|與33 8的大小關(guān)系是可以被確定的,故條件充分.當(dāng)n 確定時(shí),sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx就是一個(gè)確定的函數(shù),由于每一個(gè)sin2 2kx(k ∈N* 且k ≤n)都有最大值,所以sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx也存在最大值,因此其與3n 4n 的大小關(guān)系是確定的,故條件充分.

當(dāng)學(xué)生對問題有了清晰的理解之后,他們就會明白,自己能做什么,要做什么,從而對問題的解決有了進(jìn)一步的規(guī)劃.

2.2 擬定計(jì)劃(分析題目)

教師在指導(dǎo)學(xué)生擬定計(jì)劃時(shí)應(yīng)先讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識與以往解題經(jīng)驗(yàn),對目標(biāo)問題與過往解決的問題形成聯(lián)結(jié),對實(shí)際題目進(jìn)行明確、清晰的分析,判斷過往方法是否可以直接運(yùn)用或稍作改變運(yùn)用在本次題目中.

在求解第(1)問時(shí),學(xué)生可能會嘗試?yán)谜莆盏暮瘮?shù)圖象相關(guān)知識直接繪制函數(shù)草圖,或利用函數(shù)求導(dǎo)對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.教師引導(dǎo)學(xué)生擬定此問計(jì)劃時(shí)應(yīng)喚起學(xué)生對判斷單調(diào)性方法的記憶,對多種方法對此題的適用性進(jìn)行判斷,從而擬定合適的計(jì)劃.

你以前見過類似的問題嗎?這個(gè)問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?第(1)問1.可以畫出函數(shù)的圖像來大致模擬函數(shù)的變化規(guī)律.2.求函數(shù)單調(diào)性的問題遇到過很多,其中也有與1.一般可以直接使用求導(dǎo)的方法.2.有的時(shí)候可以先通過二倍角公式等方法將式子變成更簡單的形式,然而再求單調(diào)性.求一個(gè)給定的復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,知道它在(0,π)上哪部分遞增,哪部分遞減.三角函數(shù)相關(guān)的問題,但一般難度不大.

在求解第(2)問時(shí),根據(jù)以往學(xué)習(xí)判斷函數(shù)值域的方法,學(xué)生很可能會結(jié)合第(1)問的函數(shù)單調(diào)性結(jié)果進(jìn)行分析,在極值處判斷最值.教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考這道題的另一本質(zhì):求證不等式,分析是否可利用不等式的相關(guān)知識與過往解不等式問題的經(jīng)驗(yàn)從另一角度制定此題的解法,從多個(gè)三角函數(shù)的乘積聯(lián)想到多元均值不等式,結(jié)合正余弦平方和公式解決問題.

你以前見過類似的問題嗎?這個(gè)問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?問題的形式似乎指引我們從函數(shù)的角度來證明|f(x)|≤31.遇到過不少這種比較函數(shù)與某固定數(shù)值大小關(guān)系的問題,其形式上涉及函數(shù),因此可以從函數(shù)的角度來思考.2.其結(jié)構(gòu)上涉及到不等式,應(yīng)該也可以從不等式的角度來思考.3.第(1)問幫我們求出了函數(shù)的單調(diào)性,所以可以直接從函數(shù)的角度入手.1.一般可以通過求導(dǎo)了解左側(cè)函數(shù)的變化規(guī)律,進(jìn)而求出|f(x)|的最大值,以此來判斷不等式是否成立.2.證明不等式也可以直接使用不等式的相關(guān)公式,比如可以通過兩邊平方的方式處理左式的絕對值,對得到的4 sin6 x cos2 x聯(lián)想到:a sin2nx cos2m x ≤b 的結(jié)構(gòu),也許可以采用均值不等式來處理.3 8,但是將f(x)=sin2 x sin 2x代入|f(x)|≤33第(2)問8后,其本質(zhì)就是讓我們證明對于任意的x,必有sin2 x sin 2x≤33 8 這個(gè)不等式成立.

在求解第(3)問時(shí),從不等式的形式中學(xué)生可以形成其與第(2)問的關(guān)聯(lián)認(rèn)知,但學(xué)生對這個(gè)關(guān)聯(lián)的具體內(nèi)容往往還不太清晰,教師需要引導(dǎo)學(xué)生尋找這個(gè)關(guān)聯(lián),抽象出其指數(shù)形式是一個(gè)三角函數(shù)與若干個(gè)題目所給函數(shù)的乘積,從而擬定解題計(jì)劃.

你以前見過類似的問題嗎?這個(gè)問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?1.第(3)問和第(2)問的形式有點(diǎn)相似,都有sin x sin 2x 這樣的結(jié)構(gòu),只是次數(shù)不同而已.是不是可以借用第(2)問的結(jié)論?2.這種n 項(xiàng)累乘的結(jié)構(gòu)好像并不少見,但是想不起什么固定的題型.3.由于隨著n 的變化,并不能同時(shí)滿足每一個(gè)

sin2 2kx(k ∈N*且k ≤n)都有sin2 2kx ≤3 4,因此這道題似乎不能單獨(dú)去證明sin2 2kx ≤3第(3)問4,而應(yīng)該整體看待這個(gè)問題.4.x,2x,4x...后者均與前者呈2 倍關(guān)系,由此聯(lián)想到2 倍角公式.5.333 2)3,數(shù)字3 對應(yīng)f(x)的總次數(shù).8=(好像暫時(shí)沒有其他的角度來理解這個(gè)問題,只能從原題目本身來認(rèn)識它:設(shè)n ∈N*,證明:sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx ≤3n 1.n 項(xiàng)累乘的不等式,有的時(shí)候可以采用數(shù)學(xué)歸納法.2.可以采用放縮法,但暫時(shí)不知道如何下手,可能需要配合其他方法.3.x,2x,4x...后者均與前者呈2 倍關(guān)系,或許可以通過2 倍角公式將式子變形,然后求解.4.看起來好像可以用第(2)問中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行累乘得到類似結(jié)構(gòu),然后再想辦法處理.5.如果和第(2)問有關(guān),那么也可以使用第(2)問的不等式進(jìn)行放縮.4n.而(33 2)2n,數(shù)字2n 次對應(yīng)sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx的總次數(shù).聯(lián)想到第(2)問與第(3)問之間存在關(guān)聯(lián).4)n=(

學(xué)生在分析題目的過程中,通過不斷地對問題內(nèi)容和結(jié)構(gòu)進(jìn)行模式識別,提取腦海中的相關(guān)信息進(jìn)行認(rèn)知遷移,進(jìn)而發(fā)散出多種可能解決問題的路徑.然后學(xué)生需要選取某種路徑制定相應(yīng)的解題計(jì)劃——這種路徑的選取并非是完全隨機(jī)的.比如上表對第(3)問的分析中,多處線索均顯示第(2)問與第(3)問之間可能存在關(guān)聯(lián),因此學(xué)生在擬定解題計(jì)劃時(shí),可以優(yōu)先考慮從第(2)問的結(jié)果或結(jié)構(gòu)延伸出來的思路.

2.3 實(shí)行計(jì)劃

學(xué)生選定了具體的解題計(jì)劃后,教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)他們注意“低頭看路和抬頭望天”——在執(zhí)行解題方案的過程中,學(xué)生一方面需要腳踏實(shí)地,檢查每一個(gè)步驟,確保思維的每一次進(jìn)程都嚴(yán)謹(jǐn)正確;另一方面則要隨時(shí)監(jiān)控自身的解題情況,在解題過程中對未來的方向做評估和預(yù)判.比如這個(gè)方法是否可行?是否將所有的線索串聯(lián)了起來?是否能夠順利地進(jìn)行下去?等等.此外,如果在實(shí)行計(jì)劃的過程中遭遇困難,是分析困難原因,有針對性地進(jìn)行調(diào)整,然后繼續(xù)沿著該方案前進(jìn),還是退回思維的起點(diǎn),采用其他解題路徑繼續(xù)思考?前者可能會導(dǎo)致學(xué)生繼續(xù)消耗大量時(shí)間,也可能能夠幫助學(xué)生最終解決問題;后者可能讓學(xué)生轉(zhuǎn)回到了正確的思路上,也可能讓學(xué)生走上了另一條“死胡同”.由此可見,在實(shí)行計(jì)劃的過程中,學(xué)生并非簡單地依照預(yù)設(shè)的思路進(jìn)行推理計(jì)算,還需要運(yùn)用元認(rèn)知策略對解題過程中的重要決策進(jìn)行判斷.

比如上述的第(3)問中,如果學(xué)生一開始觀察x,2x,4x...2nx,發(fā)現(xiàn)后者均與前者呈2 倍關(guān)系,由此聯(lián)想到2 倍角公式.于是可以將sin2xsin22xsin24x...sin22nx轉(zhuǎn)化為:4nsin2xsin2xsin22xsin24x...sin22n-1xcos2xcos22xcos24x...cos22n-1x,然后對這個(gè)式子進(jìn)行放縮:由于所以sin2xsin22xsin24x...sin22n-1x即證4nsin2x ≤,這顯然是放縮過頭了.一些學(xué)生在這里陷入了苦思,白白耗費(fèi)了時(shí)間;而另一些學(xué)生則會在心里進(jìn)行評估:這種變形似乎除了構(gòu)造出新的cos2x結(jié)構(gòu)以外,并沒有其他什么好處.相反第(2)問中的sin2xsin 2x與第(3)問的sin2xsin22xsin24x...sin22nx存在某種結(jié)構(gòu)上的相似,加上第(2)問中數(shù)字3 對應(yīng)f(x)的總次數(shù),而第(3)問中數(shù)字2n次對應(yīng)sin2xsin22xsin24x...sin22nx的總次數(shù),由此可見第(3)問的解答與第(2)問的結(jié)果存在關(guān)聯(lián).接著這種評估,學(xué)生將會放棄2 倍角的方法,轉(zhuǎn)而投入到新的思路中.

在難題解決的過程中,這種對擬定計(jì)劃的不斷嘗試和否定將耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間,因此教師也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間來實(shí)行計(jì)劃,并且重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的嘗試與否定過程,據(jù)此結(jié)合上一步對于題目的分析,培養(yǎng)學(xué)生對于最簡便方法選取的意識.

2.4 回顧

在完成解題以后,學(xué)生通過重新考慮與檢查這個(gè)結(jié)果和得出這一結(jié)果的解題過程,能夠鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力.

需要注意的是,通過波利亞的解題方式對學(xué)生進(jìn)行解題教學(xué),是旨在通過講解特定題目的解法向?qū)W生傳授普遍的解題思路.掌握特定題目的解題方法不是解題教學(xué)的根本目的,只是向?qū)W生傳達(dá)解題思想的途徑.教師需要重點(diǎn)關(guān)注教學(xué)過程中對學(xué)生思維的引導(dǎo),加強(qiáng)學(xué)生對于解題模式的理解,在不斷的解題教學(xué)過程中一步步地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索、思考能力與數(shù)學(xué)解題能力.

3 總結(jié)反思

波利亞強(qiáng)調(diào):“解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘為了找出哪個(gè)方面是正確的方面,哪一側(cè)是好接近的一側(cè),我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn).”教師在解題教學(xué)過程中需要把握住教學(xué)目標(biāo),鞏固學(xué)生對過往知識的認(rèn)知,豐富學(xué)生的題目認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生的解題能力與解題興趣.教師與教育研究者也應(yīng)立足題目,充分發(fā)揮題目的價(jià)值,實(shí)現(xiàn)解題之于學(xué)生的意義.