黨 壯，劉燦昌，賀成泰，蘇紅建，張鑫越，欒軍超

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院,山東 淄博 255049)

機(jī)電耦合系統(tǒng)因具有良好的電磁阻尼特性而廣泛應(yīng)用于振動能量回收和控制領(lǐng)域。耦合系統(tǒng)的幾何和電磁非線性會影響結(jié)構(gòu)振動的穩(wěn)定性和控制效果，因此研究耦合系統(tǒng)的內(nèi)共振特性具有重要的理論和應(yīng)用價值[1]。機(jī)電耦合系統(tǒng)共振特性分析成為當(dāng)前研究的重要課題之一。楊志安等[2-5]研究了電阻、電感、電容(RLC)串聯(lián)電路系統(tǒng)與微梁系統(tǒng)固有頻率之比為1∶2時的內(nèi)共振特性以及耦合系統(tǒng)的吸合電壓與電振蕩，分析了RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)的非線性振動和動力穩(wěn)定性，得到該模型的穩(wěn)定邊界以及對于類似能量轉(zhuǎn)化的規(guī)律。崔一輝等[6]建立RLC電路彈簧耦合系統(tǒng)模型，研究了RLC電路彈簧系統(tǒng)的非線性振動特性，得到級數(shù)形式解。馬駿等[7]建立了三自由度車輛懸置系統(tǒng)1/4車輛模型，通過研究該系統(tǒng)垂向耦合的振動特性，得到了人體最敏感的頻率范圍。鄭銀環(huán)等[8]在七自由度車輛動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，建立車輛振動模型，對耦合振動系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，得到了路面情況對于耦合振動的影響規(guī)律。汽車懸架耦合系統(tǒng)存在建模和分析復(fù)雜的問題，研究工作者對懸架耦合非線性特性的研究較少[9-11]。汽車懸架耦合系統(tǒng)內(nèi)共振耦合參數(shù)匹配關(guān)系是電磁阻尼懸架設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一，因此，開展電磁阻尼的懸架耦合系統(tǒng)共振特性研究對于電磁阻尼懸架設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

本文中以電磁阻尼懸架為研究對象，建立機(jī)電耦合動力學(xué)模型，研究電磁阻尼耦合懸架的內(nèi)共振參數(shù)匹配關(guān)系。應(yīng)用多尺度法分析耦合系統(tǒng)動力學(xué)微分方程，得到耦合系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。利用數(shù)值方法計(jì)算分析耦合系統(tǒng)的幅頻方程，得到幅頻方程的響應(yīng)曲線,得到RLC電路電磁學(xué)參數(shù)與機(jī)械參數(shù)間的影響規(guī)律。

1 理論分析

電磁阻尼耦合懸架模型及其等效電路見圖1。利用多項(xiàng)式擬合方法，得到模型的振動微分方程為

(1)

m—簧上質(zhì)量；c—阻尼；k1—彈簧剛度；k2—非線性彈簧剛度；Le、Re—線圈的固有電感、電阻，Rs—分流器的等效電阻；C—電容；zb—外界激勵幅值；I(t)—電流。圖1 電磁阻尼耦合懸架模型及其等效電路

為了便于分析，引入無量綱量

(2)

式中：x為懸架無量綱位移；t為無量綱時間；ω為懸架固有角頻率；Ω為無量綱外界激勵頻率；q為無量綱電荷量；Q0為最大電壓時的電荷量。

(3)

應(yīng)用多尺度法，求得方程(3)的近似解為

(4)

式中：T0=t為快變時間尺度；T1=εt為慢變時間尺度。

調(diào)節(jié)外激勵的頻率和懸架的固有頻率成主共振關(guān)系，并且懸架的固有頻率與電路系統(tǒng)的固有頻率之比滿足1∶3時，電磁阻尼耦合懸架會產(chǎn)生內(nèi)共振，各頻率滿足關(guān)系為

(5)

式中σ1、σ2分別為懸架、電路的固有頻率調(diào)諧參數(shù)。

將式(4)及其對時間的導(dǎo)數(shù)代入式(3)，并令式(3)中等號兩側(cè)ε的同次冪相等，整理得

(6)

式中O(ε0)為無量綱參數(shù)次數(shù)為0的項(xiàng)。

(7)

式中O(ε1)為無量綱參數(shù)次數(shù)為1的項(xiàng)。

式(7)的近似解為

(8)

A1、A2的極坐標(biāo)形式為

(9)

式中：a1(T1)、a2(T1)分別為懸架、電路振幅的實(shí)部；β1(T1)、β2(T1)分別為懸架、電路的相位。

式(7)處理過程中使用變換

(10)

將式(8)、(10)代入式(7)，得到久期方程，即

2?A1?T1jω1+n1jω1A1+3n2A21A—1-12Ω2ejσ1T1+ 3n4jω1A—21A2e-jσ2T1=0,2?A2?T1jω2+u1jω2A2-13u3jω2A31ejσ2T1=0。ì?í???????(11)

(12)

(14)

(15)

通過應(yīng)用多尺度法，分析耦合系統(tǒng)動力學(xué)微分方程，得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程。本文中根據(jù)式(14)、(15)對算例進(jìn)行仿真分析，得到懸架系統(tǒng)和電路系統(tǒng)的相應(yīng)特性。

2 算例分析

算例以電磁阻尼耦合懸架系統(tǒng)幅頻響應(yīng)方程為計(jì)算對象，通過改變電路中的電阻、電感、電壓、外界激勵幅值和頻率等參數(shù)，研究電磁阻尼耦合懸架系統(tǒng)的內(nèi)共振特性和參數(shù)匹配關(guān)系。算例參數(shù)[12-15]如表1所示。圖2所示為不同參數(shù)對應(yīng)的電磁阻尼耦合懸架系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，其中調(diào)諧參數(shù)σ2取為1。

表1 算例所需部分參數(shù)

圖2(a)所示為Re-Rs>0條件下不同分流器等效電阻時的懸架幅頻響應(yīng)曲線。算例中電路采用的參數(shù)分別為Le=0.3 H，U=10V，Ω=0.06 rad/s和zb=0.04 m。由圖可知，分流器電阻為1 600 Ω時的幅頻曲線幅值最大，振動的非線性較顯著。懸架幅頻響應(yīng)曲線的振動峰值隨分流器電阻的增大而單調(diào)遞增。

圖2(b)所示為Re-Rs<0條件下不同分流器等效電阻時的懸架幅頻。算例中的電路參數(shù)與圖2(a)中的相同，并且滿足分流器電阻小于線圈電阻的條件。由圖可知，當(dāng)分流器電阻為600 Ω時，幅頻曲線幅值最大，振動的非線性較顯著；當(dāng)分流器電阻為1 000 Ω時，幅頻曲線幅值最小，振動的非線性明顯減弱，懸架幅頻響應(yīng)曲線的振動峰值隨分流器電阻的增大而減小。

圖2(c)所示為不同線圈固有電感時的懸架幅頻響應(yīng)曲線。算例中電路采用的參數(shù)分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.06 rad/s，zb=0.04 m和U=10V。由圖可知，當(dāng)線圈固有電感Le由0.3 H增大至0.5 H時，系統(tǒng)的最大振幅減小，并且系統(tǒng)振動非線性減弱。由此可得，當(dāng)選取電感值在參數(shù)范圍內(nèi)，并保持其他參數(shù)不變時，電感值越大；懸架幅頻響應(yīng)曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(d)所示為不同電路電壓時的懸架幅頻響應(yīng)曲線。算例中電路采用的參數(shù)分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.06 rad/s，zb=0.04 m和Le=0.3 H。由圖可知，當(dāng)電路電壓U由10 V增大至20 V時，懸架振幅響應(yīng)曲線峰值的變化規(guī)律和非線性強(qiáng)度的變化情況與改變電感數(shù)值時的相似，當(dāng)選取電壓值在參數(shù)范圍內(nèi)，并保持其他參數(shù)不變時，電壓值越大，懸架幅頻響應(yīng)曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(e)所示為不同外界激勵頻率時的懸架幅頻響應(yīng)曲線。算例中電路采用的參數(shù)分別為U=10 V，Rs=1 000 Ω，zb=0.04 m和Le=0.3 H。當(dāng)外界激勵頻率Ω從0.06 rad/s遞減至0.04 rad/s時，懸架振動的非線性呈現(xiàn)一定的減弱，而懸架振幅響應(yīng)曲線峰值逐漸增大。由此可得，當(dāng)選取外界激勵頻率值在參數(shù)范圍內(nèi)，并保持其他參數(shù)不變時，數(shù)值越小，懸架幅頻響應(yīng)曲線的峰值越小，振動非線性越弱。

圖2(f)所示為不同外界激勵幅值時的懸架幅頻響應(yīng)曲線。算例中電路采用的參數(shù)分別為Ω=0.06 rad/s，Rs=1 000 Ω，U=10 V和Le=0.3 H。由圖可知，外界激勵幅值zb越小，對應(yīng)的懸架幅頻響應(yīng)曲線的峰值越小。

圖3所示為不同參數(shù)對電路幅頻響應(yīng)曲線的影響，其中調(diào)諧參數(shù)σ1取為0.01。

圖3(a)所示為不同分流器等效電阻時的電路幅頻響應(yīng)響應(yīng)。算例中電路采用的參數(shù)分別為zb=0.04 m，Ω=0.6 rad/s，Le=0.3 H和U=10 V。由圖可知，當(dāng)選取分流器等效電阻Rs在參數(shù)范圍內(nèi),并保持其他參數(shù)不變時，電路的振幅響應(yīng)曲線在接近滿足完全調(diào)諧時達(dá)到峰值。隨著分流器電阻Rs的增大，電路幅頻響應(yīng)曲線的峰值先增大后減小。

圖3(b)所示為不同線圈固有電感時的電路幅頻響應(yīng)。算例中電路采用的參數(shù)分別為Ω=0.6 rad/s，zb=0.04 m，Rs=1 000 Ω和U=10 V。由圖可知，隨著線圈固有電感Le逐漸增大，電量振幅響應(yīng)曲線的峰值幾乎沒有變化，但是電量振幅響應(yīng)曲線的共振區(qū)變小。同時隨著電感從0.3 H增大到0.5 H，響應(yīng)曲線輕微右移，使得響應(yīng)曲線更接近完全調(diào)諧。

圖3(c)所示為不同電路電壓時的電路幅頻響應(yīng)。算例中電路采用的參數(shù)分別為Ω=0.6 rad/s，zb=0.04 m，Rs=1 000 Ω和Le=0.3 H。由圖可知，電量振幅響應(yīng)曲線峰值隨電路電壓U的增大而逐漸減小，響應(yīng)曲線共振區(qū)隨電路電壓的增大而變窄。

圖3(d)所示為不同外界激勵頻率時的電路幅頻響應(yīng)。算例中電路采用的參數(shù)分別為Rs=1 000 Ω，Le=0.3 H，zb=0.04 m和U=10 V。由圖可知，與電壓對電量的振幅響應(yīng)曲線影響相反，在外界激勵頻率Ω由0.4 rad/s增大至0.6 rad/s的過程中，電量的振幅響應(yīng)曲線峰值單調(diào)遞增。

圖3(e)所示為不同外界激勵幅值時的電路幅頻響應(yīng)。算例中電路采用的參數(shù)分別為Rs=1 000 Ω，Ω=0.6 rad/s，Le=0.3 H和U=10 V。由圖可知，當(dāng)外界激勵幅值zb為0.03 m時，電量的振幅響應(yīng)曲線在接近于滿足完全調(diào)諧時達(dá)到峰值。增大外界激勵幅值能使響應(yīng)曲線振幅增大，同時，峰值向完全調(diào)諧的左側(cè)略有偏移。

3 結(jié)論

本文中建立了受簡諧激勵的電磁阻尼耦合懸架動力學(xué)模型及非線性振動微分方程，分析得到耦合系統(tǒng)中懸架與電路系統(tǒng)固有頻率之比為1∶3時的內(nèi)共振幅頻方程，通過算例分析耦合系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，得到了電磁阻尼耦合懸架系統(tǒng)的內(nèi)共振特性和參數(shù)匹配關(guān)系。

1)調(diào)節(jié)分流器電阻值接近線圈固有電阻值，懸架幅頻響應(yīng)曲線的峰值隨著電感、電壓的增大而減小，外界激勵幅值和頻率的減小，會使懸架對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線的峰值減小，懸架幅頻響應(yīng)曲線的非線性強(qiáng)度隨著電感和外界激勵幅值的增大而減小。

2)電量振幅響應(yīng)曲線的峰值在調(diào)節(jié)分流器電阻值接近線圈固有電阻時達(dá)到最大，電量的振幅響應(yīng)曲線峰值隨外界激勵幅值和頻率的增大而增大，而電感對電量的振幅響應(yīng)曲線的峰值影響微小，只是隨著電感的增大，響應(yīng)曲線的共振區(qū)逐漸變窄。