付俊慶，林 朗

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)電工程院，湖南 長(zhǎng)沙 410076；2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

0 引言

近年來(lái)，四旋翼飛行器的發(fā)展受到了越來(lái)越多的關(guān)注，由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，四旋翼飛行器在軍事和民用領(lǐng)域均展現(xiàn)出了巨大的應(yīng)用價(jià)值.在現(xiàn)有的飛行器控制算法當(dāng)中，PID算法被廣泛應(yīng)用.設(shè)計(jì)PID控制器時(shí)，控制器參數(shù)的選擇往往決定了控制器最終能實(shí)現(xiàn)的控制效果.手動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，也很難達(dá)到最優(yōu)的控制效果，因此，研究控制器參數(shù)整定和優(yōu)化方法的重要性就凸顯了出來(lái)[1].四旋翼飛行器具有欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，采用傳統(tǒng)的整定方法(如Ziegler-Nichols法)很難獲取控制器的最優(yōu)參數(shù).

隨著人工智能算法的逐漸興起，越來(lái)越多的算法被用于控制器參數(shù)的優(yōu)化整定當(dāng)中[2-4].目前，諸如遺傳算法和模擬退火算法的一些隨機(jī)搜索算法，均已在PID控制器的參數(shù)優(yōu)化整定當(dāng)中得到成功應(yīng)用[5-6].相較于模擬退火算法，遺傳算法采用并行搜索方式，因此其搜索速度更快.然而，當(dāng)面對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題，特別是被優(yōu)化參數(shù)相互關(guān)聯(lián)時(shí)，常規(guī)遺傳算法存在一定的缺陷，優(yōu)化速度明顯減慢.

粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)由Kennedy和Eberhart在1995年提出，它是一種群體智能的優(yōu)化算法[7].與同為群體智能優(yōu)化算法的遺傳算法相比，粒子群算法具有計(jì)算效率高、容易實(shí)現(xiàn)和計(jì)算量小等優(yōu)勢(shì)[8].基本的粒子群算法與常規(guī)遺傳算法相似，在算法后期容易陷入局部最優(yōu)中，找不到全局最優(yōu)解.本文提出了一種慣性權(quán)重非線性遞減且融合了遺傳算子的粒子群優(yōu)化算法，并將該算法應(yīng)用到四旋翼飛行器飛控系統(tǒng)PID控制器參數(shù)的優(yōu)化當(dāng)中，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性.

1 改進(jìn)粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

PSO的靈感來(lái)源于模擬鳥類的捕食行為.粒子群算法中，每個(gè)粒子都在解空間內(nèi)，包含位置、速度和適應(yīng)度值三種信息，它們代表優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)潛在最優(yōu)解.適應(yīng)度值由適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算得到，其值的大小代表粒子的好壞，通常越小越接近最優(yōu)解.各粒子的運(yùn)動(dòng)速度與自身最優(yōu)位置以及種群最優(yōu)位置相關(guān)，依照給定規(guī)則進(jìn)行更新.當(dāng)粒子完成位置信息的更新后，需要重新計(jì)算一次適應(yīng)度值，通過(guò)比較新的適應(yīng)度值與粒子自身歷史最優(yōu)適應(yīng)度值和種群歷史最優(yōu)適應(yīng)度值的大小，決定是否更新自身最優(yōu)位置以及種群最優(yōu)位置.不斷重復(fù)上述過(guò)程，直至適應(yīng)度值達(dá)到精度要求，或者迭代次數(shù)達(dá)到上限.最后輸出種群最優(yōu)位置作為優(yōu)化結(jié)果.對(duì)粒子群算法中的參數(shù)作出如下定義：

設(shè)解空間的維數(shù)為D，其中存在一個(gè)待求解的種群X=(X1,X2,…,Xn)，種群中共有n個(gè)粒子，其中第i個(gè)粒子可以表示為一個(gè)D維的向量Xi=(Xi1,Xi2,…,XiD)T，該向量可以理解為第i個(gè)粒子在解空間中的位置，它代表某個(gè)優(yōu)化問(wèn)題中的一個(gè)潛在最優(yōu)解.第i個(gè)粒子的速度表示為Vi=(Vi1,Vi2,…,ViD)T，其自身最優(yōu)位置記為Pi=(Pi1,Pi2,…,PiD)T，種群最優(yōu)位置記為Pg=(Pg1,Pg2,…,PgD)T.

粒子群算法根據(jù)自身最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置，按照式(1)進(jìn)行速度和位置的更新，即[9]：

(1)

式(1)中：ω稱作慣性權(quán)重，表示粒子保持原有速度的比例；d=1,2,…,D;i=1,2,…,n；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；c1表示粒子跟蹤自身最優(yōu)位置的比例；c2表示粒子跟蹤種群最優(yōu)位置的比例；r1和r2是[0,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù).為防止粒子陷入盲目搜索，通常會(huì)將粒子的位置和速度限制在一定范圍內(nèi).

1.2 調(diào)整慣性權(quán)重的改進(jìn)算法

在粒子群算法中，慣性權(quán)重ω決定了粒子保持原來(lái)速度的比例.一般來(lái)說(shuō)，慣性權(quán)重越大，粒子的全局探索能力越強(qiáng)；慣性權(quán)重越小，粒子的局部開發(fā)能力越強(qiáng).具體可以解釋為，ω較大時(shí)，粒子保持原有速度較多，種群最優(yōu)位置對(duì)其影響相對(duì)較小，粒子個(gè)性更強(qiáng)同時(shí)不受群體經(jīng)驗(yàn)約束，能更好地在全局范圍內(nèi)進(jìn)行搜索；反之，ω較小時(shí)，粒子保持原有速度較少，種群最優(yōu)位置對(duì)其影響相對(duì)較大，其搜索區(qū)域被自身最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置所限制，從而具有較強(qiáng)的局部開發(fā)能力.基本的粒子群算法中，ω為定值，這會(huì)使得種群的多樣性大大降低，在一定程度上導(dǎo)致算法陷入早熟.

由于慣性權(quán)重ω深刻影響著粒子的行為模式，眾多研究人員針對(duì)其調(diào)整策略展開了一系列的研究，提出了各自的改進(jìn)方法.

文獻(xiàn)[10]采用線性下降的調(diào)整策略，對(duì)慣性權(quán)重的調(diào)整方式如下：

(2)

式(2)中：ω(t)表示粒子群在第t次迭代時(shí)的慣性權(quán)重；ωmax、ωmin分別代表最大慣性權(quán)重值和最小慣性權(quán)重值；Iter為預(yù)先設(shè)定的算法迭代次數(shù)上限.

在該調(diào)整策略下，慣性權(quán)重在迭代早期較大，迭代后期較小.這使得粒子群在進(jìn)化早期側(cè)重于全局搜索，后期側(cè)重于局部開發(fā)，具有較強(qiáng)的優(yōu)化能力.對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行線性遞減調(diào)整的粒子群算法也被稱為標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(BPSO)，它在實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用.

本文對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行非線性遞減，其調(diào)整方式如下：

(3)

以式(3)構(gòu)造的慣性權(quán)重，在迭代期間是非線性減小的，在迭代早期減速幅度較大，迭代后期減速幅度較小.這么做的目的是均衡全局和局部搜尋能力，讓粒子更快地進(jìn)入局部搜索.文獻(xiàn)[11]已證明：與對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行線性遞減的調(diào)整策略相比，該改進(jìn)算法采用的調(diào)整策略能使得粒子收斂速度更快，求解質(zhì)量更好.

1.3 融合遺傳算子的改進(jìn)算法

1.3.1 選擇算子操作實(shí)現(xiàn)

選擇運(yùn)算模擬的是生物界優(yōu)勝劣汰的現(xiàn)象，根據(jù)適者生存、不適者被淘汰的原則選擇下一代個(gè)體.對(duì)粒子進(jìn)行選擇操作的具體方式為：根據(jù)粒子的適應(yīng)值，按照一定比例，選擇最優(yōu)的粒子直接進(jìn)入下一代.選擇算子的加入保證了種群中總是有部分相對(duì)較好的粒子，使群體的收斂速度得到加快.

1.3.2 雜交算子操作實(shí)現(xiàn)

雜交運(yùn)算的目的是通過(guò)隨機(jī)的信息交換，產(chǎn)生新的個(gè)體，在遺傳算法中會(huì)挑選群體中的兩個(gè)個(gè)體，以雜交概率Pc對(duì)它們處于同一位置處的基因進(jìn)行交換.文獻(xiàn)[12]借鑒了遺傳算法中雜交運(yùn)算的概念，最早在粒子群算法中融入雜交算子.對(duì)粒子進(jìn)行雜交操作的具體方式為：在每次迭代過(guò)程中，挑選一定數(shù)量的粒子構(gòu)成一個(gè)新的集合，再根據(jù)雜交概率Pc，從種群中挑選粒子與集合中的粒子隨機(jī)地進(jìn)行雜交操作.通過(guò)雜交操作產(chǎn)生新的粒子，用來(lái)代替進(jìn)行雜交操作的原有粒子，保證種群中粒子的數(shù)量不變.新產(chǎn)生粒子的位置計(jì)算公式如下[13]：

X1′(t)=rand*X1(t)+(1-rand)*X2(t),

(4)

X2′(t)=rand*X2(t)+(1-rand)*X1(t),

(5)

其中:X1(t)和X2(t)是進(jìn)行雜交操作的兩個(gè)粒子的位置向量;rand是在[0,1]區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)量.

新產(chǎn)生粒子的速度計(jì)算公式如下：

(6)

(7)

其中，V1(t)和V2(t)是進(jìn)行雜交操作的兩個(gè)粒子的速度向量.

雜交算子的加入增加了粒子的多樣性，充分利用了群體中優(yōu)良粒子的特性，加快了群體的收斂速度.

1.3.3 變異算子操作實(shí)現(xiàn)

采用變異運(yùn)算來(lái)模擬生物遺傳進(jìn)化中發(fā)生的基因變異現(xiàn)象：以變異概率Pm讓個(gè)體產(chǎn)生變異，得到新的個(gè)體.將變異算子融入粒子群算法中，能以多種方式讓選定粒子產(chǎn)生變異，本改進(jìn)算法采用重新初始化的方式，即對(duì)選中的粒子，按照變異概率Pm對(duì)其位置和速度重新初始化.變異算子的加入提高了種群的多樣性，降低了算法陷入早熟收斂的風(fēng)險(xiǎn).

1.4 改進(jìn)算法的運(yùn)行步驟

本文在基本粒子群算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變慣性權(quán)重的調(diào)整策略以及融合遺傳算法，提出了一種改進(jìn)的PSO算法(NLGAPSO)，算法的運(yùn)行步驟如下：

(1)將粒子的位置和速度限制在一定范圍內(nèi)，通過(guò)隨機(jī)的方式對(duì)粒子群進(jìn)行初始化；

(2)根據(jù)式(3)更新慣性權(quán)重，非線性降低慣性權(quán)重，再根據(jù)式(1)對(duì)每個(gè)粒子的位置和速度進(jìn)行更新；

(3)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值；

(4)融入遺傳算子：按照適應(yīng)值的大小對(duì)粒子群中的粒子重新排序，挑選出適應(yīng)值較小的部分粒子直接進(jìn)入下一次迭代；對(duì)直接進(jìn)入下一次迭代的粒子，每次挑選兩個(gè)，根據(jù)式(4)至式(7)進(jìn)行位置和速度的運(yùn)算，產(chǎn)生新一代的粒子，替代未直接進(jìn)入下一次迭代，適應(yīng)值排序靠中間位置的部分粒子；按照變異概率，重新初始化適應(yīng)值排序靠后的部分粒子；

(5)通過(guò)比較粒子當(dāng)前適應(yīng)度值與自身歷史最優(yōu)適應(yīng)度值和種群歷史最優(yōu)適應(yīng)度值的大小，決定是否更新自身最優(yōu)位置以及種群最優(yōu)位置；

(6)判斷是否滿足循環(huán)終止條件(超過(guò)最大迭代次數(shù)或者達(dá)到適應(yīng)值精度要求)：若未滿足循環(huán)終止條件，則跳轉(zhuǎn)回步驟(2)；若滿足循環(huán)終止條件，則退出循環(huán)，輸出當(dāng)前種群的最優(yōu)位置及最優(yōu)適應(yīng)值作為尋優(yōu)結(jié)果.

2 基于改進(jìn)PSO的PID參數(shù)整定

2.1 PID參數(shù)整定問(wèn)題

常規(guī)PID控制器的傳遞函數(shù)為：

(8)

式(8)中，Kp、Ki和Kd分別為比例、積分和微分系數(shù).

對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行整定，目的是尋找一組最優(yōu)的Kp、Ki和Kd參數(shù)組合，來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，減少或消除靜態(tài)誤差，使系統(tǒng)獲得更優(yōu)的控制品質(zhì).如果把待整定的參數(shù)組視為解空間中的點(diǎn)，將誤差性能指標(biāo)當(dāng)作控制效果的評(píng)價(jià)函數(shù)，那么可以將PID參數(shù)的整定視為一種典型的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程，適合于用粒子群算法求解.

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.2.1 被控對(duì)象模型及評(píng)價(jià)函數(shù)選取

為驗(yàn)證上述方法的優(yōu)化效果，用MATLAB軟件對(duì)四旋翼飛行器的飛控系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).

四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型為：

(9)

式(9)中：橫滾角φ、俯仰角θ、偏航角ψ分別為四旋翼飛行器機(jī)體繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸旋轉(zhuǎn)的角度；m為四旋翼飛行器的質(zhì)量；g為重力加速度；Ωi為各電機(jī)的轉(zhuǎn)速；CT為旋翼的升力系數(shù)，Jx、Jy和Jz分別為飛行器對(duì)應(yīng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Cm為旋翼的反扭力矩系數(shù)；l為四旋翼機(jī)身半徑.

在設(shè)計(jì)四旋翼飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)時(shí)，在PID控制器的基礎(chǔ)上，在系統(tǒng)內(nèi)部增加了一個(gè)控制回路，構(gòu)成串級(jí)PID的結(jié)構(gòu).串級(jí)PID結(jié)構(gòu)共有兩個(gè)控制回路，外環(huán)控制飛行器的姿態(tài)角，內(nèi)環(huán)控制飛行器繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸的角速度.選擇這種結(jié)構(gòu)的原因有兩點(diǎn)：首先，角速度的控制頻率比角度控制的頻率更高，對(duì)擾動(dòng)的抑制能力更好，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及其穩(wěn)定性；此外，角度的反饋往往存在一個(gè)積分的過(guò)程，而角速度的反饋可以直接通過(guò)機(jī)載的慣性傳感器陀螺儀來(lái)獲取，運(yùn)行頻率更高[14].基于串級(jí)PID的四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 基于串級(jí)PID的四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure block diagram of attitude control system of quad-rotor aircraft based on cascaded PID

圖2 ITAE指標(biāo)的計(jì)算Fig.2 Calculation of the ITAE index

利用粒子群算法對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化整定，目的是使系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差最小.通常使用的誤差性能指標(biāo)包括ITAE、ISE、IAE等，本文選用ITAE誤差性能指標(biāo)作為適應(yīng)度函數(shù)，其定義為：

(10)

式(10)中：e(t)表示系統(tǒng)的誤差；t表示仿真時(shí)間.J的值越小，表示系統(tǒng)累積誤差越小，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能越好，因此優(yōu)化目標(biāo)可使各通道的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到最小，以獲得最優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能.

同時(shí)，將PID控制器的參數(shù)(共15個(gè))設(shè)置為粒子的位置參數(shù)，每次更新完后再運(yùn)行一遍仿真程序，將輸出的ITAE值與粒子自身以及種群的最優(yōu)ITAE值進(jìn)行對(duì)比，若是結(jié)果更小則進(jìn)行替換.

2.2.2 仿真設(shè)置及仿真結(jié)果

采用NLGAPSO對(duì)PID控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化整定，并與BPSO和手動(dòng)調(diào)參的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

仿真設(shè)置為：系統(tǒng)輸入為階躍信號(hào)，幅值為[Zrefφrefθrefψref]=[3 0.1 0.1 0.01]，待整定參數(shù)的范圍根據(jù)試湊法得到的參數(shù)擴(kuò)大一定倍數(shù)確定，粒子的速度限制在尋優(yōu)域半徑的40%以內(nèi)，粒子群規(guī)模n=30，最大迭代次數(shù)Iter=100，PSO慣性權(quán)重的最大值和最小值分別取ωmax=0.9、ωmin=0.4，c1=c2=2，變異概率Pm=5%.

由于粒子群初始位置和速度是隨機(jī)生成的，為了不受到隨機(jī)初始化的影響，兩種PSO算法采用同一組初始數(shù)據(jù).各通道的階躍響應(yīng)對(duì)比和參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如圖3～6及表1～4所示.

圖3 z方向階躍響應(yīng)對(duì)比 圖4 φ角階躍響應(yīng)對(duì)比Fig.3 Step response comparison for z direction Fig.4 Step response comparison for phi angle

表1 z方向PID參數(shù)及適應(yīng)度函數(shù)值

表2 φ角PID參數(shù)及適應(yīng)度函數(shù)值

圖5 θ 角階躍響應(yīng)對(duì)比 圖6 ψ角階躍響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Step Response Comparison for θ angle Fig.6 Step Response Comparison for psi angle

表3 θ角PID參數(shù)及適應(yīng)度函數(shù)值

從表1至表4可以看出，采用NLGAPSO算法優(yōu)化的PID控制器參數(shù)其誤差性能指標(biāo)小于BPSO算法，對(duì)參數(shù)的優(yōu)化效果更好.從四個(gè)通道的階躍響應(yīng)圖上可以看出，NLGAPSO算法優(yōu)化后，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量更小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，響應(yīng)速度更快，動(dòng)態(tài)性能更優(yōu).

表4 ψ角PID參數(shù)及適應(yīng)度函數(shù)值

3 結(jié)論

四旋翼飛行器具有欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，這使得采用傳統(tǒng)方法整定四旋翼飛行器飛控系統(tǒng)中的PID參數(shù)存在困難.在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的基礎(chǔ)上，本文提出了一種改進(jìn)的粒子群算法來(lái)對(duì)飛行器飛控系統(tǒng)中的PID參數(shù)進(jìn)行整定.仿真結(jié)果表明改進(jìn)粒子群算法面對(duì)四旋翼飛行器這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)能起到很好的優(yōu)化整定效果，同時(shí)，相較于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，改進(jìn)算法的整定效果更優(yōu).