王全華 李培勇 呂 浩 張文杰

(武漢理工大學(xué)產(chǎn)業(yè)集團(tuán)有限公司1) 武漢 430063) (武漢易華船舶設(shè)計有限公司2) 武漢 430063) (武漢理工大學(xué)交通學(xué)院3) 武漢 430063)

0 引 言

船舶上數(shù)量眾多的型材構(gòu)件是支撐船體外板、保證船舶形狀和承受載荷的重要結(jié)構(gòu)件，而且在腹板平面內(nèi)具有彎曲形狀，還有少量的具有扭曲形狀，甚至是既彎又扭的彎扭構(gòu)件.扭曲結(jié)構(gòu)件主要分布在船艏或艉區(qū)域內(nèi).扭曲狀型材構(gòu)件的出現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)形式上保證型材腹板與船體外板呈正交關(guān)系，使船體結(jié)構(gòu)具有更大的承載能力，而且正交結(jié)構(gòu)有利于型材構(gòu)件和船體板的裝配，避免腹板與外板之間出現(xiàn)較小的裝配角度，影響裝配.

扭曲型材構(gòu)件在艦船上使用較多，加工工藝復(fù)雜，缺乏專用加工設(shè)備，生產(chǎn)中一般通過人工操作壓力機(jī)借助特殊工裝完成.這種工作方式依賴于人工經(jīng)驗，效率低，成本高，質(zhì)量不夠穩(wěn)定，因此，企業(yè)迫切希望研制出用于扭曲型材加工的自動化設(shè)備.為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，需要做很多工作，其中重要的一項是掌握扭曲型材的幾何特點(diǎn).

彎扭構(gòu)件常見的形式是箱形截面空間彎扭構(gòu)件[1]，例如，中國國家體育館的鋼結(jié)構(gòu)[2].不過，船舶扭曲構(gòu)件和上述箱形截面空間彎扭構(gòu)件的設(shè)計方法、幾何形狀表達(dá)方式等方面存在較大的差異.迄今，尚未看到相關(guān)的文獻(xiàn)資料.因此，需要針對船舶彎扭構(gòu)件的幾何問題進(jìn)行專項研究.

常用的船舶型材包括T型材、角鋼和球扁鋼等薄壁材料，其中角鋼和T型材由腹板和面板組成，球扁鋼則包括球頭和腹板.型材扭曲加工過程中，面板(或球頭)和腹板一起變形.根據(jù)裝配的要求，加工時一般以腹板曲面形狀符合設(shè)計要求作為加工目標(biāo)，對面板形狀則不做專門要求.并且，由于薄壁型材腹板的厚度遠(yuǎn)小于其平面尺寸，所以可忽略其厚度的影響.

文中以扭曲型材腹板曲面的幾何特征作為主要研究內(nèi)容，分析了扭曲型材構(gòu)件的截面特征，采用雙三次B樣條對腹板曲面進(jìn)行幾何建模，從理論上證明了扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的任意橫剖線都是直線[3]，其腹板曲面具有直紋面特征，可以采用直紋面進(jìn)行建模.

1 扭曲型材幾何特征分析

不考慮型材的板厚，在整數(shù)肋位剖切扭曲型材，見圖1.其剖面線具有以下特征：①腹板和面板剖線均屬于直線，長度分別為腹板高度和面板寬度；②面板剖線與腹板剖線垂直，腹板剖線與肋骨型線垂直.

圖1 扭曲型材剖面圖

分析扭曲縱向構(gòu)件在不同肋位處的腹板剖線，可看出屬于異面直線.分別順次連接整數(shù)肋位腹板剖線上相應(yīng)的兩個端點(diǎn)，得到型材構(gòu)件的外口線和內(nèi)口線，見圖2.其中外口線即型材與船體外板的裝配線.船舶設(shè)計時，通常只定義外口線與肋骨剖面交點(diǎn)的坐標(biāo)，放樣時再確定內(nèi)口線.

圖2 腹板的外口線和內(nèi)口線

2 B樣條曲線曲面

B樣條曲面是張量積曲面，它是由兩個方向上的控制點(diǎn)網(wǎng)格、兩個節(jié)點(diǎn)矢量和單變量B樣條基函數(shù)的乘積定義的，其曲面方程為[4-6]

(1)

式中：Pi,j(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)為(1+n)×(1+m)的控制點(diǎn)陣列；Ni,p(u)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量U上的p次B樣條基函數(shù)；Nj,p(v)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量V上的q次B樣條基函數(shù).節(jié)點(diǎn)矢量U和V為

(s=n+p+1)

(t=m+q+1)

B樣條曲面的反算是指已知一組矩形陣列的數(shù)據(jù)點(diǎn)，求解一個通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的B樣條曲面.反算過程分為節(jié)點(diǎn)矢量的確定和控制點(diǎn)的計算，控制點(diǎn)的計算也可以轉(zhuǎn)化為兩步B樣條曲線控制點(diǎn)的計算.

3 扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的擬合

為了方便敘述，將坐標(biāo)系統(tǒng)一為船體坐標(biāo)系，即X方向為船長方向，船艏為正；Y方向為船寬方向，右舷為正；Z方向為型深方向，向上為正.將腹板剖線與水線面的夾角定義為扭曲角θ，見圖3.

圖3 扭曲角的定義

船舶設(shè)計時，通常只定義外口線與肋骨剖線交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，放樣時再確定內(nèi)口上線對應(yīng)的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)值.

(2)

因此對于扭曲型材的腹板，已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)只有腹板外口線和內(nèi)口線上的兩組數(shù)據(jù)點(diǎn)，見圖4中實心圓.

圖4 已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)以及數(shù)據(jù)點(diǎn)的加密

欲用雙三次B樣條擬合腹板曲面，僅有兩組數(shù)據(jù)點(diǎn)不夠，需要對數(shù)據(jù)點(diǎn)加密.根據(jù)扭曲型材的剖面特征可知，其腹板在整數(shù)肋位處的剖線是直線，因此可在同一肋位上外口線和外口線上兩數(shù)據(jù)點(diǎn)之間做線性插值，生成n等分點(diǎn)，見圖5中空心圓.

對每一肋位的數(shù)據(jù)點(diǎn)都按同樣方式加密，最終得到(1+n)×(1+m)個數(shù)據(jù)點(diǎn)，記為Qi,j(i=0,1,…n;j=0,1,…,m),上述數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任意一列數(shù)據(jù)點(diǎn)均為對應(yīng)腹板剖線上的n等分點(diǎn)，因此對任何一列數(shù)據(jù)點(diǎn)，均存在以下關(guān)系：

(i=0,1,…n;j=0,1,…,m)

(3)

根據(jù)B樣條曲面的反算方法可知，腹板曲面控制點(diǎn)的反算分兩步：

步驟1擬合通過每列(1+n)個數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，也就是腹板剖線，得到(1+m)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+n)個控制點(diǎn)，記第一步反算得到的控制點(diǎn)為{Ri,j}(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m);

步驟2將第一步反算得到的控制點(diǎn)作為新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，擬合通過每一組新數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線，得到(3+n)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+m)個控制點(diǎn)，記最終的控制點(diǎn)為Pi,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2).

下面以某35 000 DWT散貨船的舷側(cè)縱桁為例進(jìn)行說明.該船從船艉FR12到FR20在4 500 mm吃水處設(shè)有一扭曲縱桁，見圖5.采用圖5所述的方法在外口線和內(nèi)口線之間做線性插值，生成n等分點(diǎn).經(jīng)過兩步反算得到控制點(diǎn)陣Pi,j(i=0,1,…,7;j=0,1,…,10)和腹板曲面.連接控制點(diǎn)得到8×11控制網(wǎng)格，最終擬合得到的腹板曲面見圖6.

蘄州城中有一小河，初為小溪，碧流如玉，兩岸楊柳依依，故名小柳河。流至荊王府水面漸寬，名為二郎河，注入長江成一道綠，如青龍戲水，直入云天。相傳吳承恩在荊王府中創(chuàng)作不朽名著《西游記》，每至疲憊困惑之時，便到河邊漫步，河風(fēng)一吹，頓覺神清氣爽，靈感天降，有如二郎神君相助，故賜名二郎河。明亡清興，二郎河悄然易道，漸次消失，僅存上游小柳河溪水叮咚，清澈如故。

圖5 局部肋骨型線圖和舷側(cè)縱桁

圖6 擬合的腹板曲面

采用上述曲面方程，對腹板曲面進(jìn)行插值，其中半肋位橫剖面(如10.5、11.5、…、17.5)與扭曲構(gòu)件腹板曲面的交線見圖7.

圖7 中間肋位剖線

由圖7可知，半肋位腹板剖線都是直線，并且控制線上控制點(diǎn)的分布程度相同.隨機(jī)選擇了一些橫剖面進(jìn)行計算，計算結(jié)果具有相同的特點(diǎn)，因此初步認(rèn)為腹板曲面在任意橫剖面處的剖線都是直線.

4 腹板曲面任意橫剖線都是直線的證明

4.1 證明控制線都是直線且控制點(diǎn)分布均勻程度相同

對于第一步反算的控制點(diǎn)，由于加密后的每一列數(shù)據(jù)點(diǎn)Qi,j都是在原始的外口線和內(nèi)口線相應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間通過線性插值生成的n等分點(diǎn)，因此經(jīng)過第一步反算得到的控制點(diǎn)Ri,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)中的每一組控制點(diǎn)也是線性分布的，且分布均勻程度相同，即：

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)

(4)

由式(4)可知：

(i=0,1,…,n+2)

(5)

即上述控制點(diǎn)中的任意一行控制點(diǎn)都是第一組控制點(diǎn)和最后一組控制點(diǎn)的線性組合.

(6)

式中：

因為

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j(i=0,1,…,n+2)

所以

(7)

即:

Pi,j=(1-ki)P0,j+kiPn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2)

(8)

故每一個橫剖面上的一組控制點(diǎn)都是線性分布的，且分布情況相同，連接每一組控制點(diǎn)得到的控制線也都是直線.

4.2 證明腹板曲面任意橫剖線都是直線

根據(jù)B樣條曲面的正算算法有：

(9)

由B樣條基函數(shù)的規(guī)范性可知：

(10)

在v=vt的等參數(shù)曲線上取S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點(diǎn).

(11)

(12)

(13)

因為

所以

S(u1,vt)-S(u2,vt)∥S(u2,vt)-S(u3,vt)

故在v=vt的等參數(shù)曲線上，S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點(diǎn)共線，命題得證.

扭曲型材構(gòu)件腹板曲面的任意橫剖線都是直線的特征，對于扭曲加工過程中成形控制非常有意義，例如，腹板任意橫剖線對應(yīng)的扭曲角可以很方便的用于成形檢測.

5 直紋面方程表達(dá)扭曲型材腹板曲面

扭曲型材腹板曲面在任意位置處的橫剖線都是長度為腹板高度的定長直線，在數(shù)學(xué)上，具備這種特征的曲面稱為直紋面.

對直紋面而言，當(dāng)素線相互平行或相交時，形成的直紋面屬于單曲面(如圓柱面和錐面)，否則稱為扭曲面(如螺旋面和雙曲拋物面).船體扭曲型材腹板曲面是由腹板剖線沿著內(nèi)口線和外口線運(yùn)動形成的，由于不同肋位的腹板剖線屬于異面直線，既不平行也不相交，因此腹板曲面屬于扭曲面.

工程上，直紋面一般表達(dá)為

S(u,v)=(1-v)a(u)+vc(u)

(16)

即直紋面本質(zhì)上就是表達(dá)直紋面的兩條邊界導(dǎo)線.對于扭曲型材的腹板曲面，母線是其腹板剖線，邊界導(dǎo)線是其外口線和內(nèi)口線，擬合腹板曲面實際上就是擬合腹板曲面的內(nèi)口線和外口線.若用3次B樣條方法擬合內(nèi)口線和外口線，那么得到的腹板曲面實際上就是3×1次B樣條曲面.

以上文的扭曲縱桁腹板為例，采用三次B樣條擬合外口線和內(nèi)口線，最終擬合的腹板曲面見圖8.

圖8 腹板曲面

為了了解B-樣條曲面和直紋面方程在擬合扭曲構(gòu)件腹板曲面的差異，分別采用兩種方法進(jìn)行插值.不失一般性，在半肋位剖面線上進(jìn)行插值計算點(diǎn)，兩種方法的插值結(jié)果顯示，分別采用雙三次B樣條方法和直紋面方程分別擬合扭曲型材腹板曲面(取自由端邊界條件)，對應(yīng)插值點(diǎn)的偏差均不超過0.01 mm，這種偏差在工程上可以忽略不計.但是比較兩種擬合方法的計算過程和計算量，顯然用直紋面擬合扭曲型材腹板曲面，過程更簡單，計算量更小，因此采用直紋面方程擬合扭曲型材的腹板曲面更為便捷.

6 結(jié) 論

1) 分析了扭曲型材構(gòu)件的幾何特征，根據(jù)設(shè)計和制造的特點(diǎn)，將腹板曲面作為主要的研究對象.

2) 采用B樣條曲面對型材腹板曲面進(jìn)行建模，模型結(jié)果顯示腹板曲面在任意橫剖面上的剖面線都是直線，并從理論上對此結(jié)論得以證明.

3) 扭曲型材腹板曲面具有直紋面的特征，可以采用直紋面方程進(jìn)行建模，并以具體算例驗證了結(jié)論的正確性.