石 玉，孔 鵬，畢仁貴，鄧 科，趙鶴平

(吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

0 引言

聲波在特定條件下可以形成攜帶角動量的渦旋場，這種攜帶角動量的聲波被稱為渦旋聲束或者聲渦旋，近年來，聲渦旋[1]在粒子操控[2-3]、醫(yī)療[4]及信息通信[5-6]等方面的研究受到了廣泛關(guān)注.聲渦旋所攜帶角動量是軌道角動量，其開辟了一個聲波操控的新自由度[7-8].渦旋波的等值面呈現(xiàn)螺旋狀扭曲，幅值呈現(xiàn)出類似黑洞的分布，越靠近中心越趨近于零[9].隨著聲學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對聲學(xué)渦旋的操控有了更多的需求.在傳統(tǒng)的彎曲波導(dǎo)中，聲波由于衍射效應(yīng)[10]會在彎曲處產(chǎn)生反射波，導(dǎo)致波陣面被破壞.使用零折射率超材料[11]可以消除這樣的影響.在聲學(xué)零折射率材料[12]中，聲波的相速度無限大，聲波在通過零折射率材料時相位不變.這種特殊性質(zhì)也在波前調(diào)控[13]、隱身[14]等方面獲得了應(yīng)用.隨著研究的進(jìn)一步深入，人們發(fā)現(xiàn)聲子晶體在最簡布里淵區(qū)中心的簡并點頻率處可以等效為零折射率材料[15-16].在這種特殊簡并點頻率附近，由于模態(tài)的偶然簡并，能帶的斜率轉(zhuǎn)化為線性.并且，除了線性相交的能帶外，其中心還具有平直帶與其相交.由于這種狄拉克點是通過偶然簡并得到的，因此其材料、結(jié)構(gòu)參數(shù)都可以控制其簡并度.為了與狄拉克點區(qū)別, 這種簡并點被稱為類狄拉克點[17-18].Liu等[19]首次報道了布里淵區(qū)中心類狄拉克點簡并退化所產(chǎn)生的“雙零效應(yīng)”.Ashraf[20]等提出在自然條件下產(chǎn)生“雙零”折射率的聲子晶體的條件，緊隨其后，Xu等[21]在理論和實驗基礎(chǔ)上構(gòu)建了具有三維“雙零”折射率的聲子晶體，展示了對聲波獨特的操縱.相比于超材料實現(xiàn)的零折射率，聲子晶體的零折射率效應(yīng)在實驗上實現(xiàn)更加簡單方便，而且具備廣泛的應(yīng)用前景.

設(shè)計了一種具有零折射率效應(yīng)的聲子晶體，通過改變柱子的參數(shù)h實現(xiàn)了在布里淵區(qū)中心的三種偶極模式和單極模式的誘導(dǎo)簡并.并且通過有限元仿真軟件研究聲子晶體內(nèi)部的聲波傳輸特性.研究發(fā)現(xiàn)，在四重簡并點附近，聲子晶體的有效倒體積模量和有效質(zhì)量密度在類Dirac頻率處均趨近于零.仿真結(jié)果表明在該頻率時聲波的速度無限大，產(chǎn)生“隧穿效應(yīng)”[22].利用該聲子晶體設(shè)計了一種彎曲聲學(xué)波導(dǎo)，聲渦旋波可以完美透過該三維彎曲聲學(xué)波導(dǎo)，既可以保持高透射率，又不會改變渦旋波的拓?fù)浜?

1 聲子晶體設(shè)計與計算方法

零折射率的聲子晶體如圖1所示，其為一個具有四重簡并類狄拉克點三維聲子晶體，該聲子晶體原胞由鋼柱嵌入邊長為a=12 cm立方體空氣域所組成.如圖1(a)所示，鋼柱分別在x,y,z三個方向以直角交叉的方式嵌入每一面的中心，在3個方向上形成一個大的閉環(huán).原胞晶格常數(shù)為a=12 cm，鋼柱長度為a、寬度為h、厚度為h/2、楊氏模量E=216 Gpa、泊松比ν=0.267、密度ρ=7760 kg/m3；空氣的聲速c0=343 m/s、密度ρ0=1.21 kg/m3.數(shù)值模擬的邊界條件采用Floquet周期性邊界條件，另外，由于空氣和鋼柱之間存在較大的阻抗失配，嵌有鋼柱的部分被設(shè)定為硬邊界，文中的所有數(shù)值模擬結(jié)果均借助于Comsol Mutiphysics有限元軟件.如圖1(b)所示，通過該聲子晶體的能帶曲線可以觀察到：當(dāng)h=0.26a時，聲子晶體的最簡布里淵區(qū)中心的第二到第四條能帶在頻率f=2 280 Hz時出現(xiàn)三重簡并，并且在該簡并點上出現(xiàn)三個方向上的偶極共振模式(如圖1(c),1(d),1(e)所示)，在頻率f=2 417 Hz時出現(xiàn)單極共振模式(如圖1(f)所示).研究結(jié)果表明，由于晶格的對稱性保護(hù)，布里淵區(qū)中心的共振模態(tài)穩(wěn)定存在.改變晶格常數(shù)a并不會對共振模式產(chǎn)生影響，只會改變這些模態(tài)的本征頻率大小.

圖1 聲子晶體晶胞圖(a)深色為鋼，其余為空氣域，晶格常數(shù)為a,采用a×h×h/2規(guī)格的鋼塊分別嵌入空氣域中，形成聲子晶體的原胞.(b) h=0.26a時聲子晶體能帶圖.(c) x方向的偶極共振模式圖.(d) y方向的偶極共振模式圖.(c) z方向的偶極共振模式圖.(f) 單極共振模式圖.(b) h=0.286 61a時聲子晶體能帶圖.Fig.1 Phononic crystal unit cell diagram. (a) The dark color is steel, rest is air, the lattice constant is a, and the a×h×h/2steel blocks of the specifications used are respectively embedded in the air domain to form the cell of the phononic crystal. (b)h=0.26a band diagram of phononic crystal. (c) Dipole resonance mode diagram in the x direction. (d) Dipole resonance mode diagram in the y direction. (c) Dipole resonance mode diagram in the z direction. (f) Unipolar resonance mode diagram. (b)h=0.268 8 1a band diagram of phononic crystal

當(dāng)h=0.286 61a時，聲子晶體的能帶關(guān)系如圖1(g)所示，布里淵區(qū)中心的能帶出現(xiàn)簡并，并且生成一個四重簡并點，該四重簡并點被稱為三維立方晶格布里淵區(qū)中心的類狄拉克點，簡并點上下的兩條錐形色散線與中間的兩條相對平滑的色散線相交在這個四重簡并點上，該簡并點頻率f=2 270.3 Hz，對應(yīng)的單極共振模式和偶極共振模式在此頻率點上簡并，也就是說改變了鋼柱在原胞中占有的體積時，共振模式的本征頻率也隨之出現(xiàn)簡并退化的現(xiàn)象.因此，聲子晶體在該簡并點頻率處可以同時具有單極共振模式帶來的新的有效模量和偶極共振帶來的有效密度[23].隨著鋼柱的體積占比逐漸提高，能帶會發(fā)生反轉(zhuǎn)，單極共振模式和偶極共振模式的頻率大小發(fā)生互換.

如圖2所示，為了驗證該聲子晶體在類狄拉克點頻率處具有“雙零效應(yīng)”，使用有效參數(shù)檢索法[24]在類狄拉克點頻率附近檢索聲子晶體有效倒體積模量和有效質(zhì)量密度.由于該聲子晶體的類狄拉克錐是各向同性的，在各個方向上聲波的傳輸性質(zhì)也是相同的，對模擬過程中，只需要對單個方向進(jìn)行求解就可以得到聲子晶體全部的性質(zhì).如圖2(a)所示，設(shè)置平面波從x方向入射，計算出其透射系數(shù)以及反射系數(shù)，進(jìn)而得到通過聲子晶體的有效折射率以及有效阻抗，即可求出該聲子晶體的有效密度及有效倒體積模量.研究結(jié)果表明，在f=0.794 3c0/a時，該聲子晶體的有效倒體積模量和有效質(zhì)量密度同時趨近于零(如圖2(b)、(c)所示).因此，在波導(dǎo)內(nèi)透過聲子晶體的等效速度c2=1/ρβ接近于無限大，聲波的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于設(shè)計的零折射率材料的結(jié)構(gòu)尺寸，聲波可以透過彎曲結(jié)構(gòu)或者缺陷而不受影響，其模式不會發(fā)生改變.

2 聲學(xué)波導(dǎo)設(shè)計與討論

基于以上結(jié)論，設(shè)計了一種填充單排聲子晶體的三維彎曲矩形波導(dǎo)(如圖3(a)所示)，黑色虛線部分表示在波導(dǎo)的彎曲處填充了具有零折射率效應(yīng)的聲子晶體，波導(dǎo)管的截面積為12 cm×12 cm.利用有限元軟件Comsol Mutiphysics進(jìn)行數(shù)值模擬，波導(dǎo)的外部條件均為硬聲場邊界，工作頻率為類狄拉克點頻率f=0.794 3 c0/a.如圖3(a)所示，渦旋聲波從x端入射，經(jīng)過波導(dǎo)的彎曲處轉(zhuǎn)向y方向傳輸，進(jìn)而再轉(zhuǎn)向z方向出射，渦旋波模式不產(chǎn)生任何變化.這是由于在類狄拉克點頻率處，聲子晶體具有“雙零效應(yīng)”，渦旋波的透射波長遠(yuǎn)大于彎曲波導(dǎo)的尺寸，聲波通過波導(dǎo)的彎曲處時，彎曲處就如同不存在一般，可以直接透過而不受影響，因此，渦旋波模式不會發(fā)生變化.對該波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)穆晥鲞M(jìn)行分析，截取波導(dǎo)入射端平面處(如圖3(b)所示)和末端處平面(如圖3(c)所示)，可以觀察到，截面上絕對壓力值的分布均表現(xiàn)為從邊緣向中心部分逐漸減弱，在中心點壓力值為零.并且，沿著S(相位圖上圓圈弧長)旋轉(zhuǎn)一周來提取聲波導(dǎo)兩端平面的相位，忽略相位突變的影響，兩端的相位均有-π到π的變化(如圖3(b)、(c)所示).這與渦旋波的模式是完全相符合的.并且，相位的變化方向隨S的變化方向是一致的，這代表了渦旋波在該彎曲波導(dǎo)中轉(zhuǎn)向傳輸，其拓?fù)浜刹⑽窗l(fā)生改變.

圖3 設(shè)計的波導(dǎo)示意圖.(a)填充了聲子晶體的波導(dǎo)工作示意圖.(b)填充聲子晶體的波導(dǎo)管入射端截面聲壓與相位分布圖.(c)填充聲子晶體的波導(dǎo)管出射端截面聲壓與相位分布圖.(d)空波導(dǎo)傳輸聲渦旋示意圖.(e)空波導(dǎo)入射端截面聲壓和相位示意圖.(f)空波導(dǎo)出射端截面聲壓和相位分布圖.Fig.3 Schematic diagram of the designed waveguide. (a) Schematic diagram of the waveguide filled with phononic crystals. (b) The cross-sectional sound pressure and phase distribution diagram of the incident end of the waveguide filled with phononic crystals. (c) The cross-sectional sound pressure and phase distribution diagram of the exit end of the waveguide filled with phononic crystals. (d) Schematic diagram of acoustic vortices transmitted in an empty waveguide. (e) Schematic diagram of sound pressure and phase at the incident end of the hollow waveguide. (f) The air wave is derived from the sound pressure and phase distribution diagram of the launching end section

為了對比該聲子晶體波導(dǎo)的傳輸特性，設(shè)置了一個空的彎曲聲學(xué)波導(dǎo)，向空聲學(xué)波導(dǎo)中入射渦旋波，其傳輸模式如圖3(d)所示，在傳輸?shù)絰-y方向轉(zhuǎn)角處時，由于在彎曲的直角處會產(chǎn)生強(qiáng)烈的反射和衍射，波形開始變得混亂，當(dāng)傳輸?shù)統(tǒng)-z方向出射后，已經(jīng)無法保持原來的渦旋波模式，波形已經(jīng)完全混亂.對空波導(dǎo)內(nèi)的聲場進(jìn)行分析，如圖3(e)所示，入射端截面處的聲場分布，其絕對壓力值存在中心零點，相位分布也符合OAM模式.而出射端的絕對壓力值出現(xiàn)一個劈裂式的分布(如圖3(f)所示).提取其出射端的相位，可以觀察到，其相位分布極其不規(guī)律，不能滿足渦旋波的傳輸模式，其攜帶的拓?fù)浜梢惨呀?jīng)完全丟失.以上結(jié)果表明，填充了這類聲子晶體的聲學(xué)波導(dǎo)，能夠操控渦旋波在彎曲波導(dǎo)內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定傳輸.

3 結(jié)束語

設(shè)計了一種具有零折射率效應(yīng)的聲子晶體，其晶格的高對稱性保護(hù)了其單極模式和偶極模式的簡并，并且在布里淵區(qū)的中心通過誘導(dǎo)簡并的方法生成了類狄拉克點，在類狄拉克點頻率處，聲子晶體具有零質(zhì)量密度和零倒體積模量的效果，產(chǎn)生零折射率的效應(yīng).利用聲子晶體填充入聲波導(dǎo)內(nèi)，能夠操控渦旋波實現(xiàn)彎曲傳輸，并且保持了其渦旋波模式的穩(wěn)定.通過仿真展示了該聲子晶體波導(dǎo)對渦旋波操控的優(yōu)越性能，為渦旋波的操控提供了新的方法.