劉中歡，吳梓楠

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510640）

基于性能的抗震設(shè)計(jì)依賴于準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)非線性分析模型［1］，纖維單元因其高效的計(jì)算效率被廣泛運(yùn)用到結(jié)構(gòu)非線性分析模型中.根據(jù)計(jì)算方法的不同，纖維單元可分為基于剛度法的纖維單元和基于柔度法的纖維單元兩大類.基于剛度法的纖維單元利用線性Lagrange插值構(gòu)造軸向位移場(chǎng)，利用Hermite插值構(gòu)造切向位移場(chǎng)，單元內(nèi)部存在常值軸向應(yīng)變和線性曲率問題.基于柔度法的纖維單元?jiǎng)t利用線性插值來(lái)求取截面彎矩，再通過截面柔度矩陣來(lái)求取截面變形，因此可有效避免線性曲率問題.但當(dāng)模擬強(qiáng)度軟化的構(gòu)件時(shí)，柔度法纖維單元由于塑性無(wú)法擴(kuò)散而存在明顯的塑性局部化問題，導(dǎo)致數(shù)值模擬難以收斂.

為解決柔度法纖維單元塑性局部化的問題，Coleman等［2］提出修正混凝土斷裂能的方法，其修正公式中包含端部積分點(diǎn)的權(quán)重項(xiàng)，對(duì)于積分點(diǎn)權(quán)重值不同的構(gòu)件，需要分別對(duì)其混凝土本構(gòu)進(jìn)行修正，因此該方法在使用上較為困難.Scott等［3］則通過使用Gauss-Radau積分來(lái)解決柔度法纖維單元塑性局部化問題，該方法在實(shí)際工程中更具可操作性.Gauss-Radau積分固定了端部積分點(diǎn)的權(quán)重，即事先指定了塑性鉸長(zhǎng)度，因此塑性鉸長(zhǎng)度的選取將直接影響到柔度法纖維單元的求解結(jié)果.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)鋼筋混凝土構(gòu)件的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算方法均有研究.如Priestley和Park［4］在1987年提出了考慮框架柱高和縱筋直徑的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算方法，隨后Paulay和Priestley［5］通過考慮不同強(qiáng)度等級(jí)的縱筋影響，對(duì)Priestley和Park提出的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算表達(dá)式進(jìn)行了修正.沈聚敏等［6］通過鋼筋混凝土梁的試驗(yàn)得出彎曲和壓彎構(gòu)件的塑性鉸長(zhǎng)度在0.2～0.5倍梁高之間.袁必果［7］提出了考慮偏心距影響的壓彎構(gòu)件塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式.此外，還有部分學(xué)者分別在塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式中考慮了配筋率、鋼筋類型和剪應(yīng)力密度等因素的影響［8-10］.但現(xiàn)有公式大多是針對(duì)鋼筋混凝土構(gòu)件提出的，在型鋼混凝土柱中的適用性依然有待研究.王斌等［11］根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果通過推導(dǎo)塑性轉(zhuǎn)角的方法獲得了適用于型鋼混凝土柱的等效塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式，該公式與試驗(yàn)結(jié)果匹配較好，但由于計(jì)算參數(shù)較多，所以將其直接運(yùn)用于柔度法纖維單元的計(jì)算中尚有一定難度.

型鋼混凝土柱作為典型的強(qiáng)度軟化構(gòu)件，塑性鉸長(zhǎng)度的合理選取將直接影響柔度法纖維單元的數(shù)值模擬精度.本文基于44個(gè)型鋼混凝土柱的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，回歸適用于型鋼混凝土柱柔度法纖維單元的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式，并基于該回歸公式探究了軸壓系數(shù)（試驗(yàn)軸壓比）、體積配箍率和含鋼率對(duì)型鋼混凝土柱延性的影響.

1 柔度法纖維單元

1.1 基本理論

基于柔度法的纖維單元是假定在節(jié)點(diǎn)力的作用下，單元內(nèi)部的軸力和剪力均為常值，并利用線性插值來(lái)求取各積分點(diǎn)處的截面彎矩.柔度法纖維單元的插值函數(shù)如式（1）所示，通過該插值函數(shù)可使單元力轉(zhuǎn)化為截面力，再利用上一迭代步的截面柔度矩陣f(x)來(lái)求解截面變形e(x)，如式（2）所示.然后通過數(shù)值積分（如式（3）和式（4）所示）分別求解單元柔度矩陣和單元變形.最后，根據(jù)單元柔度矩陣和單元變形求解單元抗力，抗力與外力之間的不平衡力將重新插值到截面中進(jìn)行迭代，直至滿足容差要求.

式中：b(x)為柔度法纖維單元的插值函數(shù)；L為單元長(zhǎng)度；x為單元中插值函數(shù)的計(jì)算位置；e(x)為截面變形，s(x)為截面內(nèi)力；f(x)為截面柔度矩陣；v為單元端部位移；wi為積分點(diǎn)權(quán)重系數(shù)；F為單元柔度矩陣；q為廣義節(jié)點(diǎn)力.

1.2 塑性局部化問題

對(duì)于強(qiáng)度軟化的構(gòu)件，由于受到插值函數(shù)的影響，當(dāng)柔度法纖維單元端部積分點(diǎn)發(fā)生強(qiáng)度軟化時(shí)，其余積分點(diǎn)處的截面彎矩值也將隨之減小，即發(fā)生了卸載現(xiàn)象.隨著構(gòu)件強(qiáng)度的逐步軟化，僅有端部積分點(diǎn)的曲率增加，而其余積分點(diǎn)的曲率將逐漸減小，如圖1所示.此時(shí)，構(gòu)件的塑性將集中在端部積分點(diǎn)，端部積分點(diǎn)的權(quán)重等同于塑性鉸長(zhǎng)度的概念.因此，對(duì)于強(qiáng)度軟化問題，端部積分點(diǎn)的權(quán)重將直接影響著構(gòu)件強(qiáng)度的軟化速率，需選擇一個(gè)合理的端部積分點(diǎn)權(quán)重（即塑性鉸長(zhǎng)度lp），以提高柔度法纖維單元的模擬精度.

圖1 柔度法纖維單元的塑性局部化問題Fig.1 Plastic localization of fiber element based on flexibility method

2 基于試驗(yàn)的塑性鉸長(zhǎng)度分析

2.1 分析方法

為更好把控端部積分點(diǎn)的權(quán)重值，將通過Gauss-Radau積分方法來(lái)進(jìn)行型鋼混凝土柱的推覆分析.Gauss-Radau積分方法固定了端部積分點(diǎn)的權(quán)重值，使該權(quán)重值不隨著型鋼混凝土柱長(zhǎng)度的增加或積分點(diǎn)數(shù)目的增加而變化.由于端部積分點(diǎn)的權(quán)重（即塑性鉸長(zhǎng)度）直接影響構(gòu)件強(qiáng)度的軟化速率，因此以軟化剛度Ksoft為指標(biāo)，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定數(shù)值分析模型的塑性鉸長(zhǎng)度值.軟化剛度Ksoft計(jì)算公式如式（5）所示.

圖2 骨架曲線軟化剛度示意圖Fig.2 Sketch of the softening stiffness of the skeleton curve

式中：Fmax為峰值承載力；Fu為極限承載力，取值為0.8倍的Fmax；Dmax為峰值承載力對(duì)應(yīng)的位移值；Du為極限承載力對(duì)應(yīng)的位移值；R為軟化剛度與峰值承載力割線剛度的比值.

試驗(yàn)值與數(shù)值解在峰值承載力和峰值位移上會(huì)有所偏差，這種偏差會(huì)直接影響軟化剛度Ksoft的值.為使軟化剛度更具客觀性，將骨架曲線的峰值承載力和峰值位移進(jìn)行歸一化，如圖2所示.此時(shí)歸一化軟化剛度的計(jì)算公式Ksoft-e如式（6）所示.

為更直觀地反映歸一化軟化剛度Ksoft-e，本文提出軟化角θsoft概念.軟化角θsoft為歸一化軟化剛度Ksoft-e的反正切值，其量綱為rad，計(jì)算公式如式（7）所示.本文將以軟化角θsoft為指標(biāo)來(lái)衡量柔度法纖維單元模擬的準(zhǔn)確性，進(jìn)而確定與試驗(yàn)軟化角θ最為相符的塑性鉸長(zhǎng)度值.

2.2 基于試驗(yàn)的數(shù)值分析

本文共收集44個(gè)型鋼混凝土柱的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)構(gòu)件參數(shù)如表1所示.根據(jù)試驗(yàn)骨架曲線，經(jīng)歸一化后可得到試驗(yàn)軟化角θ，其變化范圍一并列入表1.

表1 44個(gè)型鋼混凝土柱的試驗(yàn)參數(shù)及試驗(yàn)軟化角Tab.1 Test parameters and test softening angles of 44 steel reinforced concrete columns

以型鋼混凝土柱SRC1-2為例，通過單元塑性鉸長(zhǎng)度的增量改變，基于OpenSees平臺(tái)進(jìn)行推覆分析以確定各個(gè)塑性鉸長(zhǎng)度下構(gòu)件的力-位移曲線，進(jìn)而可確定軟化角θsoft，從中挑選出與試驗(yàn)軟化角θ最為接近的θsoft，其對(duì)應(yīng)的塑性鉸長(zhǎng)度值即為該構(gòu)件柔度法纖維單元數(shù)值模擬的合理塑性鉸長(zhǎng)度.不同塑性鉸長(zhǎng)度下SRC1-2構(gòu)件的力-位移曲線如圖3所示，當(dāng)柔度法纖維單元的塑性鉸長(zhǎng)度為60 mm時(shí)，其軟化角θsoft與試驗(yàn)軟化角θ最接近，即60 mm為該構(gòu)件數(shù)值模擬的合理塑性鉸長(zhǎng)度.

44個(gè)型鋼混凝土柱的合理塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果如圖4所示，曲線與試驗(yàn)點(diǎn)重合的位置為θsoft等于θ的位置，此時(shí)曲線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為該構(gòu)件數(shù)值模擬的合理塑性鉸長(zhǎng)度，44個(gè)型鋼混凝土柱數(shù)值模擬的合理塑性鉸長(zhǎng)度變化范圍為25～75 mm.

圖3 SRC1-2構(gòu)件在不同塑性鉸長(zhǎng)度下的力-位移曲線Fig.3 Force-displacement curves of SRC1-2 member under different plastic hinge lengths

圖4 44個(gè)型鋼混凝土柱數(shù)值模擬的合理塑性鉸長(zhǎng)度Fig.4 Reasonable plastic hinge length of 44 steel reinforced concrete columns in numerical simulation

3 塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式的回歸

3.1 確定回歸公式的基本參數(shù)

國(guó)內(nèi)外常用的鋼筋混凝土構(gòu)件的塑性鉸長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)公式如表2所示.提取表2中量綱與塑性鉸長(zhǎng)度量綱相同的參數(shù)于表3中，并將與鋼筋混凝土構(gòu)件相關(guān)的變量轉(zhuǎn)化為型鋼混凝土構(gòu)件相關(guān)的變量，作為回歸塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式的基本參數(shù).其中，將剪應(yīng)力密度r（MPa）轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱參數(shù)剪壓比v，剪壓比計(jì)算公式如式（8）所示.

式中：fck為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值，MPa.

表2 常用鋼筋混凝土構(gòu)件的塑性鉸長(zhǎng)度公式Tab.2 Commonly used plastic hinge length formulas of reinforced concrete members

根據(jù)前人的試驗(yàn)結(jié)果可知，構(gòu)件的延性隨著軸壓系數(shù)的上升而減弱.為保證柔度法纖維單元在數(shù)值模擬時(shí)能滿足上述規(guī)律，對(duì)含軸壓系數(shù)的參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，調(diào)整結(jié)果列于表3中.其中，參數(shù)6的取值區(qū)間較小，不具備統(tǒng)計(jì)意義，因此在回歸分析中，不考慮參數(shù)6對(duì)塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式的影響.

表3 SRC柱塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式的基本參數(shù)及其取值區(qū)間Tab.3 Basic parameters and value intervals of calculation formulas for plastic hinge lengths of SRC columns

3.2 塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式的回歸

利用前文3.1小節(jié)提出的5個(gè)基本參數(shù)，回歸基于柔度法纖維單元的雙參數(shù)型鋼混凝土柱塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式.將5個(gè)基本參數(shù)兩兩進(jìn)行組合，回歸確定各參數(shù)的系數(shù)項(xiàng)和各組合的相關(guān)系數(shù)R，回歸結(jié)果如表4所示.由表4可知，組合10的相關(guān)系數(shù)R值最大，回歸效果最優(yōu)，因此提出基于柔度法纖維單元的塑性鉸長(zhǎng)度lp計(jì)算公式如式（9）所示.

式中：v為剪壓比；λ為剪跨比；μ為軸壓系數(shù)；h0為截面有效高度，mm.

表4 SRC柱塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式回歸分析Tab.4 Regression analysis of calculation formulas for plastic hinge lengths of SRC columns

4 延性分析

4.1 延性系數(shù)的確定

延性是表征構(gòu)件變形能力的重要參數(shù)，延性系數(shù)μDuc則是量化構(gòu)件延性的重要指標(biāo)，其計(jì)算公式如式（10）所示.

式中：Δy為屈服位移，mm；Δu為極限位移，mm.在本文中Δu的取值為0.8倍峰值承載力對(duì)應(yīng)的位移值.

型鋼混凝土柱并非理想彈塑性體，其骨架曲線上沒有明顯的屈服點(diǎn)，因此常取等效屈服位移作為構(gòu)件的屈服位移.常用的確定等效屈服位移的方法有3種，分別為通用屈服彎矩法（作圖法）、Park法和能量等效法.其中能量等效法物理含義明確，因此本文采用能量等效法來(lái)計(jì)算構(gòu)件的等效屈服位移.

4.2 構(gòu)件設(shè)計(jì)

為探究軸壓系數(shù)μ、體積配箍率ρsv和含鋼率ρa(bǔ)對(duì)構(gòu)件延性的影響，采用C40混凝土和Q235級(jí)型鋼設(shè)計(jì)了24個(gè)型鋼混凝土柱，構(gòu)件長(zhǎng)度均為1200 mm，截面尺寸均為400 mm×400 mm，剪跨比均為3.設(shè)置軸壓系數(shù)分別為0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7，體積配箍率分別為0.5%、0.78%、1%，含鋼率分別為5.6%、7.3%、10.7%，然后依據(jù)公式（10）分別計(jì)算24個(gè)構(gòu)件的延性系數(shù).

4.3 軸壓系數(shù)對(duì)型鋼混凝土柱延性的影響

延性系數(shù)隨軸壓系數(shù)的變化情況如圖5所示.由圖5可知，軸壓系數(shù)是影響型鋼混凝土柱延性的重要因素，延性系數(shù)隨著軸壓系數(shù)的升高而降低；當(dāng)軸壓系數(shù)大于0.4時(shí)，μDuc-μ曲線出現(xiàn)明顯拐點(diǎn)，此時(shí)延性系數(shù)較小，軸壓系數(shù)對(duì)型鋼混凝土柱延性系數(shù)的影響逐漸減弱.

4.4 體積配箍率對(duì)型鋼混凝土柱延性的影響

延性系數(shù)隨體積配箍率的變化情況如圖6所示.由圖6可知，延性系數(shù)隨著體積配箍率的增加而增大，且隨著軸壓系數(shù)的增加，體積配箍率對(duì)型鋼混凝土柱延性系數(shù)的影響逐漸減弱.

圖5 μDuc-μ曲線Fig.5 μDuc-μcurves

圖6 μDuc-ρsv曲線Fig.6 μDuc-ρsv curves

4.5 含鋼率對(duì)型鋼混凝土柱延性的影響

延性系數(shù)隨含鋼率的變化情況如圖7所示.由圖7可知，延性系數(shù)隨著含鋼率的增加而增大，但增大效果并不明顯，即含鋼率對(duì)型鋼混凝土柱延性系數(shù)的影響并不顯著.

圖7 μDuc-ρa(bǔ)曲線Fig.7 μDuc-ρa(bǔ) curves

5 結(jié)論

本文基于44個(gè)型鋼混凝土柱的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，回歸了基于柔度法纖維單元的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式，可有效地解決柔度法纖維單元的塑性局部化問題，同時(shí)基于回歸公式探究了軸壓系數(shù)、體積配箍率和含鋼率對(duì)型鋼混凝土柱延性的影響.得出以下結(jié)論：

1）在模擬構(gòu)件的強(qiáng)度軟化行為時(shí)，柔度法纖維單元存在塑性局部化問題，塑性無(wú)法擴(kuò)散，因此端部積分點(diǎn)權(quán)重（即塑性鉸長(zhǎng)度）會(huì)直接影響數(shù)值模擬結(jié)果.

2）基于44個(gè)型鋼混凝土柱的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了適用于柔度法纖維單元的塑性鉸長(zhǎng)度計(jì)算公式，有效地解決了柔度法纖維單元的塑性局部化問題.

3）軸壓系數(shù)是影響型鋼混凝土柱延性的重要因素，其延性系數(shù)隨著軸壓系數(shù)的升高而降低，當(dāng)軸壓系數(shù)大于0.4時(shí)，軸壓系數(shù)對(duì)構(gòu)件延性的影響逐漸減弱；型鋼混凝土柱延性系數(shù)隨著體積配箍率的增加而增大，且隨著軸壓系數(shù)的增加，體積配箍率對(duì)構(gòu)件延性的影響逐漸減弱；含鋼率對(duì)型鋼混凝土柱延性基本沒有影響.