陜西省西安市陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)(710061) 曹艷 張錦川

中考中的多問題目大都是臺階式設(shè)置,按照第一問或者前兩問的相關(guān)結(jié)論與規(guī)律來解答最后一問的問題.解決這類題目需要我們關(guān)注并辨別每一問結(jié)論及其之間的關(guān)系.在平時(shí)課堂中這類知識技能和解題策略我們提到的非常多,但是什么樣的題目背景使用哪個(gè)方法往往是解題的關(guān)鍵.所以,解題方法的選擇對題目的最終解答起著非常關(guān)鍵的推動(dòng)作用.下面以一道實(shí)踐探究的問題來談?wù)劷忸}方法的分析與選擇.

【問題探究】

(1)如圖1,在RtΔABC中,∠ACB=90°,請?jiān)贏B上求作一點(diǎn),使∠ADC=2∠B;

圖1

(2)如圖2,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=6,點(diǎn)P在對角線BD上,∠DPC=2∠CBD,求PD的長;

圖2

【問題解決】

(3)如圖3,四邊形ABCD是某市政規(guī)劃用地,現(xiàn)準(zhǔn)備將其改造為市民休閑區(qū),其中AC、BD為規(guī)劃的小路(小路的寬度忽略不計(jì)),從大門的入口B到兩條小路的交匯處P需要做特別處理,經(jīng)測量,AD=DC=40米,∠ADC=90°,∠BCD=75°,O為AC的中點(diǎn),且∠AOB=2∠ACB,請你求出兩天小路的交匯處P到入口B的距離.

圖3

分析與解答:

(1)本題中體現(xiàn)的是角的二倍關(guān)系,在初中階段等腰三角形的外角與內(nèi)角中會(huì)產(chǎn)生二倍關(guān)系,因此可以作BC的中垂線,與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)D(三角形外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和).此外,圓心角和圓周角的關(guān)系也是二倍關(guān)系,因此作ΔABC的外接圓圓心(AB的中點(diǎn))，即為點(diǎn)D.

(2)由∠DPC=2∠CBD可知ΔBPC是等腰三角形,即有BP=CP.由∠A=120°得∠ABD=∠DBC=∠PCB=30°,∠BPC=120°,結(jié)合BC=AB=6 分析可知最后(也可以由∠PCD=90°,∠CPD=60°知

(3)是本題的落腳點(diǎn),在四邊形背景下,結(jié)合(1)(2)的解題經(jīng)驗(yàn)巧妙分析二倍角關(guān)系是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.

角度1:細(xì)看角度作垂線

分析題目知,ΔADC是等腰直角三角形,∠ACD=45°,∠ACB=∠OBC=30°,進(jìn)而可知ΔAOB是等邊三角形,故有∠ABC=90°.如圖4,連接OD得DO ⊥AC,BO=AO=CO=DO,可推得∠DOB=150°,∠DBO=15°,∠ABP=60°-15°=45°.(后面方法直接使用這幾個(gè)角度)

作PH ⊥AB于點(diǎn)H,如圖4,ΔBPH是等腰直角三角形,不妨設(shè),而故由AB=AO得可得.

圖4

角度2:三角函數(shù)顯身手

預(yù)備知識:如圖5,在含30°的直角三角形外部構(gòu)造一個(gè)等腰三角形,根據(jù)勾股定理求出相應(yīng)邊長,從而得到.

圖5

過點(diǎn)B作BQ ⊥AC于Q,如圖6,連接DO,則DO ⊥AC,因此只要求出BD的長度,問題即可解決,下面求解BD的長度.

圖6

過點(diǎn)D作DH ⊥ BA交BA的延長線于點(diǎn)H,由∠ABC=∠ADC=90°,知A、B、C、D四點(diǎn)共圓,∠ABD=∠ACD=45°,故ΔBDH是等腰直角三角形.結(jié)合∠DAH=75°得代入得.

上述方法運(yùn)算量稍大,下面我們進(jìn)行優(yōu)化.

如圖7,過點(diǎn)B作BQ ⊥AC于Q,易知∠QOB=60°,∠QBP=15°.RtΔBOQ中,結(jié)合得因此.

圖7

角度3:另辟蹊徑坐標(biāo)系

用平面直角坐標(biāo)系來解決某些幾何問題是非常巧妙的途徑,猶如高中數(shù)學(xué)中很多人用空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問題一樣,把幾何的點(diǎn)、線、面關(guān)系用計(jì)算的方式呈現(xiàn)出來,非常適合分析能力稍弱但計(jì)算能力還不錯(cuò)的同學(xué).此題的垂直關(guān)系顯然是可以通過建系來分析解決的.

如圖8,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BC為x軸,直線AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.易得故.

圖8

顯然由∠ABD=45°知直線BD解析式為y=x,直線AC的解析式為聯(lián)立直線BD、AC解析式可得P從而由兩點(diǎn)距離公式或者勾股定理可求得.

角度4:面積公式有新招

預(yù)備知識:學(xué)完三角函數(shù),我們?nèi)菀椎玫饺切蔚拿娣e還可以利用兩邊及其夾角表示,如圖9,AD=ACsinC,因此ΔABC的面積(三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦值乘積的一半).如圖10,因此.

圖9

圖10

角度5:特殊圖形多關(guān)注

分別過P作PM ⊥BC于點(diǎn)M,PN ⊥AB于點(diǎn)N,如圖11.顯然四邊形BMPN是正方形,不妨設(shè)其邊長為x,則∠MCP=30°,由得解之從而.

圖11

上述方法中,我們也可以利用BC長度列方程,異曲同工,由BC=BM+CM得本質(zhì)完全相同.

角度6:圓來有解證相似

對于這道題目的多角度分析,我們能夠看到對已知條件的不同分析以及思維方式的差異帶給我們的解題感受是不同的.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、解題、講授過程中,要注重對題目的多角度分析與分步破解,從而提升分析能力、思維能力和解題水平,提高學(xué)習(xí)的有效性.