廣東省廣州市白云區(qū)教育研究院(510050) 雷珮瑛

1 對(duì)直觀想象內(nèi)涵的理解

2017年教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡稱為“普高課標(biāo)(2017年版)”)明確指出:直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).直觀想象可以理解為主體在空間形式特別是圖形等刺激物的影響下,把新編碼臨時(shí)存儲(chǔ)的表象與過去存儲(chǔ)的若干表象進(jìn)行比較、選擇、分解、整合加工改造形成新表象的過程.這種借助幾何直觀和空間想象的個(gè)性化改造通常能把主體直接帶到事物的本質(zhì).可見,直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展并不是一蹴而就的,可能從初中、小學(xué)甚至學(xué)前就開始了.為此,初中階段要重視發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

2 發(fā)展直觀想象的必要性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》把直觀想象素養(yǎng)劃分成了三個(gè)水平,是從情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思這四個(gè)方面開展描述的.史寧中教授認(rèn)為這三個(gè)水平中,水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求,水平二是高考的要求,水平三是學(xué)生學(xué)完選修、選擇性必修和選修課程的相應(yīng)內(nèi)容應(yīng)該達(dá)到的要求.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》雖然沒有提到直觀想象素養(yǎng),但是明確陳述了幾何直觀與空間觀念的內(nèi)涵,其中幾何直觀的含義與“普高課標(biāo)(2017年版)”中的基本一致;而空間觀念則與空間想象對(duì)應(yīng),前者是后者的低級(jí)階段.兩個(gè)學(xué)段對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的要求是一脈相承的.國內(nèi)相關(guān)研究表明,初中階段是學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的高速發(fā)展期.為考察學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)2020年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試(下文簡稱為“廣州中考”)的試題中,第2 題,第4～11 題,第15 題,第18 題,第21 題,第23,第25 題,共12 題與直觀想象素養(yǎng)相關(guān),占全卷25 題的48%,這種命題導(dǎo)向充分說明了發(fā)展直觀想象素養(yǎng)是初高銜接的重要組成部分.

3 關(guān)于發(fā)展直觀想象的思考

直觀想象依賴于圖形刺激所生成的臨時(shí)表象,也依賴于過去儲(chǔ)存的若干表象.它為問題解決帶來新表象.直觀想象還受到情感態(tài)度價(jià)值觀的影響,如學(xué)生借助圖形解決問題的意愿是否強(qiáng)烈,學(xué)生是否持有運(yùn)用直觀想象的自信,學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,遇到挫折時(shí)能否運(yùn)用元認(rèn)知適當(dāng)調(diào)整認(rèn)知策略等,這些都會(huì)影響其直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的進(jìn)程.下面以四道2020年廣州中考題為例進(jìn)行說明:

3.1 以圖獲信,提升自信

例1(2020年廣州中考第2 題)某校隨機(jī)抽取了100 名學(xué)生,對(duì)他們最喜歡的套餐種類進(jìn)行問卷調(diào)查(每人選一種),繪制成了如圖1 的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中信息,學(xué)生最喜歡的套餐種類是(*).

圖1

A.套餐一 B.套餐二 C.套餐三 D.套餐四

要求學(xué)生讀條形統(tǒng)計(jì)圖,比較等寬長方形的面積大小(轉(zhuǎn)化為比較長方形高的大小),尋找“最喜歡的套餐種類”,通過讀圖直接獲取答案,讓學(xué)生領(lǐng)悟讀圖能獲取破題相關(guān)的信息.在考試的起始階段,給予學(xué)生解決問題所需的積極心理暗示.這種積極的心理因素,正是運(yùn)用直觀想象解決數(shù)學(xué)問題的必要條件.

3.2 以圖抗挫,磨礪心志

例2(2020年廣州中考第10 題)如圖2,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AB=6,BC=8,過點(diǎn)O作OE ⊥AC,交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF ⊥BD,垂足為F,則OE+EF的值為(*).

圖2

在問題解決的過程中,學(xué)生偶爾會(huì)遇到挫折.如解例2 時(shí),在“化曲為直”(即把折線段轉(zhuǎn)化為線段)求折線長時(shí)遇挫,可適時(shí)啟動(dòng)元認(rèn)知系統(tǒng),打破前期的信息整合,再聚焦特殊的位置關(guān)系“垂直”,嘗試等積法:SΔAOD=SΔAOE+SΔEOD,從而覓得破題的路徑可見,元認(rèn)知系統(tǒng)調(diào)控破立,在運(yùn)用直觀想象,解決數(shù)學(xué)問題的過程中,起著關(guān)鍵的作用.

3.3 以圖降階,工具降等

初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展處于形式運(yùn)演階段[3],用具體運(yùn)演思維進(jìn)行思考已經(jīng)輕車熟路.在解決問題的過程中,可通過畫示意圖,借用直觀想象,把學(xué)生帶回具體運(yùn)演思維.

例3(2020年廣州中考第23 題)粵港澳大灣區(qū)自動(dòng)駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進(jìn)自動(dòng)駕駛出租車應(yīng)用落地工作,無人化是自動(dòng)駕駛的終極目標(biāo).某公交集團(tuán)擬在今明兩年共投資9000 萬元改裝260 輛無人駕駛出租車投放市場(chǎng),今年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用是50 萬元,預(yù)計(jì)明年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用可下降50%.(1)求明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計(jì)改裝費(fèi)用是多少萬元;(2)求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛.

該題的通解通法是列方程.筆者嘗試用圖形進(jìn)行分析,如圖3,假設(shè)全部車輛由明年改裝,則9000 萬元能改裝,超出計(jì)劃360-260=100(輛).為保持總改裝費(fèi)不變,需在360 輛的基礎(chǔ)上減少改裝車輛的數(shù)目.把明年改裝2 輛車的費(fèi)用,用于今年改裝1 輛車,這樣總改裝費(fèi)不變且改裝車輛的總數(shù)減少1 輛.現(xiàn)需在360 輛的基礎(chǔ)上,減少360-260=100(輛),則今年應(yīng)改裝100 輛,明年應(yīng)改裝260-100=160(輛).

圖3

以拼圖游戲的形式,用三角形和長方形的面積表示今、明兩年改裝車輛單價(jià)之間的倍數(shù)關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用具體運(yùn)演思維解決問題,不但提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且能提高學(xué)生知識(shí)內(nèi)化的效率.

3.4 以圖通達(dá),直探本質(zhì)

例4(2020年廣州中考第24 題)如圖4,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點(diǎn)D在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A,B重合),連接DA,DB,DC.(1)求證:DC是∠ADB的平分線;(2)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎?如果是,求出函數(shù)解析式;如果不是,請(qǐng)說明理由.

圖4

解第(1)小題時(shí),若能從圓內(nèi)接等邊三角形中,看到三等分圓周,問題就迎刃而解.直觀想象是巧解數(shù)學(xué)問題的直通車,能幫助學(xué)生直達(dá)問題的本質(zhì).能否運(yùn)用直觀想象迅速地探求問題的本質(zhì),這既受個(gè)性化的思維習(xí)慣影響,又依賴于豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如何發(fā)展學(xué)生直觀想象很值得教師們深入思考.

3.5 以圖構(gòu)思,弘揚(yáng)個(gè)性

直觀想象是對(duì)表象極具個(gè)性化的重構(gòu),同一數(shù)學(xué)問題,不同的學(xué)生會(huì)生成不同的表象,經(jīng)過邏輯推理后形成不同的解法.如例4 第(2)小題(第24 題第(2)小題)的通解通法是割補(bǔ)法,沿CD把四邊形ADBC“割”開后,“補(bǔ)”的方法有“旋轉(zhuǎn)”、“截長補(bǔ)短”和“等積変換”等.

第一類方法:如圖5,轉(zhuǎn)化為等邊三角形的面積.(1)旋轉(zhuǎn):抓住CA,CB“共端點(diǎn),等邊長,夾60°角”,把ΔBCD繞點(diǎn)C按時(shí)順針方向旋轉(zhuǎn)60°,可把四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)化為等邊ΔCDE的面積.(2)抓住CA=CB,∠CBD=∠CAD的鄰補(bǔ)角,構(gòu)造全等三角形:截長補(bǔ)短(延長DA至點(diǎn)E,使AE=BD);等積変換(作∠ACE=∠BCD,CE交DA延長線于點(diǎn)E)……

圖5

第二類方法:如圖6,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)關(guān)于CD對(duì)稱的直角三角形面積和.(1)旋轉(zhuǎn):抓住點(diǎn)C到DA,DB的距離CN,CM相等,把RtΔACN繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到RtΔBCM,可把四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)化為RtΔCDM與RtΔCDN的面積和;(2)構(gòu)造全等三角形的方法與第一類方法的類似……,學(xué)生通過讀圖、識(shí)圖、辯圖形成的新表象各異,因此,呈現(xiàn)解法“百花齊放”.

圖6

發(fā)展直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)之一.“以圖獲信”、“以圖抗挫”、“以圖降階”、“以圖通達(dá)”和“以圖構(gòu)思”是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的手段.本文僅對(duì)2020年廣州中考部分試題在發(fā)展直觀想象素養(yǎng)方面的效能進(jìn)行了分析,如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng),還需要更深入地研究.