龍騰，毛能峰，史人赫，武宇飛，沈敦亮

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2.北京理工大學(xué) 飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081 3.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084 4.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

數(shù)值計(jì)算技術(shù)、學(xué)科建模技術(shù)與計(jì)算機(jī)軟硬件的發(fā)展使得高精度分析模型在飛行器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的工程實(shí)踐中應(yīng)用日益廣泛，例如，采用計(jì)算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics, CFD)模型、計(jì)算電磁學(xué)(Computational Electromagnetics, CEM)模型、結(jié)構(gòu)有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)模型等高精度分析模型，可以改善設(shè)計(jì)結(jié)果的可信度，但存在計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)的問題。基于梯度的局部搜索算法(如增廣拉格朗日乘子法、序列二次規(guī)劃法和可行方向法)通常利用有限差分法計(jì)算梯度信息，需要反復(fù)調(diào)用分析模型；基于概率的全局探索算法(如遺傳算法、粒子群算法和模擬退火法)同樣需要成千上萬次的調(diào)用分析模型[1]。為了緩解上述問題，構(gòu)造高精度分析模型的代理模型，可以有效降低性能指標(biāo)預(yù)測(cè)成本。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和功能的代理模型，理論上可以逼近任意非線性函數(shù)，因此得到了廣泛關(guān)注。張嘉良等[2]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與遺傳算法相結(jié)合，用于求解特定飛行條件下的巡航飛行器增程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。雷玉昌等[3]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立雙后掠翼飛行器外形參數(shù)與性能參數(shù)之間的映射關(guān)系，用于求解氣動(dòng)布局多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。孫偉和張呈林[4]建立直升機(jī)槳葉氣動(dòng)性能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，用于求解氣動(dòng)外形多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

基于代理模型的近似優(yōu)化策略已成為飛行器設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，以降低計(jì)算成本，縮短設(shè)計(jì)周期[1]。近似優(yōu)化策略主要分為靜態(tài)近似優(yōu)化策略和自適應(yīng)近似優(yōu)化策略兩類[5]。與靜態(tài)近似優(yōu)化策略相比，自適應(yīng)近似優(yōu)化策略采用動(dòng)態(tài)更新代理模型的方式改善可能存在全局最優(yōu)解區(qū)域的局部近似精度，具有更高的效率和更好的全局收斂性，其代理模型管理與更新策略主要包括基于空間縮減的序列采樣方法和基于空間填充的序列采樣方法[1]?；诳臻g縮減的序列采樣方法的典型算法包括信賴域方法[6]、分割平面方法[7]以及重點(diǎn)設(shè)計(jì)空間方法[8]等?；诳臻g填充的序列采樣方法的典型算法包括高效全局優(yōu)化策略[9]、追峰采樣方法[10]、基于進(jìn)化操作的采樣策略[11]以及基于模糊聚類的采樣策略[12]等。

標(biāo)準(zhǔn)追峰采樣方法(Mode-Pursuing Sampling method, MPS)適用于求解復(fù)雜黑箱函數(shù)的全局最優(yōu)解，優(yōu)化效率高、魯棒性強(qiáng)且支持并行計(jì)算。但是Duan等[13]指出標(biāo)準(zhǔn)MPS方法求解高維優(yōu)化問題效率不高，對(duì)此Cheng等[14]提出了基于信賴域的追峰采樣方法(Trust Region based Mode Pursuing Sampling, TRMPS)。針對(duì)約束問題，Kazemi等[15]引入約束松弛條件，提出了一種約束追峰采樣優(yōu)化方法(Constraint-importance Mode Pursuing Sampling, CiMPS)。此外粟華等[16]提出了一種改進(jìn)的動(dòng)態(tài)追峰采樣方法(Dynamic Mode Pursuing Sampling, DMPS)，緩解算法過早收斂、陷入局部最優(yōu)解的問題。Wu等[17]提出了一種應(yīng)用有偏坐標(biāo)擾動(dòng)的追峰采樣方法(Mode Pursuing Sampling method using Discriminative Coordinate Perturbation, MPS-DCP)，進(jìn)一步改善高維問題的優(yōu)化效率，但其復(fù)雜約束處理能力有待提升。然而實(shí)際工程優(yōu)化問題中，約束計(jì)算成本高的現(xiàn)象普遍存在[15]。CiMPS的約束處理機(jī)制忽略約束函數(shù)計(jì)算耗時(shí)，其約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)通常比目標(biāo)函數(shù)大3個(gè)數(shù)量級(jí)[18]。上述問題限制了追峰采樣方法在飛行器設(shè)計(jì)優(yōu)化領(lǐng)域的工程應(yīng)用。

處理約束優(yōu)化問題的傳統(tǒng)方法主要分為基于罰函數(shù)的方法和不依賴罰函數(shù)的方法。罰函數(shù)法[19]通過構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)將原問題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解，存在計(jì)算量大、收斂速度慢與罰系數(shù)選取困難等缺陷。對(duì)于不依賴罰函數(shù)的約束處理方法，Crossley[20]提出了結(jié)合KS方程(Kreisselmeier-Steinhauser function)的遺傳算法，用于求解旋翼系統(tǒng)的多目標(biāo)約束優(yōu)化問題。史人赫等[21]提出了基于過濾器的序列徑向基函數(shù)優(yōu)化方法，綜合考慮目標(biāo)函數(shù)值與最大約束違背度構(gòu)建過濾器，并通過支持向量機(jī)辨識(shí)可行性區(qū)域指導(dǎo)有偏采樣，能夠有效求解復(fù)雜約束優(yōu)化問題。本文將不依賴罰函數(shù)的約束處理方法引入MPS框架，提高其求解高耗時(shí)約束優(yōu)化問題的效率。

針對(duì)涉及高耗時(shí)黑箱分析模型的飛行器約束優(yōu)化問題，本文提出了一種基于過濾器的MPS-DCP設(shè)計(jì)空間智能探索方法(Filter-based Mode Pursuing Sampling intelligent exploring method using Discriminative Coordinate Perturbation, FMPS-DCP)。通過訓(xùn)練徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Network, RBFN)預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件響應(yīng)值，并應(yīng)用KS方程構(gòu)造約束違背度函數(shù)，綜合考慮目標(biāo)函數(shù)值與約束違背度函數(shù)值，基于Pareto支配概念構(gòu)造或更新過濾器，篩選優(yōu)質(zhì)簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)，再根據(jù)預(yù)測(cè)值準(zhǔn)則與距離準(zhǔn)則從過濾器接受樣本點(diǎn)中選擇出新增樣本點(diǎn)，引導(dǎo)優(yōu)化過程快速向全局可行最優(yōu)解收斂。最后通過標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例和工程優(yōu)化案例，驗(yàn)證FMPS-DCP方法的性能。

1 無約束追峰采樣方法簡(jiǎn)介

1.1 徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介

RBFN是一種高效的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、理論上可以逼近任意非線性函數(shù)。其隱層神經(jīng)元的激活函數(shù)選用徑向基函數(shù)，輸出層為隱層輸出的線性組合。RBFN的回歸預(yù)測(cè)模型如式(1)所示[22]：

(1)

式中：q為隱層神經(jīng)元數(shù)量；wi為第i個(gè)隱層神經(jīng)元的連接權(quán)重；φ(x,xi,c)為徑向基函數(shù)；xi為對(duì)應(yīng)隱層神經(jīng)元的中心；c為徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)。

RBFN訓(xùn)練時(shí)，首先確定神經(jīng)元中心xi，再確定權(quán)重wi和形狀參數(shù)c。由于實(shí)際復(fù)雜飛行器系統(tǒng)設(shè)計(jì)中訓(xùn)練樣本規(guī)模有限，本文選取優(yōu)化過程中當(dāng)前所有樣本點(diǎn)作為隱層神經(jīng)元中心，并按式(2)計(jì)算連接權(quán)重wi[1]。

w=A-1F

A=

(2)

式中：w=[w1,w2,…,wn]T為連接權(quán)重系數(shù)向量；F=[y1,y2,…,yn]T為訓(xùn)練樣本處的真實(shí)模型響應(yīng)；A為徑向基函數(shù)矩陣；n為訓(xùn)練樣本規(guī)模。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)追峰采樣方法簡(jiǎn)介

標(biāo)準(zhǔn)MPS方法[10]初始樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)算式為

(3)

式中：nv為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值加入高精度樣本點(diǎn)集Y并構(gòu)造RBFN。

雖然標(biāo)準(zhǔn)MPS求解低維問題具有顯著優(yōu)勢(shì)，但是求解高維問題的效率較低[13]，而且缺乏處理高耗時(shí)約束的能力。

1.3 基于有偏坐標(biāo)擾動(dòng)的追峰采樣方法簡(jiǎn)介

MPS-DCP[17]將有偏坐標(biāo)擾動(dòng)的思想與標(biāo)準(zhǔn)MPS相結(jié)合，以緩解其高維問題求解效率低的缺陷。MPS-DCP初始采樣過程與標(biāo)準(zhǔn)MPS方法相同。迭代過程中選取Y內(nèi)目標(biāo)函數(shù)值最小的10·nv個(gè)高精度樣本點(diǎn)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)的RBFN。

綜合考慮各設(shè)計(jì)變量的靈敏度指標(biāo)[17]與優(yōu)化改善情況構(gòu)造靈敏度影響因子，并結(jié)合當(dāng)前迭代次數(shù)計(jì)算設(shè)計(jì)變量的擾動(dòng)概率p。由此對(duì)當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)施加有偏坐標(biāo)擾動(dòng)，得到nc個(gè)簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)，通過定制的預(yù)測(cè)值準(zhǔn)則與距離準(zhǔn)則，選擇ns個(gè)RBFN預(yù)測(cè)值較小且距離現(xiàn)有高精度樣本點(diǎn)較遠(yuǎn)的優(yōu)質(zhì)簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)作為新增樣本點(diǎn)。此外，根據(jù)優(yōu)化改善情況動(dòng)態(tài)調(diào)整有偏坐標(biāo)擾動(dòng)步長(zhǎng)σn。若當(dāng)前最優(yōu)解與上一步迭代結(jié)果相同，則縮減步長(zhǎng)，加強(qiáng)局部搜索能力；若當(dāng)前最優(yōu)解小于上一步迭代結(jié)果，則擴(kuò)大步長(zhǎng)，保證算法的全局探索性。

與TRMPS等改進(jìn)算法相比，MPS-DCP求解高維問題的收斂性能與優(yōu)化效率有明顯優(yōu)勢(shì)[17]。然而MPS-DCP中構(gòu)造約束函數(shù)RBFN的處理方式難以有效求解包含復(fù)雜約束的實(shí)際工程優(yōu)化問題。因此，亟待將高效的約束處理機(jī)制引入MPS框架，以進(jìn)一步提升MPS算法的工程實(shí)用性。

2 約束追峰采樣智能探索方法

2.1 約束處理方法

本文采用不依賴罰函數(shù)的約束處理方法，具體內(nèi)容敘述如下。

2.1.1 KS方程法

KS方程是在指數(shù)空間上約束函數(shù)集合的可微最大包絡(luò)。本文采用如式(4)所示的KS方程修改形式[23]，以緩解數(shù)值奇異的問題。

(4)

以G24問題(定義見3.2.1節(jié))為例，說明KS方程縮聚約束后可行域變化情況，原可行域與KS方程包絡(luò)可行域如圖1所示。其中一個(gè)主動(dòng)約束處(圖中黑框部分)放大圖如圖2所示。

由圖1和圖2可以看出，對(duì)于G24問題，KS方程包絡(luò)可行域與原可行域大致相同，但在主動(dòng)約束處，KS方程包絡(luò)可行域明顯更小，且ρ越大越接近原可行域。因此，KS方程存在可行域偏保守的問題，但是ρ取得過大仍會(huì)導(dǎo)致數(shù)值奇異。為解決上述問題，本文在優(yōu)化過程中采用自適應(yīng)方法[23]動(dòng)態(tài)更新ρ，計(jì)算公式為

圖1 G24問題可行域Fig.1 Feasible region of G24

圖2 可行域放大圖Fig.2 Enlarged view of feasible region

lg(ρn+1)=

(5)

式中：ρ1=ρn+1×10-3；KS′為ρ的影響因子，計(jì)算式為

(6)

2.1.2 過濾器方法

考慮到實(shí)際工程問題中仿真分析結(jié)果可能存在誤差，允許樣本點(diǎn)在一定范圍內(nèi)違背約束，從而更充分地探索設(shè)計(jì)空間，加強(qiáng)算法的全局收斂性。由此引入約束容差KSmax，將滿足KS(ρn,x)

定義1：支配關(guān)系

對(duì)于樣本點(diǎn)x(i)與x(l)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足式(7)時(shí)，稱點(diǎn)x(i)支配x(l)；否則，兩者互不支配。

f(x(i))≤f(x(l))∩KS(ρn,x(i))≤KS(ρn,x(l))

(7)

定義2：過濾器

過濾器是互不支配樣本點(diǎn)的集合。過濾器的示意圖如圖3所示。當(dāng)且僅當(dāng)樣本點(diǎn)位于圖中過濾器更新或擴(kuò)充區(qū)域，樣本點(diǎn)被過濾器接受。否則，樣本點(diǎn)被過濾器拒絕。

圖3 過濾器示意圖Fig.3 Schematic of filter

2.2 算法流程

假設(shè)高精度樣本點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)響應(yīng)值可通過調(diào)用一次分析模型同時(shí)獲取，而簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)通過RBFN預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)值。通過模型調(diào)用次數(shù)nse衡量?jī)?yōu)化問題的計(jì)算成本。此外，認(rèn)為可行點(diǎn)優(yōu)于不可行點(diǎn)。對(duì)于可行點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)值較小的更優(yōu)；對(duì)于不可行點(diǎn)，約束函數(shù)值較小的更優(yōu)。FMPS-DCP的算法流程如圖4所示，具體步驟如下:

圖4 FMPS-DCP算法流程圖Fig.4 Flowchart of FMPS-DCP

步驟1采用標(biāo)準(zhǔn)拉丁超方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取nv+1個(gè)初始高精度樣本點(diǎn)。判斷是否存在可行點(diǎn)，如果不存在可行樣本點(diǎn)，執(zhí)行步驟2。如果存在，則繼續(xù)采樣至樣本點(diǎn)數(shù)達(dá)到n0，計(jì)算公式如下:

(8)

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值并加入高精度樣本點(diǎn)集Y，執(zhí)行步驟3。

(9)

式中：xk為Y內(nèi)高精度樣本點(diǎn)；Tcoincide為距離容忍度。具體流程見2.3節(jié)。

步驟3利用Y內(nèi)所有樣本點(diǎn)訓(xùn)練目標(biāo)函數(shù)與各約束函數(shù)的RBFN。

步驟4如果為第1次迭代，確定Y內(nèi)樣本點(diǎn)之間的支配關(guān)系，構(gòu)造過濾器。否則，根據(jù)上一步迭代新增樣本點(diǎn)與過濾器內(nèi)所有樣本點(diǎn)之間的支配關(guān)系，更新過濾器。

步驟5擾動(dòng)概率p計(jì)算方式與MPS-DCP方法類似，但由于存在約束函數(shù)，則分別計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的靈敏度指標(biāo)[17]sF與sKS，構(gòu)造統(tǒng)一靈敏度指標(biāo)s=sF+sKS，并根據(jù)式(10)歸一化：

(10)

步驟6首先利用得到的過濾器篩選上述簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)，再根據(jù)預(yù)測(cè)值準(zhǔn)則和距離準(zhǔn)則評(píng)價(jià)備選點(diǎn)的得分，選取評(píng)分最好的ns個(gè)樣本點(diǎn)。新增樣本點(diǎn)選擇策略具體內(nèi)容見2.4節(jié)。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值并加入高精度樣本點(diǎn)集Y。最后與MPS-DCP方法類似，比較新增樣本點(diǎn)與當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)的最優(yōu)性與可行性，更新有偏坐標(biāo)擾動(dòng)步長(zhǎng)。

步驟8利用序列二次規(guī)劃方法對(duì)PRSM模型進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，計(jì)算最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值并加入高精度樣本點(diǎn)集Y。

步驟9如果Y內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)達(dá)到了給定的最大模型調(diào)用次數(shù)，則優(yōu)化終止，輸出當(dāng)前最優(yōu)解。否則，更新靈敏度指標(biāo)，返回步驟3。

2.3 初始采樣子優(yōu)化問題

為改善優(yōu)化結(jié)果的可行性，需要保證初始采樣存在可行樣本點(diǎn)，子優(yōu)化問題求解的具體步驟如下:

步驟3計(jì)算樣本點(diǎn)與Y內(nèi)所有樣本點(diǎn)之間的最小歐氏距離，構(gòu)造初始采樣子優(yōu)化問題的約束函數(shù)。

步驟4利用序列二次規(guī)劃法求解初始采樣子優(yōu)化問題，計(jì)算最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值并加入高精度樣本點(diǎn)集Y，更新模型調(diào)用次數(shù)。判斷Y內(nèi)是否存在可行點(diǎn)或達(dá)到最大模型調(diào)用次數(shù)，若滿足，執(zhí)行步驟5。否則，返回步驟1。

步驟5如果Y內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)小于最大模型調(diào)用次數(shù)，執(zhí)行步驟6。否則，返回集合Y和KS方程控制參數(shù)ρ，子優(yōu)化終止。

步驟6利用拉丁超方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法生成n0-nsub個(gè)樣本點(diǎn)，其中nsub為Y內(nèi)樣本點(diǎn)數(shù)。計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值并加入高精度樣本點(diǎn)集Y，子優(yōu)化終止。

初始采樣子優(yōu)化問題求解過程偽代碼如算法1所示。

算法1 初始采樣子優(yōu)化問題求解方法

2.4 基于過濾器的新增樣本點(diǎn)選擇策略

為高效處理高耗時(shí)約束，首先基于過濾器篩選優(yōu)質(zhì)簡(jiǎn)單樣本點(diǎn)，再根據(jù)定制的預(yù)測(cè)值準(zhǔn)則與距離準(zhǔn)則選擇新增樣本點(diǎn)，引導(dǎo)采樣快速趨向全局可行最優(yōu)解，具體步驟如下:

步驟2如果過濾器接受點(diǎn)數(shù)小于擬新增樣本點(diǎn)數(shù)ns，則偏向可行性，取約束違背度函數(shù)預(yù)測(cè)值為預(yù)測(cè)值準(zhǔn)則評(píng)價(jià)指標(biāo)。否則，偏向最優(yōu)性，取目標(biāo)函數(shù)預(yù)測(cè)值為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

步驟3計(jì)算樣本點(diǎn)與Y內(nèi)所有樣本點(diǎn)之間歐氏距離的最小值，作為距離準(zhǔn)則的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

步驟4根據(jù)當(dāng)前迭代次數(shù)niter、優(yōu)化持續(xù)未改善次數(shù)Cstall與ns確定權(quán)重系數(shù)集合ws。

步驟5如果已新增樣本點(diǎn)數(shù)nadd小于ns，則根據(jù)nadd確定權(quán)重系數(shù)w，執(zhí)行步驟6。否則，執(zhí)行步驟7。

步驟6按式(11)計(jì)算總評(píng)分。

(11)

如果樣本點(diǎn)與Y內(nèi)所有樣本點(diǎn)之間距離的最小值小于閾值Tcoincide，則去除該樣本點(diǎn)。選擇總評(píng)分最小的樣本點(diǎn)為新增樣本點(diǎn)，并加入Y與新增樣本點(diǎn)集Ya，更新nadd。如果nadd小于ns，返回步驟5。否則，執(zhí)行步驟7。

步驟7樣本點(diǎn)選擇結(jié)束，輸出新增樣本點(diǎn)集Ya與更新后的高精度樣本點(diǎn)集Y。

基于過濾器的樣本點(diǎn)選擇策略偽代碼如算法2所示。

算法2 基于過濾器的樣本點(diǎn)選擇策略Algorithm 2 Filter based sample point selection strategy

2.5 算法收斂性分析

對(duì)FMPS-DCP方法的收斂性開展理論分析并加以證明。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，定義如下引理。

條件a，算法采用精英策略。

(12)

條件b，對(duì)于非全局最優(yōu)點(diǎn)的任意樣本點(diǎn)x′，對(duì)應(yīng)水平集L(x′)={x|f(x)

(13)

3 算法性能測(cè)試

為驗(yàn)證FMPS-DCP方法的性能，采用7個(gè)中低維、4個(gè)高維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例和1個(gè)實(shí)際工程約束優(yōu)化案例進(jìn)行測(cè)試，將測(cè)試算例中的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)視作高耗時(shí)黑箱模型。對(duì)于中低維問題，本文認(rèn)為達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值即得到了最優(yōu)解，算法終止，通過統(tǒng)計(jì)不同算法在最大的模型調(diào)用次數(shù)限制下達(dá)到給定最優(yōu)解目標(biāo)值所需的模型調(diào)用次數(shù)，并與CiMPS、MPS-DCP和改進(jìn)隨機(jī)徑向基函數(shù)方法(Extended ConstrLMSRBF)進(jìn)行對(duì)比分析，評(píng)價(jià)算法的性能。由于CiMPS難以求解涉及高耗時(shí)約束的優(yōu)化問題，Extended ConstrLMSRBF方法未提供源代碼，對(duì)于高維問題，本文與約束差分進(jìn)化算法(Kriging assisted Constrained Differential Evolution, KRG-CDE)[24]進(jìn)行對(duì)比；對(duì)于實(shí)際工程約束優(yōu)化案例，本文與改進(jìn)自適應(yīng)響應(yīng)面優(yōu)化策略(Adaptive Response Surface Method using Intelligent Space Exploration Strategy, ARSM-ISES)進(jìn)行對(duì)比。為降低隨機(jī)因素的影響，對(duì)各數(shù)值算例，不同算法分別連續(xù)運(yùn)行30次。各算法在模型調(diào)用次數(shù)大于最大模型調(diào)用次數(shù)時(shí)，算法終止。

3.1 參數(shù)設(shè)置

對(duì)于中低維問題，MPS-DCP、FMPS-DCP和Extend ConstrLMSRBF目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)相等，最大調(diào)用次數(shù)設(shè)為500。CiMPS約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)通常多于目標(biāo)函數(shù)，最大目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)分別設(shè)為500與10 000。對(duì)于30維C0130和C0230問題，KRG-CDE和FMPS-DCP最大的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)均設(shè)為600；對(duì)于50維C0150和C0250問題，各算法最大的目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)均設(shè)為1 500。FMPS-DCP約束容差設(shè)為0.05。

3.2 問題描述

3.2.1 標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例

選用的中低維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例來自文獻(xiàn)[25-29]，高維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例來自文獻(xiàn)[30]，基本信息如表1和表2所示。

表1 中低維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例

表2 高維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例

3.2.2 工程案例

本文選用文獻(xiàn)[31]中的全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題(如圖5所示)，驗(yàn)證FMPS-DCP方法的工程實(shí)用性。全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化案例在滿足軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間、軌道位置保持精度、整星功率需求以及基頻等約束條件下，以整星質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，涉及軌道轉(zhuǎn)移、位置保持、供配電、熱控、姿控和結(jié)構(gòu)6個(gè)學(xué)科。為了實(shí)現(xiàn)學(xué)科解耦，本文采用定點(diǎn)迭代法實(shí)現(xiàn)多學(xué)科分析(Multidisciplinary Analysis, MDA)[31]，獲取滿足系統(tǒng)一致性設(shè)計(jì)約束的樣本點(diǎn)。在Intel i5 6300U 2.40 GHz CPU和8 GB內(nèi)存的電腦上，利用定點(diǎn)迭代法進(jìn)行1次多學(xué)科分析平均所需時(shí)間約10 min。

圖5 全電推進(jìn)衛(wèi)星示意圖[31]Fig.5 Schematic of all-electric satellite[31]

全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如式(14)所示。

findX=[α,β,φ,dT,dN,Asa,Cs,Ar,Hw,

SH,CH,TBH,SP,CSP,TBP]T

(14)

式中：α、β、φ分別為第一階段偏航、俯仰角和第二階段俯仰角；dT和dN分別為推力器T和N方向安裝位置；Asa為太陽能帆板面積；Cs為電池容量；Ar為散熱器面積；Hw為動(dòng)量輪角動(dòng)量；SH和CH分別為服務(wù)艙和通信艙芯子厚度；TBH為中心承力筒芯子厚度；SP和CSP分別為服務(wù)艙和通信艙鋪層厚度；TBP為中心承力筒鋪層厚度。Msatellite為全電推進(jìn)衛(wèi)星系統(tǒng)總質(zhì)量；mi為第i個(gè)學(xué)科/分系統(tǒng)的質(zhì)量預(yù)算；mfuel為總推進(jìn)劑質(zhì)量預(yù)算；mothers=746.2 kg為系統(tǒng)固定質(zhì)量；tf為總軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間；λmax和imax分別為東西和南北位置保持精度；PBOL和PEOL分別為壽命初、末期功率；DOD為放電深度；T0為穩(wěn)態(tài)溫度；cAC為動(dòng)量輪容量余量；fX和fY分別為X、Y方向一階彎曲頻率。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

3.3.1 標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例優(yōu)化結(jié)果

1) 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

對(duì)于中低維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例，3種算法優(yōu)化結(jié)果如表3所示，Extend ConstrLMSRBF優(yōu)化結(jié)果引自文獻(xiàn)[32]；由于MPS-DCP無法在給定的最大模型調(diào)用次數(shù)限制下獲取PVD4、SR7、G7和G9等問題可行解，本研究?jī)H針對(duì)G1和G24問題，對(duì)比了MPS-DCP和FMPS-DCP優(yōu)化過程迭代曲線，如圖6所示，圖中與X軸平行虛線代表最優(yōu)解目標(biāo)值。對(duì)于高維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。上述表中加粗部分代表各算例的最優(yōu)結(jié)果。

表3 中低維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of middle and low dimension constrained numerical benchmark problems

圖6 中低維算例優(yōu)化過程迭代曲線Fig.6 Convergence history curves for middle and low dimension constrained numerical examples

表4 高維標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of high dimension constrained numerical benchmark problems

對(duì)于中低維測(cè)試算例，在給定的模型調(diào)用次數(shù)限制下，F(xiàn)MPS-DCP都存在達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值的優(yōu)化結(jié)果；而CiMPS只有算例G24可以達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值，Extended ConstrLMSRBF除SR7與G1外，其余算例都存在達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值的優(yōu)化結(jié)果。FMPS-DCP與CiMPS和Extended ConstrLMSRBF相比，收斂性更好，且遠(yuǎn)優(yōu)于CiMPS。CiMPS通常在目標(biāo)函數(shù)調(diào)用次數(shù)未達(dá)到最大次數(shù)前，約束函數(shù)調(diào)用次數(shù)已達(dá)到最大值，無法收斂到最優(yōu)解，表明CiMPS難以求解高耗時(shí)約束優(yōu)化問題。FMPS-DCP的模型調(diào)用次數(shù)均遠(yuǎn)少于CiMPS算法，且小于Extended ConstrLMSRBF，特別是SR7、G6與G24問題，F(xiàn)MPS-DCP算法優(yōu)化效率具有顯著優(yōu)勢(shì)；對(duì)于PVD4問題，F(xiàn)MPS-DCP未達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值的次數(shù)略多于Extended ConstrLMSRBF，但是上述差異在工程優(yōu)化領(lǐng)域可以忽略。在魯棒性方面，因?yàn)閷?duì)于大多數(shù)問題，CiMPS均無法達(dá)到最優(yōu)解目標(biāo)值，本文只對(duì)比FMPS-DCP與Extended ConstrLMSRBF。對(duì)于所有的算例，F(xiàn)MPS-DCP算法的標(biāo)準(zhǔn)差均小于Extended ConstrLMSRBF，說明FMPS-DCP具有更好的魯棒性。上述優(yōu)化結(jié)果表明，本文提出的FMPS-DCP算法達(dá)到給定最優(yōu)解目標(biāo)值所需的模型調(diào)用次數(shù)更少且魯棒性更好，從而證明了FMPS-DCP設(shè)計(jì)空間智能探索方法具有更好的優(yōu)化效率與魯棒性。

對(duì)于G1和G24問題，MPS-DCP收斂速度隨優(yōu)化進(jìn)行明顯降低，甚至無法收斂到最優(yōu)解目標(biāo)值；FMPS-DCP在優(yōu)化初期性能優(yōu)于MPS-DCP且可快速收斂到最優(yōu)解目標(biāo)值。上述結(jié)果表明在MPS框架中僅通過簡(jiǎn)單罰函數(shù)法難以有效處理高耗時(shí)約束，本文FMPS-DCP方法采用的約束處理策略與新增樣本點(diǎn)選擇策略可以引導(dǎo)優(yōu)化過程快速向全局可行最優(yōu)解收斂，從而驗(yàn)證了FMPS-DCP中高耗時(shí)約束處理策略和代理模型更新管理機(jī)制的有效性與各部分策略之間的相互適應(yīng)性。

對(duì)于高維測(cè)試算例，本文提出的FMPS-DCP算法可以快速收斂到全局最優(yōu)解，最優(yōu)性明顯優(yōu)于KRG-CDE，最優(yōu)解標(biāo)準(zhǔn)差更小，表明FMPS-DCP可用于求解高維問題且魯棒性較好。

2) 調(diào)節(jié)參數(shù)影響性分析

影響算法性能的調(diào)節(jié)參數(shù)，包括序列新增樣本點(diǎn)數(shù)ns、閾值參數(shù)Tcoincide和Tfail。對(duì)于PVD4、G1、G7和SR7問題，采用不同調(diào)節(jié)參數(shù)優(yōu)化的迭代曲線如圖7所示，圖中與X軸平行虛線代表最優(yōu)解目標(biāo)值。

圖7 調(diào)節(jié)參數(shù)影響性分析Fig.7 Tuning parameters influence analysis

3.3.2 工程案例優(yōu)化結(jié)果

FMPS-DCP與ARSM-ISES優(yōu)化結(jié)果如表5所示，其中ARSM-ISES優(yōu)化結(jié)果引自文獻(xiàn)[31]。FMPS-DCP與ARSM-ISES優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量與約束條件如表6與表7所示。

由表6與表7可以看出，與初始設(shè)計(jì)方案相比，兩種算法優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量均有明顯調(diào)整，約束條件均在約束容差范圍內(nèi)滿足要求，表明了優(yōu)化結(jié)果的可行性，其中，放電深度與X/Y方向一階彎曲頻率均成為主動(dòng)約束，表明了優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)性。由表5可以看出，F(xiàn)MPS-DCP方法優(yōu)化后的整星質(zhì)量為2 357.7 kg，與初始設(shè)計(jì)方案相比減少了186.2 kg，降低了約7.32%；該結(jié)果與ARSM-ISES方法優(yōu)化結(jié)果2 358.6 kg相當(dāng)，但是模型調(diào)用次數(shù)從1 200次降為200次，優(yōu)化時(shí)間從34.3 h降為5.3 h，計(jì)算成本降低84.5%，有助于縮短全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)的設(shè)計(jì)周期。上述結(jié)果驗(yàn)證了FMPS-DCP設(shè)計(jì)空間智能探索方法求解包含高耗時(shí)約束的全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的有效性與工程實(shí)用性。

表5 全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題優(yōu)化結(jié)果

表6 全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Table 6 Optimized design variables of all-electric satellite MDO problem

表7 全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題優(yōu)化后的約束條件Table 7 Optimized constraint values of all-electric satellite MDO problem

4 結(jié) 論

1) 針對(duì)高耗時(shí)約束優(yōu)化問題求解復(fù)雜，計(jì)算成本高的難題，本文提出了一種基于過濾器的MPS-DCP設(shè)計(jì)空間智能探索方法。在通過訓(xùn)練RBFN預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件響應(yīng)值并應(yīng)用KS方程法構(gòu)造約束違背度函數(shù)的基礎(chǔ)上，定制了一套新增樣本點(diǎn)選擇策略引導(dǎo)優(yōu)化過程快速向全局可行最優(yōu)解收斂，從而提高求解高耗時(shí)約束優(yōu)化問題的效率。

2) 標(biāo)準(zhǔn)約束測(cè)試算例與優(yōu)化結(jié)果表明，與CiMPS、Extended ConstrLMSRBF和KRG-CDE方法相比，F(xiàn)MPS-DCP方法具有更好的優(yōu)化效率與魯棒性。全電推進(jìn)衛(wèi)星平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題求解結(jié)果表明，F(xiàn)MPS-DCP方法具有較好的工程實(shí)用性。

3) 未來將進(jìn)一步探索模型特征驅(qū)動(dòng)的優(yōu)化策略研究，進(jìn)一步提高飛行器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的優(yōu)化效率。