劉良成

（中鐵四局集團(tuán)第三建設(shè)有限公司，天津300163）

懸臂澆筑法由于操作簡(jiǎn)便、結(jié)構(gòu)輕盈、施工效率高，被廣泛應(yīng)于大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋施工中。掛籃是懸臂澆筑梁體時(shí)用于承受梁體自重及施工荷載并能逐段向前移動(dòng)、經(jīng)特殊設(shè)計(jì)的專(zhuān)用設(shè)備[1]，主桁是其主要承力構(gòu)件。掛籃主桁根據(jù)桿件的夾角可分為菱形、三角形等且各桿件長(zhǎng)度、夾角等設(shè)計(jì)也根據(jù)受力需要各不相同。李斌等[2]以掛籃主桁上弦桿與水平面的夾角為控制參數(shù)，指出在夾角為9°時(shí)的楔形掛籃主桁架為最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式；葉清鋒[3]指出主桁上弦桿與水平面的夾角θ在8°≤θ≤16°時(shí)，主桁架的綜合性能最佳。吳載清[4]通過(guò)建立主桁有限元模型，指出掛籃異形三角主桁的最優(yōu)夾角為8°～12°。上述對(duì)掛籃主桁受力的研究主要采用了固定變量單因素的分析方法，未考慮在多因素作用下主桁的綜合受力性能。

鑒于相同材料的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化規(guī)律及平面靜定桁架的內(nèi)力求解唯一性[5～6]，本文建立掛籃主桁的任意結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，導(dǎo)出主桁內(nèi)力理論計(jì)算公式，探討掛籃主桁在各設(shè)計(jì)參數(shù)影響下的受力特性及規(guī)律，進(jìn)而探究合理且最優(yōu)的主桁構(gòu)造形式。

1 模型建立及公式推導(dǎo)

掛籃主桁桿件之間均采用鉸接，均為拉壓桿（三角掛籃的主縱梁除外），將其簡(jiǎn)化為平面靜定桁架的力學(xué)模型。掛籃主桁結(jié)構(gòu)由兩個(gè)共邊的三角形組成。見(jiàn)圖1。

圖1 掛籃主桁任意結(jié)構(gòu)模型

當(dāng)前端上弦桿與水平面平行即α=90°時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)菱形掛籃；當(dāng)上弦桿前端節(jié)點(diǎn)D下降并與水平面成一定夾角即∠0°＜(90°-α)＜∠CDB時(shí)，即為非標(biāo)準(zhǔn)菱形掛籃，也稱(chēng)楔形掛籃；當(dāng)上弦桿前端節(jié)點(diǎn)下降至與下弦桿位于同一水平面即α=90°-∠CDB時(shí)，形式上等同于三角形掛籃[7]。

掛籃主桁通過(guò)前上橫梁承受底籃系統(tǒng)、內(nèi)外導(dǎo)梁等作用的荷載F，見(jiàn)圖2。

圖2 掛籃主桁任意結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算模型

不考慮材料及構(gòu)件非線性的影響，根據(jù)整體隔離體平衡方程

根據(jù)式（2）和式（3）可得，掛籃主桁前、后支點(diǎn)的反力分別為

根據(jù)結(jié)點(diǎn)法[8]，取節(jié)點(diǎn)D為隔離體，列平衡方程，計(jì)算前斜桿BD的內(nèi)力（壓力）FN1和上弦桿CD的內(nèi)力（拉力）FN2。同理分別取節(jié)點(diǎn)A、C為隔離體，列相應(yīng)的平衡方程，分別計(jì)算出下弦桿AB的內(nèi)力（壓力）FN4、后斜桿AC的內(nèi)力（拉力）FN5和豎桿BC的內(nèi)力（壓力）FN3。

對(duì)節(jié)點(diǎn)D，列平衡方程式

式（6）中α'即為∠CBD，根據(jù)正弦和余弦定理，則有cosα'=cos∠CBD

聯(lián)解式（6）～（8），得

同理，對(duì)節(jié)點(diǎn)A、C列平衡方程式

常規(guī)的掛籃主桁結(jié)構(gòu)，下弦桿與水平面平行，即β=90°，式（11）～（13）可簡(jiǎn)化為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，掛籃主桁各桿件均按等截面直桿考慮，F(xiàn)N2和FN5均為拉桿。由式（10）和式（16）得出，當(dāng)α=90°即菱形掛籃時(shí)，F(xiàn)N5＞FN2，后斜桿為最不利的拉桿。根據(jù)拉桿的強(qiáng)度校核條件，最大拉應(yīng)力σ拉max應(yīng)小于材料的許用拉應(yīng)力[σ]，即

式中：A為主桁桿件的截面面積。

FN1、FN4和FN3均為壓桿，由式（9）和式（15）得出，F(xiàn)N1≥FN4，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)前斜桿與下弦桿為等強(qiáng)度桿件，是一種受力較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

式中：φ為主桁桿件的壓桿穩(wěn)定因素，與桿件的柔度有關(guān)。

2 掛籃主桁內(nèi)力多因素分析

利用Maple軟件深入分析各因素取值對(duì)主桁內(nèi)力變化規(guī)律的影響。

2.1 菱形掛籃

對(duì)于菱形掛籃主桁，有α=90°，β=90°；為計(jì)算簡(jiǎn)便，取F=1；菱形掛籃主桁FN5＞FN2、FN1＞FN4，以最不利的前斜桿FN1、豎桿FN3、后斜桿FN5作為分析對(duì)象。令討論菱形掛籃主桁各桿件長(zhǎng)度之比對(duì)內(nèi)力值的影響。

2.1.1 前斜桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力（壓力）隨m值增加呈非線性關(guān)系減小且自m＞1后曲線趨于平緩、非線性影響不顯著。見(jiàn)圖3。

圖3 菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

故當(dāng)0.8≤m≤1.5，菱形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力相對(duì)較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計(jì)構(gòu)造。

2.1.2 豎桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力（壓力）隨n值增加呈非線性關(guān)系減小且自n＞1之后曲線趨于平緩、非線性影響較不明顯。見(jiàn)圖4。

圖4 菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力變化規(guī)律

故當(dāng)0.8≤n≤1.2，菱形掛籃主桁豎桿內(nèi)力相對(duì)較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計(jì)構(gòu)造。

2.1.3 后斜桿內(nèi)力

菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力可表示為

菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力隨m、n值增加均呈現(xiàn)非線性關(guān)系減小，自m＞1、n＞1后曲面趨于平緩、非線性影響較不顯著且m、n值對(duì)主桁后斜桿內(nèi)力的非線性變化關(guān)系影響一致。當(dāng)（C為常數(shù)）時(shí)，主桁后斜桿的內(nèi)力為定值。見(jiàn)圖5。

圖5 菱形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.1.4 綜合受力分析

為確定菱形掛籃主桁綜合受力的最佳指標(biāo)，構(gòu)建與m、n值相關(guān)的菱形掛籃主桁內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)。

式中：ψ1、ψ2、ψ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內(nèi)力占綜合受力指標(biāo)的權(quán)值，與桿件的受力特性、特殊要求有關(guān)，為計(jì)算方便，可取ψ1+ψ2+ψ3=1。

代入式（9）、式（14）和式（16），可得

移項(xiàng)歸列，得

根據(jù)式（21），菱形掛籃主桁內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)f(m，n)隨m、n值增加均呈非線性關(guān)系減小，f(m，n)的梯度和散度隨m、n值增加均呈非線性關(guān)系減小且梯度和散度變化速率分別與權(quán)值ψ1+ψ3、ψ2+ψ3成正相關(guān)。

根據(jù)式（22），若f(m，n)=C（C為常數(shù)）呈以為長(zhǎng)半軸和短半軸的橢圓曲線；當(dāng)ψ1=ψ2時(shí)，為圓曲線。

菱形掛籃主桁實(shí)踐設(shè)計(jì)應(yīng)用時(shí)，先擬定內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)的目標(biāo)值（C0），合理選取ψ1、ψ2、ψ3，在滿(mǎn)足式（23）的條件下，根據(jù)工程實(shí)際需要，選取合理且最優(yōu)的m、n值。

2.2 楔形掛籃

2.2.1α角度

對(duì)于楔形掛籃主桁，有∠（90°-∠CDB）＜α＜90°。當(dāng)L2=L3sinα，有FN5=FN2和FN1=FN4，是受力較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。分別代入式（9）～（10）和式（15）～（17）中可得

由式（24）可知，F(xiàn)N3恒為2F，F(xiàn)N1和FN4內(nèi)力相等且與α角度呈非線性正相關(guān)，F(xiàn)N5和FN2內(nèi)力相等且與α角度呈非線性正相關(guān)。

事實(shí)上，當(dāng)L1=L3cosα?xí)r，形狀上類(lèi)似三角掛籃。但由于三角掛籃主桁桿AB和BD為壓彎桿件的主縱梁，在B點(diǎn)處為剛接，與本文按桁架計(jì)算的邊界條件不一致，故上述公式不適用于三角掛籃主桁內(nèi)力的計(jì)算，應(yīng)另作討論。

由于實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)，L1可以進(jìn)行調(diào)整，L2與掛籃主桁安裝所需長(zhǎng)度相關(guān)（一般不大于0#塊箱梁長(zhǎng)度的一半）；因此在L2=L3sinα的條件下，仍以最不利的FN1、FN3、FN5作為分析對(duì)象，討論楔形掛籃主桁α角度值、m值對(duì)內(nèi)力值的影響。

2.2.2 前斜桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力隨m值增加呈非線性關(guān)系增加，隨α值增加近似呈非線性關(guān)系增加且非線性變化關(guān)系受m值影響較α值更為顯著。見(jiàn)圖6。

圖6 楔形掛籃主桁前斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.2.3 豎桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁豎桿內(nèi)力隨m、α值增加呈現(xiàn)非線性關(guān)系減小；在α值較小時(shí)，受m值影響較為顯著，隨著α值增大，受m值影響的顯著性降低。見(jiàn)圖7。

圖7 楔形掛籃主桁豎桿內(nèi)力變化規(guī)律

在0.6≤m≤1.5時(shí)，主桁豎桿內(nèi)力較小，為合理且較優(yōu)的設(shè)計(jì)構(gòu)造。

2.2.4 楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力

楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力隨m值增加呈現(xiàn)非線性關(guān)系減小，隨α值增加呈非線性關(guān)系增加且非線性變化關(guān)系受m值影響較α值更為顯著；在m值較小時(shí)，受α值影響較為顯著，隨著m值增大，受α值影響的顯著性降低。見(jiàn)圖8。

圖8 楔形掛籃主桁后斜桿內(nèi)力變化規(guī)律

2.2.5 綜合受力分析

為確定楔形掛籃主桁綜合受力的最佳指標(biāo)，定義與m、α值相關(guān)的楔形掛籃主桁內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)。

式中：ξ1、ξ2、ξ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內(nèi)力占綜合受力指標(biāo)的權(quán)值，與桿件的受力特性、特殊要求有關(guān)，為計(jì)算方便，可取ξ1+ξ2+ξ3=1。

若f(m，α)=常數(shù)，可視為以為變量的二元二次方程

二次項(xiàng)系數(shù)A、B、C不為零且x、y均是不為零的正實(shí)數(shù)，則式（26）存在無(wú)窮個(gè)正實(shí)數(shù)解析解。

楔形掛籃主桁設(shè)計(jì)應(yīng)用時(shí)，先擬定內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)的目標(biāo)值，合理選取ξ1、ξ2、ξ3，根據(jù)工程實(shí)際需要，選取合理且最優(yōu)的m、α值。

需要指出的是，根據(jù)上述思路，還可將楔形掛籃主桁內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)定義為三元二次方程分析m、n、α值對(duì)楔形掛籃主桁的前斜桿、豎桿、后斜桿及綜合受力評(píng)價(jià)函數(shù)的影響。

3 結(jié)論

1）菱形和楔形掛籃主桁為平面靜定桁架結(jié)構(gòu)，各桿件均為拉壓桿，通過(guò)結(jié)點(diǎn)法和隔離體平衡方程可推導(dǎo)出任意結(jié)構(gòu)主桁各桿件的內(nèi)力公式。

2）掛籃任意結(jié)構(gòu)主桁中，后斜桿的內(nèi)力不小于上弦桿的內(nèi)力，前斜桿的內(nèi)力不小于下弦桿的內(nèi)力，受力最不利的主桁桿件為后斜桿（拉桿）、前斜桿（壓桿）和豎桿（壓桿）。

3）菱形掛籃主桁內(nèi)力值與豎桿和上弦桿的長(zhǎng)度比、下弦桿和上弦桿的長(zhǎng)度比呈非線性變化關(guān)系；主桁內(nèi)力值的非線性變化關(guān)系較不明顯時(shí)，相對(duì)應(yīng)的豎桿和上弦桿的長(zhǎng)度比、下弦桿和上弦桿的長(zhǎng)度比區(qū)間范圍較優(yōu)且為合理的設(shè)計(jì)構(gòu)造。

4）楔形掛籃主桁內(nèi)力值與豎桿和上弦桿的長(zhǎng)度比、豎桿和上弦桿的夾角值呈非線性變化關(guān)系；主桁內(nèi)力值的非線性變化關(guān)系較不明顯時(shí)，相對(duì)應(yīng)的豎桿和上弦桿的長(zhǎng)度比、豎桿和上弦桿的夾角值區(qū)間范圍較優(yōu)且為合理的設(shè)計(jì)構(gòu)造。

5）構(gòu)建菱形或楔形掛籃主桁內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)，擬定內(nèi)力評(píng)價(jià)函數(shù)的目標(biāo)值并求解評(píng)價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解，根據(jù)工程實(shí)際需要，可選取合理且最優(yōu)的設(shè)計(jì)構(gòu)造，實(shí)現(xiàn)受力、構(gòu)造雙優(yōu)化。