蔣金益，王 超，陸艷艷，鐘建新

(湘潭大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院 微納能源材料與器件湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411105)

0 引言

自1958年在無序系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)安德森轉(zhuǎn)變[1]以來，低維量子系統(tǒng)中波函數(shù)的局域化問題引發(fā)科學(xué)界的大量關(guān)注，并在實(shí)驗(yàn)和理論方面展開深入研究[2].安德森的局域化表明，單粒子波函數(shù)在具有不相關(guān)隨機(jī)無序的體系中發(fā)生局域化[3]，導(dǎo)致金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變，其原因來自隨機(jī)雜質(zhì)和缺陷粒子散射過程中的量子干涉效應(yīng)[4].研究發(fā)現(xiàn)[1-4]，一維和二維無序系統(tǒng)中的全部電子態(tài)都是局域態(tài)，而三維無序系統(tǒng)中存在金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變現(xiàn)象.在三維無序系統(tǒng)中，帶中態(tài)為擴(kuò)展態(tài)，帶尾態(tài)為局域態(tài)，擴(kuò)展態(tài)與局域態(tài)之間存在遷移率邊，其本征態(tài)為臨界態(tài)；隨著無序強(qiáng)度的增大，局域態(tài)區(qū)不斷擴(kuò)大，而擴(kuò)展態(tài)區(qū)不斷縮小，并在無序大于臨界無序強(qiáng)度時(shí)，擴(kuò)展態(tài)消失，系統(tǒng)中所有的態(tài)為局域態(tài)，發(fā)生金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變.雖然標(biāo)準(zhǔn)的安德森轉(zhuǎn)變是在三維系統(tǒng)中發(fā)生，但是在準(zhǔn)無序的一維系統(tǒng)中也有類似的轉(zhuǎn)變.最典型的模型是一維準(zhǔn)周期Harper鏈或Aubry André Harper模型[5]，它可通過調(diào)節(jié)格點(diǎn)能的準(zhǔn)周期調(diào)制勢(shì)，使電子態(tài)呈現(xiàn)出擴(kuò)展態(tài)、臨界態(tài)和局域態(tài)，產(chǎn)生金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變[6].Harper鏈模型被廣泛應(yīng)用于指數(shù)短程跳躍效應(yīng)[7]、平帶網(wǎng)絡(luò)模型[8]、冪指數(shù)跳躍效應(yīng)[9]、以及二維晶格中的磁場效應(yīng)[10]等方面.此外，實(shí)驗(yàn)上對(duì)Harper模型的研究也有所突破[11]，采用冷原子和光晶格，發(fā)現(xiàn)了理論預(yù)言的金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變[12]；Bloch等[13]最近通過冷原子和光波導(dǎo)在一維雙色準(zhǔn)周期Harper系統(tǒng)中觀測(cè)到了具有遷移率邊的金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變.

近年來，有研究者將兩個(gè)或多個(gè)耦合鏈進(jìn)行研究.鐘建新等[14]研究了準(zhǔn)一維周期晶格納米線與無序體系的耦合，發(fā)現(xiàn)該耦合體系中存在類似于Anderon局域化的準(zhǔn)遷移率邊和準(zhǔn)金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變現(xiàn)象，并在二維無序-有序耦合體系中發(fā)現(xiàn)了持續(xù)存在的遷移率邊和金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變[15].這一反?，F(xiàn)象引起了對(duì)一維周期鏈與無序鏈耦合雙鏈模型的進(jìn)一步研究[16]，在耦合的Harper雙鏈模型中發(fā)現(xiàn)了金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變和遷移率邊[17].然而，已有一維準(zhǔn)周期雙鏈耦合系統(tǒng)的研究僅關(guān)注同類體系的耦合效應(yīng)，沒有系統(tǒng)性地深入探討準(zhǔn)周期鏈的調(diào)制勢(shì)和鏈間耦合強(qiáng)度對(duì)一維周期晶格電子性質(zhì)的影響.

在本文中，基于緊束縛哈密頓量，研究由一維周期晶格與準(zhǔn)周期Harper鏈耦合形成的雙鏈耦合系統(tǒng)的電子局域化性質(zhì).通過調(diào)節(jié)Harper鏈中的格點(diǎn)位能調(diào)制勢(shì)以及雙鏈間的耦合作用強(qiáng)度，計(jì)算耦合體系的本征能量與本征波函數(shù)，分析波函數(shù)的擴(kuò)展和局域化特性，以及電子擴(kuò)散中波函數(shù)和擴(kuò)散距離隨時(shí)間變化的規(guī)律，探究Harper勢(shì)和鏈間耦合強(qiáng)度對(duì)耦合系統(tǒng)電子性質(zhì)的調(diào)控效應(yīng).該研究對(duì)深入了解和調(diào)控低維系統(tǒng)的電子局域化性質(zhì)具有重要意義，同時(shí)對(duì)冷原子局域化的實(shí)驗(yàn)研究具有指導(dǎo)意義.

1 模型及理論推導(dǎo)

一維周期晶格中的電子態(tài)全部是擴(kuò)展態(tài)，而一維Harper鏈可通過改變格點(diǎn)位能的調(diào)制勢(shì)使電子態(tài)呈現(xiàn)出擴(kuò)展態(tài)、臨界態(tài)和局域態(tài)，即出現(xiàn)金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變.研究一維周期晶格與Harper鏈耦合形成的雙鏈耦合模型，如圖1所示，探究改變Harper勢(shì)和鏈間耦合作用對(duì)該耦合系統(tǒng)電子性質(zhì)的影響.

圖1 一維周期晶格與準(zhǔn)周期Harper鏈耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the coupled system with one-dimensional periodic lattice and Harper chain

考慮一個(gè)格點(diǎn)數(shù)為N的雙鏈耦合系統(tǒng)，其中周期鏈和Harper鏈的格點(diǎn)數(shù)分別為N/2，系統(tǒng)的緊束縛哈密頓量[18]為：

(1)

(2)

式中，Ψ(t)=(…,ψn-1,ψn,ψn+1,…)T表示在t時(shí)刻的波函數(shù)，ψn(t)表示第n個(gè)格點(diǎn)處Ψ(t)的系數(shù).初始條件為：

|ψn(t=0)|=δn,0.

(3)

具有初始條件(3)的式(2)可采用有限時(shí)間步長Runge-Kutta方法或通過如下靜態(tài)薛定諤方程求解，

HΦ(E)=EΦ(E) .

(4)

式(4)中，E代表本征能量值，Φ(E)表示本征態(tài)波函數(shù)，Φ(E)=(…,φn-1,φn,φn+1,…)T.通過求解(4)可得到所有的本征能量Ej(j=1,2,…,N)和相應(yīng)的本征態(tài)Φ(Ej).因?yàn)棣?Ej)是正交完備集，則可將波函數(shù)Ψ(t)表示為：

(5)

由初始條件(3)可知：

(6)

將(6)式代入(5)則可得到完整的波函數(shù)表示為：

(7)

用數(shù)值方法來研究有限大小的系統(tǒng)，由于僅關(guān)注波函數(shù)長時(shí)間未到達(dá)邊界的變化情況，在計(jì)算中采用固定邊界條件.采用波包的均方位移d(t)來描述電子的擴(kuò)散情況.

(8)

2 結(jié)果與分析

2.1 耦合系統(tǒng)中電子波函數(shù)隨時(shí)間的演化

利用矩陣三對(duì)角化數(shù)值求解公式(4)，得到本征能量和本征波函數(shù)，通過公式(7)進(jìn)一步計(jì)算得到隨時(shí)間變化的波函數(shù).以周期晶格(u=0)與Harper鏈(λ=3)耦合系統(tǒng)的電子波函數(shù)為例來分析耦合系統(tǒng)中波函數(shù)隨時(shí)間的演化特點(diǎn)，如圖2所示.圖2(a)和(b)分別為鏈間耦合為R=1時(shí)，周期鏈中和Harper鏈中電子波函數(shù)平方隨時(shí)間的變化情況.對(duì)比圖2(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，在同一時(shí)刻，電子波函數(shù)在周期鏈中擴(kuò)展較快，而在Harper鏈中電子僅有部分?jǐn)U展.圖2 (c) 和(d)分別為R=3時(shí)電子在周期鏈中和在Harper鏈中的擴(kuò)展情況.通過對(duì)比圖2(b)和(d)，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)鏈間耦合作用增大時(shí)，電子在Harper鏈上的擴(kuò)展比R=1時(shí)更多.出現(xiàn)這種情況的原因是，當(dāng)鏈間耦合能增大時(shí)，電子在周期鏈和Harper鏈中上下跳躍頻繁，又因電子在周期鏈上做無阻礙運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而使得更多的電子能夠在雙鏈上擴(kuò)展出去.這一現(xiàn)象也存在于具有其他Harper勢(shì)參數(shù)的雙鏈耦合系統(tǒng).

圖2 周期鏈(u=0)與Harper鏈(λ=3)耦合系統(tǒng)的電子波函數(shù)隨時(shí)間演化圖圖2(a)、(b)中的鏈間耦合作用為R=1；(c)、(d)中的鏈間耦合作用為R=3.Figure 2 Time evolution of the electronic wavepacket in the coupled system with periodic chain (u=0) and Harper chain (λ=3).Fig 2(a) and 2(b) are for the interchain coupling R=1.0. Fig 2(c) and 2(d) are for the interchain coupling R=3

.

2.2 耦合系統(tǒng)的本征波函數(shù)特性

圖3 周期鏈(u=0)與Harper鏈(λ=1)耦合系統(tǒng)的參與數(shù)P(E)，其中鏈間耦合為R=1. (a)不同系統(tǒng)尺寸N的P(E)分布圖；(b)典型能量處P(E)與N的線性遞增關(guān)系；(c)擬合冪指數(shù)b分布圖.Fig.3 The participant number of the coupled system with periodic chain (u=0) and Harper chain (λ=1) with interchain coupling R=1. (a) P (E) values for different system sizes. (b) Linear behaviors of P (E) as N increases at selected energies. (c) Distribution of exponent b for the power-law increase

圖4 周期鏈(u=0)與Harper(λ=2)鏈耦合雙鏈的參與數(shù)，其鏈間耦合分別為R=0.5，1，3. (a)不同系統(tǒng)尺寸N的P(E)分布圖；(b)典型能量處P(E)與N的線性遞增關(guān)系；(c)擬合冪指數(shù)b分布圖.Fig.4 The participant number of the coupled system with periodic chain (u=0) and Harper chain (λ=2) with different interchain coupling R=0.5, 1, 3. (a) P(E) values for different system sizes. (b) Linear behaviors of P(E) as N increases at selected energies. (c) Distributions of exponent b for the power-law increase

圖5 周期鏈(u=0)與Harper鏈(λ=3)耦合雙鏈的參與數(shù)P(E)，其中鏈間耦合分別為R=1，2，3. (a)不同系統(tǒng)尺寸N的P(E)分布圖；(b)典型能量處P(E)與N的線性遞增關(guān)系；(c)擬合冪指數(shù)b分布圖.Fig.5 The participant number of the coupled system with periodic chain (u=0) and Harper chain (λ=3) with different interchain coupling R=1, 2, 3.(a) P(E) values for different system sizes. (b) Linear behaviors of P(E)我們僅 as N increases at selected energies. (c) Distributions of exponent b for the power-law increase

2.3 耦合系統(tǒng)中的量子擴(kuò)散

通過電子的均方位移d(t)來研究電子在雙鏈中的量子擴(kuò)散情況[19].周期晶格與Harper鏈(λ=1，2，3)耦合系統(tǒng)下的均方位移如圖6所示，其中雙鏈耦合作用分別為R=0.1，0.5，1，2，3.由于耦合系統(tǒng)在任何非零耦合強(qiáng)度下均存在擴(kuò)展態(tài)，其量子擴(kuò)散整體上均表現(xiàn)為彈道式擴(kuò)散，即擴(kuò)散距離正比于時(shí)間，但其擴(kuò)散速率受調(diào)制勢(shì)和耦合作用的影響，如圖6所示.經(jīng)計(jì)算電子擴(kuò)散到達(dá)邊界的時(shí)間，并選取波包未達(dá)到邊界前的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到擴(kuò)散距離d(t)的斜率(速率)與耦合能R的關(guān)系圖，如圖6中內(nèi)插圖所示.從圖6可以清楚地看出，對(duì)于不同的Harper鏈調(diào)制勢(shì)，擴(kuò)散速率隨耦合能增加均呈現(xiàn)出從先減少再到提高至一個(gè)穩(wěn)定速率的變化過程.當(dāng)鏈間耦合較小時(shí)(R=0.1)，電子擴(kuò)散很快；隨著耦合作用增強(qiáng)，電子擴(kuò)散逐漸變慢并在R=1時(shí)達(dá)到最??；當(dāng)鏈間耦合作用繼續(xù)增大時(shí)，電子擴(kuò)散變快，并在耦合能增大至R=3后趨于穩(wěn)定.產(chǎn)生這一轉(zhuǎn)變的原因是，隨著鏈間的耦合作用逐漸增大，電子從周期鏈跳躍到Harper鏈的可能性增強(qiáng)，使其擴(kuò)散速率因Harper勢(shì)的阻礙而變慢；但當(dāng)鏈間耦合作用繼續(xù)增大時(shí)，Harper鏈上的電子擴(kuò)散至周期鏈的概率大幅增加，電子在雙鏈上下頻繁跳躍擴(kuò)散，最后以穩(wěn)定的速率進(jìn)行擴(kuò)散運(yùn)動(dòng).

圖6 周期鏈(u=0)與Harper鏈(λ=1，2，3)耦合系統(tǒng)在不同耦合強(qiáng)度R時(shí)的電子波包擴(kuò)散均方位移d(t). 內(nèi)插圖為d(t)的斜率k與鏈間耦合作用R的關(guān)系.系統(tǒng)大小為N=8002.Fig.6 The mean square displacement of the wavepacket in the coupled system with different Harper potentials λ and different coupling strengths. The inset shows the relationship between the slope of d(t) and the interchain coupling R. The size of the system is N=8002

3 結(jié)論

提出了一維周期晶格與準(zhǔn)周期Harper鏈耦合形成的雙鏈耦合緊束縛模型，通過數(shù)值求解，計(jì)算出電子的本征態(tài)能量與波函數(shù)，并通過分析本征波函數(shù)的參與數(shù)隨體系尺寸的變化規(guī)律，以及電子波函數(shù)和均方位移隨時(shí)間的演化特征，研究準(zhǔn)周期Harper勢(shì)和鏈間耦合強(qiáng)度對(duì)周期晶格電子性質(zhì)的調(diào)制效應(yīng).發(fā)現(xiàn)該耦合系統(tǒng)具有豐富的電子性質(zhì)：1)無論Harper勢(shì)處于擴(kuò)展態(tài)區(qū)、臨界態(tài)區(qū)還是局域態(tài)區(qū)，電子波函數(shù)在周期鏈和Harper鏈中均有不同程度的擴(kuò)散，在周期鏈上擴(kuò)展較快，而在Harper鏈上電子僅有部分?jǐn)U展；增大鏈間耦合強(qiáng)度時(shí)，電子在Harper鏈上擴(kuò)展范圍更大；2)不同Harper勢(shì)情況下，耦合體系的本征電子態(tài)可出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)、臨界態(tài)和局域態(tài)，并且隨著鏈間耦合能的增大，電子態(tài)發(fā)生由局域態(tài)向臨界態(tài)和擴(kuò)展態(tài)的轉(zhuǎn)變；當(dāng)Harper勢(shì)處于擴(kuò)展態(tài)區(qū)時(shí)，耦合體系的全部電子態(tài)為擴(kuò)展態(tài)；當(dāng)Harper勢(shì)處于臨界態(tài)區(qū)時(shí)，弱耦合體系中擴(kuò)展態(tài)與臨界態(tài)并存，強(qiáng)耦合體系中的全部電子態(tài)為擴(kuò)展態(tài)；當(dāng)Harper勢(shì)處于局域態(tài)區(qū)時(shí)，弱耦合體系中擴(kuò)展態(tài)、臨界態(tài)、局域態(tài)并存，臨界態(tài)和局域態(tài)隨耦合強(qiáng)度增加逐漸消失，強(qiáng)耦合體系中的全部電子態(tài)為擴(kuò)展態(tài)；3)由于擴(kuò)展態(tài)的貢獻(xiàn)，無論Harper勢(shì)參數(shù)如何改變，電子都以彈道式的方式擴(kuò)散，但由于Harper勢(shì)的阻礙以及電子在周期鏈與Harper鏈之間的頻繁跳躍，其速率隨鏈間耦合能的增大呈現(xiàn)出先減小后逐漸增大直至不變的轉(zhuǎn)變.