鄒旭東，賈志強(qiáng)，張麗霞

(青島理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，山東 青島 266520)

路徑跟蹤是智能車輛運(yùn)動(dòng)控制的核心問題之一，如何在跟蹤目標(biāo)路徑的同時(shí)保持車輛的行駛穩(wěn)定性也是車輛控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者都對(duì)此展開了研究。鄒凱等[2]為了提高整車模型精度，將輪胎模型Pacejka-98在每個(gè)控制周期都進(jìn)行線性化，基于車輛的線性時(shí)變模型，設(shè)計(jì)了帶有控制量和控制增量等約束的模型預(yù)測(cè)控制器(MPC)，跟蹤精度較高，但是沒有考慮跟蹤過程中車輛的穩(wěn)定性問題。陳特等[3]設(shè)計(jì)了一種兼顧路徑跟蹤與穩(wěn)定性控制的滑?？刂破?，并提出一種輪胎力優(yōu)化分配方案，在良好路面上實(shí)現(xiàn)了期望軌跡跟蹤，但是未對(duì)冰雪路面上的穩(wěn)定性控制進(jìn)行研究。孫躍東等[4]將汽車橫擺角速度名義值與實(shí)際值之差作為控制器的參考量，設(shè)計(jì)了以模糊比例積分微分(PID)算法為基礎(chǔ)的車身電子穩(wěn)定系統(tǒng)(ESP)控制器，對(duì)汽車高速行駛在干燥瀝青路面上的工況進(jìn)行聯(lián)合仿真分析，達(dá)到了較好的穩(wěn)定性控制效果。王藝等[5]通過對(duì)車輛三自由度模型進(jìn)行線性化，并加入控制量和控制增量約束，設(shè)計(jì)了一種MPC路徑跟蹤控制器，并考慮質(zhì)心側(cè)偏角等約束，在中低速下實(shí)現(xiàn)了較好的路徑跟蹤效果。上述研究中均未對(duì)車輛在冰雪路面上跟蹤期望路徑的工況展開研究，這顯然與我國(guó)北方冬季經(jīng)常出現(xiàn)冰雪路面的實(shí)際情況不相符[6]。

本文中基于線性時(shí)變模型，設(shè)計(jì)充分考慮冰雪路面上車輛行駛穩(wěn)定性的MPC路徑跟蹤控制器，考慮到車輛在附著系數(shù)較小的路面上行駛時(shí)易發(fā)生側(cè)滑的情況，在控制前輪轉(zhuǎn)角進(jìn)行路徑跟蹤的同時(shí)引入附加橫擺力偶矩來矯正車身姿態(tài)，并根據(jù)一定的分配邏輯分別計(jì)算4個(gè)車輪上的制動(dòng)力矩輸出給車輛模型，以保證一定的路徑跟蹤精度，同時(shí)充分保障車輛的穩(wěn)定性和安全性。

1 車輛模型

1.1 車輛二自由度模型

根據(jù)牛頓第二定律，二自由度模型車輛動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

xoy—車輛坐標(biāo)系；XOY—慣性坐標(biāo)系；車輛在x軸方向的速度；車輛在y軸方向的速度；車輛橫擺角速度；β—車輛質(zhì)心側(cè)偏角；Fcf、Fcr—前、后輪胎的側(cè)向力；αf、αr—前、后輪胎的側(cè)偏角；δf—前輪轉(zhuǎn)角；a、b—車輛質(zhì)心到前、后軸的距離。圖1 車輛二自由度模型

1.2 輪胎模型

輪胎作為車輛與路面接觸的唯一介質(zhì)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜并有高度非線性動(dòng)力學(xué)性能，因此選擇準(zhǔn)確且便于應(yīng)用的輪胎模型是進(jìn)行車輛建模和動(dòng)力學(xué)仿真的關(guān)鍵。本文中選擇經(jīng)典魔術(shù)公式作為輪胎模型。

輪胎側(cè)向力Fc與輪胎側(cè)偏角α的關(guān)系如圖2所示。從圖中可以看出，在輪胎側(cè)偏角α較小時(shí)，輪胎所受側(cè)向力Fc與α呈線性關(guān)系。

圖2 輪胎側(cè)向力與側(cè)偏角的關(guān)系

前、后輪胎所受側(cè)向力Fcf、Fcr公式[8]為

(3)

(4)

式中Ccf、Ccr分別為前、后輪側(cè)偏剛度。

將上述簡(jiǎn)化后的輪胎模型式(3)、(4)代入式(1)、(2)，并將車輛坐標(biāo)系xoy轉(zhuǎn)換成慣性坐標(biāo)系XOY，在前輪轉(zhuǎn)角δf較小時(shí)，基于線性輪胎模型，得到車輛動(dòng)力學(xué)非線性模型為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 MPC設(shè)計(jì)

2.1 MPC原理

由于MPC原理推導(dǎo)過程已有很多學(xué)者進(jìn)行了詳細(xì)介紹，因此僅給出必要的文字?jǐn)⑹黾瓣P(guān)鍵公式。車輛的非線性動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(9)

車輛在高速行駛時(shí)，對(duì)控制器實(shí)時(shí)性要求更嚴(yán)格，非線性模型預(yù)測(cè)控制不能滿足需求，因此需要對(duì)式(9)即車輛非線性模型進(jìn)行近似線性化。設(shè)參考點(diǎn)為(Xr,ur)，在該點(diǎn)對(duì)式(9)進(jìn)行一階泰勒展開。雖然無法直接將狀態(tài)變量與控制量變成線性關(guān)系，但是可以對(duì)狀態(tài)變量和控制量誤差進(jìn)行線性化。誤差的連續(xù)狀態(tài)空間方程為

(10)

線性化后的連續(xù)狀態(tài)空間方程無法進(jìn)行MPC的遞推運(yùn)算，因此采用一階差商的方法對(duì)模型進(jìn)行離散化，并作轉(zhuǎn)換

(11)

得到k時(shí)刻基于控制增量的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(12)

為了說明線性時(shí)變模型對(duì)車輛未來時(shí)刻輸出的預(yù)測(cè)，對(duì)所得到的基于控制增量的狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行迭代，可得預(yù)測(cè)輸出表達(dá)式。最終都可以轉(zhuǎn)化為帶有控制量極限約束和控制增量約束的二次規(guī)劃問題[9]，即

J[ζ(t),u(t-1),ΔU(t)] ,

s.t. ΔUmin≤ΔUt≤ΔUmax,

Umin≤ΔUt+Ut≤Umax,

yhc,min≤yhc≤yhc,max,

ysc,min-εI3Np×1≤ysc≤ysc,max+εI3Np×1,

ε>0 ,

(13)

式中：J為MPC優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；u(t-1)為上一時(shí)刻控制量；ΔUt、ΔUmax、Umin分別為t時(shí)刻的控制增量及其上、下限；Ut、Umax、Umin分別為t時(shí)刻的控制量及其上、下限；yhc、yhc,max、yhc,min分別為硬約束輸出量及其上、下限；ysc、ysc,max、ysc,min分別為軟約束輸出量及其上、下限；Np為預(yù)測(cè)時(shí)域；ε為松弛因子，防止控制周期內(nèi)無法求出最優(yōu)解。

(14)

在每個(gè)控制周期循環(huán)此過程，即可實(shí)現(xiàn)車輛對(duì)期望路徑的跟蹤。

2.2 附加橫擺力偶矩控制機(jī)理及分配邏輯

(15)

aFcf-bFcr+2cFlr=0，

(16)

式中c為輪胎到車輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2。

Fcf、Fcr—前、后輪胎的側(cè)向力；a、b—車輛質(zhì)心到前、后軸的距離；c—輪胎到車輛縱向中軸線的距離，即輪距的1/2；Flr—附加作用力。圖3 穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛時(shí)車輛受力平衡

從式(16)中可以看出，此時(shí)Fcf減小，F(xiàn)cr增大；相應(yīng)的前側(cè)偏角αf減小，后側(cè)偏角αr增大，車輛的不足轉(zhuǎn)向量減小。如果作用相反的橫擺力偶矩M，則車輛的過度轉(zhuǎn)向量減小，因此，作用于車輛的橫擺力偶矩M可以改變前、后車輪地面?zhèn)认蚍醋饔昧cf、Fcr的大小，并改善車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性，顯著改善車輛的操縱穩(wěn)定性。

設(shè)附加橫擺力偶矩M逆時(shí)針方向?yàn)檎?，該邏輯采用單輪制?dòng)，并且基于下列已知事實(shí)：1)左、右車輪制動(dòng)比前、后車輪制動(dòng)對(duì)車輛轉(zhuǎn)向影響更明顯；2)外側(cè)車輪制動(dòng)可有效改善轉(zhuǎn)向過度，而內(nèi)側(cè)車輪制動(dòng)可有效改善轉(zhuǎn)向不足。

3 仿真與分析

基于車輛模型的建立，結(jié)合MPC的設(shè)計(jì)思路，采用CarSim與MATLAB Simulink軟件聯(lián)合仿真，對(duì)車輛在冰雪路面(附著系數(shù)μ=0.3)和干燥瀝青路面(μ=0.85)上以不同車速(54、72 km/h)跟蹤雙移線軌跡的情況進(jìn)行分析，聯(lián)合仿真控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

φr—期望橫擺角；期望橫擺角速度；Yr—期望軌跡；車輛在x、y軸方向的速度；φ—車輛橫擺角；車輛橫擺角速度；X—行駛距離；Y—實(shí)際軌跡； Tfl、Trl、Tfr、Trr—左前輪、左后輪、右前輪、右后輪制動(dòng)力矩；δf—前輪轉(zhuǎn)角；M—附加橫擺力偶矩。圖4 車輛模型的聯(lián)合仿真控制器結(jié)構(gòu)

MPC求解出最優(yōu)的前輪轉(zhuǎn)角δf和附加橫擺力偶矩M，并將附加橫擺力偶矩以上述分配邏輯分配給4個(gè)車輪制動(dòng)力矩，并輸出給車輛模型，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。仿真車輛關(guān)鍵參數(shù)和模型預(yù)測(cè)控制器參數(shù)如表1、2所示。

表1 仿真車輛關(guān)鍵參數(shù)

3.1 中低速行駛工況仿真

車輛以車速54 km/h行駛，跟蹤一段雙移線軌跡，通過設(shè)置不同的路面附著系數(shù)，分析車輛在不同路面上對(duì)期望軌跡的跟蹤性能和控制穩(wěn)定性。不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率仿真結(jié)果如圖5、6所示。

表2 模型預(yù)測(cè)控制器參數(shù)

從圖5(a)、(b)、(c)中可以看出，當(dāng)車輛中低速行駛時(shí)，在2種路面條件下的跟蹤效果仍然良好，冰雪路面上的橫擺角速度較小，橫擺角速度保持在-10～10 (°)/s，有利于車輛的操縱穩(wěn)定性，干燥瀝青路面上的橫擺角速度稍大，約為冰雪路面上的1.55倍，但是車輛仍然穩(wěn)定；質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定控制在-1°～0.5°，符合質(zhì)心側(cè)偏角在冰雪路面上的極限值約束。從圖5(d)、(e)、(f)中可以看出，車輛行駛在冰雪路面上時(shí)制動(dòng)力矩較大，原因是滑移率增大，制動(dòng)力矩效率下降，干燥瀝青路面上的制動(dòng)力矩約為冰雪路面上的80%；結(jié)合圖5(a)、(d)中的轉(zhuǎn)向和制動(dòng)曲線可以看出，在0.5 s時(shí)車輛開始左轉(zhuǎn)向，在同一時(shí)間控制器中，通過制動(dòng)左側(cè)輪胎給予車輛一個(gè)正的附加橫擺力偶矩；在2.5 s時(shí)車輛右轉(zhuǎn)向，控制器釋放左側(cè)的制動(dòng)，在右側(cè)制動(dòng)，以產(chǎn)生負(fù)的附加橫擺力偶矩；從4.5 s開始車輛再次左轉(zhuǎn)向，車輛需要一個(gè)正的附加橫擺力偶矩，因此制動(dòng)左側(cè)輪胎。上述結(jié)果說明，在控制器的作用下轉(zhuǎn)向和制動(dòng)實(shí)現(xiàn)了良好配合。

從圖6中可以看出，車輛在過彎道的極限工況下，2種路面上各車輪的滑移率出現(xiàn)不同程度的震蕩，干燥瀝青路面上各車輪的滑移率均為-0.3%～0.3%，冰雪路面上最大滑移率出現(xiàn)在右前輪，為1.4%，在合理范圍內(nèi)。

3.2 高速行駛工況仿真

車輛以車速72 km/h行駛，不同路面上路徑跟蹤、各輪胎滑移率的仿真結(jié)果如圖7、8所示。

從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出，當(dāng)車輛以較大車速行駛時(shí)，在干燥瀝青路面上仍有較高的跟蹤精度，而在冰雪路面上則有一定的跟蹤誤差，但是質(zhì)心側(cè)偏角更小，約為干燥瀝青路面上的60%，有利于車輛的穩(wěn)定性控制。從圖7(d)中可以看出，車輛在冰雪路面上行駛時(shí)需要更大的附加橫擺力偶矩來矯正車身姿態(tài)。圖7(e)、(f)的不同之處不僅在于各輪制動(dòng)力矩的極值，而且體現(xiàn)在車輛2 s后開始過第2個(gè)彎道，干燥瀝青路面上過彎道時(shí)間僅為1 s，而冰雪路面上則持續(xù)了2 s，過彎道時(shí)間更長(zhǎng)，轉(zhuǎn)彎半徑更大，這是控制器為了保證車輛穩(wěn)定性而對(duì)前輪轉(zhuǎn)角和附加橫擺力偶矩所進(jìn)行的優(yōu)化處理。

從圖8(a)中可看出，滑移率被限制在-0.4%～0.6%，制動(dòng)效率更高。從圖8(b)中可以看出，冰雪路面上最大滑移率為1.8%，出現(xiàn)在3 s時(shí)的道路曲率最大處。

4 結(jié)論

本文中根據(jù)具有2個(gè)控制輸入量的六階簡(jiǎn)化自行車模型和附加橫擺力偶矩作用原理，設(shè)計(jì)了MPC路徑跟蹤控制器，在CarSim和MATLAB Simulink軟件聯(lián)合仿真平臺(tái)上驗(yàn)證了控制器在不同車速、不同路面附著系數(shù)工況下的控制效果。

1)當(dāng)車輛以中低速行駛時(shí)，控制器在2種路面條件下都有很好的跟蹤效果以及較強(qiáng)的穩(wěn)定性，并且具有很強(qiáng)的魯棒性，橫擺角速度均被限制在-20～15 (°)/s，車輛質(zhì)心側(cè)偏角保持在-1°～0.5°。

2)當(dāng)車輛以較高車速行駛時(shí)，在干燥瀝青路面上的跟蹤效果仍然較好。在冰雪路面上雖然仍然保持了行駛穩(wěn)定性，但是犧牲了一定的跟蹤精度，原因是車輛模型不夠精確。后續(xù)將通過采用更大自由度的車輛模型以及更全面的控制算法來解決該問題。