廣東省清遠(yuǎn)市清城區(qū)清城中學(xué)(511500) 李健

思維是認(rèn)識(shí)過程的高級(jí)階段,是人腦對(duì)事物本質(zhì)和事物之間規(guī)律性關(guān)系的反映.思維通俗說就是人們在工作、學(xué)習(xí)、生活中每逢遇到問題,總要“想一想”,這種“想”就是思維[2].思維能力是通過分析、綜合、概括、抽象、比較、具體化和系統(tǒng)化等一系列過程,對(duì)感性材料進(jìn)行加工并轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)來解決問題的能力.思維能力是一切發(fā)展能力的核心.新課標(biāo)下的初中數(shù)學(xué)課程的出發(fā)點(diǎn)就是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展,而新課標(biāo)的基本理念也是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[3].因此,如何培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維能力就成了筆者近幾年研究的重點(diǎn).筆者以課例研究為抓手,打破知識(shí)界限,完善知識(shí)體系,跨知識(shí)點(diǎn)組合,極大地拓寬了學(xué)生的思維發(fā)展空間.

初中生的數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)要充分考慮其計(jì)劃性、連續(xù)性、系統(tǒng)性,不可急功近利,應(yīng)該按照由低級(jí)到高級(jí),分層次逐步培養(yǎng),形成階梯式培養(yǎng).在課堂教學(xué)中,要善于挖掘數(shù)學(xué)關(guān)系的內(nèi)涵,由淺入深,由表及里,采取階梯式培養(yǎng)方式,特別是復(fù)習(xí)課,機(jī)會(huì)更好,效果更佳.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,現(xiàn)以“概率”復(fù)習(xí)課為例子,和大家共同思考.

在初中概率復(fù)習(xí)教學(xué)中,必須要讓學(xué)生理解“概率”的內(nèi)涵,要準(zhǔn)確理解概率,重點(diǎn)是弄清“頻率”與“概率”的區(qū)別和內(nèi)在關(guān)系.

第一,頻率是通過實(shí)驗(yàn)、計(jì)算實(shí)際發(fā)生情況的數(shù)據(jù),它與實(shí)驗(yàn)情況和發(fā)生次數(shù)有關(guān),而概率是確定的數(shù)據(jù),它不是實(shí)際發(fā)生的,與實(shí)驗(yàn)的情況無直接關(guān)系.第二,對(duì)同一種數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行實(shí)驗(yàn),雖然每一次的頻率不一定相同,但它有一種內(nèi)在趨勢,它會(huì)在某一種數(shù)量關(guān)系中上下波動(dòng);而概率則是反映某種數(shù)量關(guān)系的穩(wěn)定性,屬于理想或理論范疇.第三,概率是可以通過分析比較頻率的不斷變化而估計(jì)出來的,是事件發(fā)生的大概機(jī)會(huì)(百分比),因此,在實(shí)際中,我們通常用“頻率”去估計(jì)“概率”.

1 復(fù)習(xí)頻率(培養(yǎng)分析、判斷、理解能力)

頻率:在某一種樣本實(shí)驗(yàn)中,某件事情發(fā)生的次數(shù)與事件的總數(shù)的比叫做頻率.通過對(duì)例題的分析、判斷,達(dá)到理解“頻率”內(nèi)涵的目標(biāo),實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的分析性思維能力.

例1某人進(jìn)行分組射擊練習(xí),其數(shù)據(jù)如下表,求出每組射中靶心的頻率.

組數(shù)第一組第二組第三組第四組第五組數(shù)據(jù)射擊次數(shù)(次)10 20 50 100 200射中靶心(次)9 17 45 92 178射中靶心的頻率0.90 0.85 0.90 0.92 0.89

引導(dǎo)學(xué)生觀察,每一組射擊次數(shù)不同,頻率只有第一組,第三組相同,其它都不一樣.繼續(xù)觀察五組數(shù)據(jù)的頻率,雖然不盡相同,但是發(fā)現(xiàn)它變化不大,具有相對(duì)的穩(wěn)定性.

2 發(fā)現(xiàn)概率(發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力)

在上例中繼續(xù)設(shè)問:可否找到五個(gè)頻率上下波動(dòng)的“中間位置的數(shù)”?學(xué)生能大概估計(jì)出上面五個(gè)頻率可能圍繞“0.90”上下波動(dòng).讓學(xué)生理解,實(shí)驗(yàn)中頻率是變化的,但是它不會(huì)無序變化,它好像圍繞某一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)上下波動(dòng).

例2下面是世界上一些科學(xué)家作擲硬幣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

實(shí)驗(yàn)者德·摩根布豐費(fèi)勒皮爾遜羅曼洛夫斯基數(shù)據(jù)擲的總次數(shù)2048 4040 10000 24000 80640正面朝上次數(shù)1061 2048 4979 12012 40173頻率0.5181 0.5069 0.4979 0.5005 0.4982

引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中三種數(shù)據(jù)的關(guān)系,學(xué)生很快會(huì)發(fā)現(xiàn):雖然每個(gè)科學(xué)家擲硬幣的總次數(shù)不同,出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)也不同,但是他們擲出正面朝上的頻率接近“某一個(gè)數(shù)”,并且學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)可能是0.5(發(fā)現(xiàn)猜想關(guān)系).

因?yàn)檫@些都是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),結(jié)論只能是“猜測”、“估計(jì)”,沒有理論依據(jù),所以要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考.

設(shè)問:“硬幣有幾個(gè)面?”“正面和背面,共兩個(gè)面”,“將一個(gè)硬幣隨便拋出去可能出現(xiàn)幾種情況?”,“正面朝上或背面朝上兩種可能”,“這兩種可能出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等嗎?”,“應(yīng)該均等”.拓展深化問題:“骰子有幾個(gè)面?”,“六個(gè)”,“擲骰子時(shí),有沒有可能出現(xiàn)某一個(gè)面或某幾個(gè)面的可能性會(huì)大些?”,“不會(huì),因?yàn)槭钦襟w,每一個(gè)面出現(xiàn)的可能性一樣”(進(jìn)一步理解猜想關(guān)系).

教師引導(dǎo)學(xué)生分析,擲硬幣時(shí),總共有兩種可能,一是正面朝上,二是背面朝上,而正面朝上與背面朝上的機(jī)會(huì)是均等的,所以它們出現(xiàn)的可能性是50%,即0.5,也就是說,正面朝上和背面朝上的可能性都是50%.繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考,擲一次骰子,正面出現(xiàn)“兩點(diǎn)”的可能性又如何?學(xué)生思考,教師啟發(fā)點(diǎn)撥,然后發(fā)現(xiàn):正面出現(xiàn)一到六點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的,總共有六種可能,因此正面出現(xiàn)兩點(diǎn)的可能性是1/6.這個(gè)時(shí)候,學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)關(guān)系.

概率:事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值叫做概率.

3 概率應(yīng)用(通過三個(gè)層次的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)用性思維能力)

3.1 直接應(yīng)用

創(chuàng)設(shè)簡單的“概率”問題情境,直接運(yùn)用“概率”數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算、解答.

例3某人擲10 次硬幣,前8 次都是正面朝上,最后兩次應(yīng)該是背面朝上,這種說法正確嗎?

讓學(xué)生分析討論,教師啟發(fā)引導(dǎo):因?yàn)閿S硬幣,每一次正面朝上和背面朝上的機(jī)會(huì)是均等的(屬于概率范疇),并不等于說實(shí)際擲出正面朝上或背面朝上的次數(shù)一樣多(屬于頻率范疇),所以最后兩次背面朝上和正面朝上的機(jī)會(huì)還是一樣的.

例4我們拿一個(gè)不透明的布袋,先放進(jìn)5 個(gè)紅球,再放進(jìn)2 個(gè)黃球和1 個(gè)白球,這三種球形狀、大小和質(zhì)地一樣,數(shù)學(xué)科代表小明從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,問小明摸到紅球的可能性有多大?

引導(dǎo)學(xué)生思考:“三種球的形狀、大小和質(zhì)地一樣”是什么意思?說明靠手摸只能感受形狀、大小和質(zhì)地,分辨不出顏色;那為什么要將球放在布袋里?因?yàn)椴环旁诓即?就看得到,能分辨顏色,在拿球的時(shí)候容易受主觀因素的影響,機(jī)會(huì)就可能不均等.題中的兩個(gè)外部條件“放在口袋里”,“除顏色外完全相同”,目的是為確保摸到每一個(gè)球“機(jī)會(huì)均等”,這是關(guān)鍵.只有讓學(xué)生將不同情境中的概率的內(nèi)在關(guān)系弄明白,學(xué)生才會(huì)準(zhǔn)確理解、掌握、應(yīng)用知識(shí).

解:紅、黃、白球共有8 個(gè),隨機(jī)摸一個(gè)球出來,有8 種可能,而摸到紅球機(jī)會(huì)有5 次,摸到黃球機(jī)會(huì)有2 次,摸到白球機(jī)會(huì)有1 次,因此,摸到紅球的概率為5/8.

3.2 疊加應(yīng)用

利用兩個(gè)或兩個(gè)以上的知識(shí)點(diǎn),通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)關(guān)系,營造“概率”問題情境,讓“概率”知識(shí)能與其它知識(shí)聯(lián)通融合,擴(kuò)大“概率”知識(shí),靈活運(yùn)用[4].

例5在一副撲克牌中拿出四張,并在四張撲克牌的正面分別貼上等腰三角形、矩形、菱形、圓,然后把四張撲克牌背面向上并洗牌,學(xué)生小李在四張牌中隨機(jī)抽出1 張,問小李抽到的牌的正面圖形是中心對(duì)稱圖形的可能性有多大?

此題就是將概率問題與中心對(duì)稱圖形判斷相結(jié)合的問題,屬于兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)疊加問題.因?yàn)閺? 張撲克牌中隨機(jī)抽取1 張是等腰三角形、矩形、菱形、圓的機(jī)會(huì)均等(背面相同),而矩形、菱形、圓3 張都是中心對(duì)稱圖形,所以隨機(jī)抽1 張撲克牌圖形為中心對(duì)稱圖形的概率為3/4.

例6在一次用頻率去估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中,將數(shù)據(jù)繪成折線統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)折線圖判斷可能是下面哪一種?

A.擲一枚六面體的骰子,出現(xiàn)1 點(diǎn)的概率

B.拋一枚硬幣,出現(xiàn)正面的概率

C.任意寫一個(gè)整數(shù),它能被2 整除的概率

D.從一個(gè)裝有2 個(gè)白球和1 個(gè)紅球的袋中任取一個(gè)球,球除顏色外相等,取到紅球的概率

這個(gè)問題就是讓學(xué)生在理解概率的計(jì)算和掌握用頻率去估計(jì)概率的數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上找到結(jié)合點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生分析思考:既然它是兩個(gè)問題的結(jié)合,那么就先分別弄清兩個(gè)問題,再進(jìn)行對(duì)比就可以了.根據(jù)事件計(jì)算概率:

然后由折線圖可看出實(shí)驗(yàn)頻率在接近處上下波動(dòng),因此可以判斷是D 實(shí)驗(yàn).

3.3 創(chuàng)新應(yīng)用

通過多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合或?qū)⒅R(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法相結(jié)合,創(chuàng)設(shè)復(fù)雜多變的“概率”數(shù)學(xué)關(guān)系情境,培養(yǎng)學(xué)生解決新的實(shí)際問題的能力[5].

例7假如知道一個(gè)三角形的三條邊分別是3、5 和x,且這個(gè)三角形的周長為正整數(shù),那么這個(gè)三角形為等腰三角形的概率是多少呢?

引導(dǎo)學(xué)生分析思考:三角形三邊中已知兩邊,第三邊為可變量,根據(jù)構(gòu)成三角形的條件,可求出x的范圍:5-3＜x ＜5+3 即2＜x ＜8,因?yàn)槿切蔚闹荛L為正整數(shù),而有兩條邊是3 和5,所以第三條邊也應(yīng)為正整數(shù).故x可能取3、4、5、6、7,共有5 種可能,而等腰三角形只有3、5、3和3、5、5 兩種.所以自然得出是等腰三角形的概率為.本例就是由概率、三角形構(gòu)成判定、等腰三角形判定、正整數(shù)解這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)新型問題.

例8某公司將農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州某市場銷售,記該車行駛時(shí)間為t小時(shí),平均速度為v千米/小時(shí),汽車行駛速度不超過100 千米/小時(shí),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)v、t的一組對(duì)應(yīng)值如下表:

v(千米/小時(shí))75 80 85 90 95 t(小時(shí))4.00 3.75 3.53 3.33 3.16

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求v關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

(2)汽車上午7:30 從公司出發(fā),能否在上午10:00 之前到達(dá)市場?

(3)若3.5 ≤t≤4,求v的取值范圍.

引導(dǎo)學(xué)生分析:①關(guān)于速度、時(shí)間、路程問題,很簡單s=vt,而此題中公司和杭州某市場地點(diǎn)是相對(duì)固定的,因此要先確定公司與市場的距離,按經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出路程分別是:300 千米,300 千米,300.05 千米,299.7 千米,300.2 千米,公司與市場的距離是固定的,而上面計(jì)算出的路程雖然不同,但是差距很小,說明車輛在實(shí)際運(yùn)行過程中有誤差,這很正常,我們可以用頻率估計(jì)概率的思想,從而得出公司到市場的實(shí)際距離為300 千米,因此可以得到函數(shù)關(guān)系式.

本例是利用“頻率”估計(jì)“概率”的數(shù)學(xué)思想和方法,巧妙構(gòu)建問題情境,讓學(xué)生解決行程問題和不等式問題.

通過加強(qiáng)學(xué)生思維能力培養(yǎng),筆者所教學(xué)生升上高中后,能很快適應(yīng)高中學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)能力比其他學(xué)生強(qiáng),并且發(fā)展很好.清遠(yuǎn)市第一中學(xué)、清遠(yuǎn)市華僑中學(xué)及珠三角地區(qū)的一些學(xué)校很樂意招收這樣的畢業(yè)生.