豐寅帥，彭 飛，王 中，孟慶旭

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著船舶制造行業(yè)的不斷發(fā)展，船舶制造所能達(dá)到的精度越來(lái)越高，對(duì)船舶制造過(guò)程中所能達(dá)到的測(cè)量精度提出了更高的要求，而傳統(tǒng)的以捶球和標(biāo)尺為主的接觸式測(cè)量方法已經(jīng)逐漸難以滿足當(dāng)前船舶制造行業(yè)的精度需求，因此，以全站儀為主的非接觸式高精度測(cè)量方法已經(jīng)在造船現(xiàn)場(chǎng)得到了廣泛應(yīng)用。在目前船舶建造現(xiàn)場(chǎng)的測(cè)量作業(yè)中，由于船體分段尺寸較大，測(cè)量條件復(fù)雜[1]，在某一固定站位下無(wú)法完整獲取整個(gè)船體分段的尺寸和形狀數(shù)據(jù)[2]，以往常見(jiàn)的方法是利用全站儀進(jìn)行多級(jí)轉(zhuǎn)站的形式，通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)移測(cè)量站位來(lái)獲取船體分段多個(gè)角度的測(cè)量數(shù)據(jù)，但這種方法速度較慢，并且轉(zhuǎn)站過(guò)程本身是帶有無(wú)法消除的系統(tǒng)誤差，會(huì)造成測(cè)量精度下降等問(wèn)題。因此，為了減少轉(zhuǎn)站次數(shù)，實(shí)現(xiàn)船體分段測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)一管理，就需要在船臺(tái)區(qū)域內(nèi)構(gòu)建能夠覆蓋全域的具有統(tǒng)一基準(zhǔn)的船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)[3]。

圖1 船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)示意圖Fig. 1 Slipway measurement field

如圖1所示，船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)是以多級(jí)轉(zhuǎn)站測(cè)量為基礎(chǔ)，在船臺(tái)區(qū)域內(nèi)布置相當(dāng)數(shù)量的公共點(diǎn)，通過(guò)多次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將不同站位下所測(cè)得的公共點(diǎn)坐標(biāo)統(tǒng)一到一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系下。目前，常見(jiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法主要有奇異值分解法[4]、四元數(shù)法[5]和正交矩陣法[6]，由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法本身就帶有一定的誤差，且在不同站位所測(cè)得的公共點(diǎn)數(shù)量可能不同，因此，在將公共點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至基準(zhǔn)坐標(biāo)系時(shí)會(huì)引入一定的參數(shù)誤差，同時(shí)，受限于全站儀等測(cè)量設(shè)備的加工精度，在某一站位下對(duì)公共點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量時(shí)也會(huì)引入一定的測(cè)量誤差，進(jìn)一步加大了船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)的整體誤差。為了解決此類問(wèn)題，就需要對(duì)船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)進(jìn)行標(biāo)定，目前常見(jiàn)的方法是基于最小二乘原理[7-9]，對(duì)轉(zhuǎn)站測(cè)量得到的公共點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行平差計(jì)算，從而得到滿足誤差最小時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)采用平差計(jì)算方法進(jìn)行了大量的研究，Schaffrin[10-12]利用拉格朗日函數(shù)構(gòu)建了平差模型，并進(jìn)一步推到得到了加權(quán)整體最小二平差算法；Calikins[13]和Meid[14]則是通過(guò)對(duì)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的不確定度進(jìn)行研究，給出了一種基于光束平差法的誤差處理方法；何榮基基于間接平差原理，給出了自由設(shè)站測(cè)量時(shí)含約束條件的平差模型。但上述研究大多是針對(duì)單次測(cè)量或單級(jí)轉(zhuǎn)站所開(kāi)展的，而對(duì)于船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)構(gòu)建時(shí)的多級(jí)轉(zhuǎn)站過(guò)程，相關(guān)的研究還相對(duì)較少。

為了對(duì)利用多級(jí)轉(zhuǎn)站方法構(gòu)建船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)時(shí)公共點(diǎn)的最優(yōu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行求解，本文采用一種基于最小二乘原理和公共點(diǎn)經(jīng)過(guò)多級(jí)轉(zhuǎn)站后返回原站位坐標(biāo)不變?cè)瓌t的聯(lián)合平差算法，并通過(guò)構(gòu)建拉格朗日函數(shù)得到平差值的求解方法，實(shí)現(xiàn)了船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)公共點(diǎn)位置誤差的最小化處理。通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)，對(duì)此方法的有效性和精度進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 誤差方程及其求解方法

1.1 誤差方程

根據(jù)誤差理論和測(cè)量平差原理[15-16]，在利用多級(jí)轉(zhuǎn)站方法構(gòu)建船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)時(shí)，公共點(diǎn)的殘余誤差方程可以寫(xiě)為：

在轉(zhuǎn)站測(cè)量中，V為轉(zhuǎn)站后公共點(diǎn)坐標(biāo)的誤差矩陣；A為 誤差方程的系數(shù)矩陣；為轉(zhuǎn)站參數(shù)誤差矩陣；L為公共點(diǎn)的經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)站后的坐標(biāo)和測(cè)量坐標(biāo)的偏差。

當(dāng)轉(zhuǎn)站測(cè)量時(shí)公共點(diǎn)誤差最小時(shí)，V取最小值，同時(shí)，滿足最小值，式中，為公共點(diǎn)坐標(biāo)的權(quán)值矩陣。

1.2 誤差方程的求解方法

由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可知，在公共點(diǎn)由第j站轉(zhuǎn)至第j+1站時(shí)，有

式中：j和j+1分別公共點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)在第j站和第j+1站測(cè)量得到；kj，Rj和Tj分別代表公共點(diǎn)坐標(biāo)從第j站轉(zhuǎn)至第j+1站時(shí)的尺度參數(shù)、角度參數(shù)和距離參數(shù)。其中，公共點(diǎn)在轉(zhuǎn)站前后相對(duì)位置不變，故kj取值為1，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理和歐拉角理論，角度參數(shù)可表示為Rj=RXj·RYj·RZj，對(duì)應(yīng)角度分別為 αj，βj， γj，距離參數(shù)可表示為：

在船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)中，對(duì)于某一個(gè)公共點(diǎn)在j+1站的坐標(biāo)，其位置誤差可以表示為其真實(shí)坐標(biāo)和測(cè)量值的差值，即

對(duì)式（4）作泰勒展開(kāi)，并與式（1）聯(lián)立，可以得到：

式中，為第i個(gè)公共點(diǎn)在第j站的測(cè)量坐標(biāo)初值，分別為第i個(gè)公共點(diǎn)從第j站轉(zhuǎn)至第j+1站的平移參數(shù)，分別代表第i個(gè)公共點(diǎn)在第j+1站的真實(shí)坐標(biāo)初值。

2 約束條件方程及其求解方法

2.1 約束條件方程

在轉(zhuǎn)站過(guò)程中，同時(shí)滿足公共點(diǎn)在第1站的坐標(biāo)在經(jīng)過(guò)多次轉(zhuǎn)站后，當(dāng)其轉(zhuǎn)回第1站時(shí)，坐標(biāo)不變，即

若式（7）成立，則有

式（8）和式（9）即為約束條件方程。

2.2 約束條件方程的求解方法

在平差計(jì)算時(shí)，可將約束條件方程寫(xiě)成如下形式：

對(duì)式（10）作泰勒展開(kāi)，可得：

令

則式（12）可寫(xiě)成如下形式：

文獻(xiàn)[17]對(duì)式（13）的線性化處理方法進(jìn)行了詳細(xì)闡述，并得到了對(duì)應(yīng)參數(shù)的具體表達(dá)形式。

3 平差值的求解方法

根據(jù)約束條件方程構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：

的參數(shù)矩陣。

求偏導(dǎo)，設(shè)此時(shí) Φ的偏導(dǎo)數(shù)為零，則 Φ有極小值，即此時(shí)誤差最小，則

經(jīng)整理，可得：

將式（1）代入，可得：

令

則式（18）可以寫(xiě)成

令

則式（20）可寫(xiě)成

則有

將式（23）代入式（18），可得：

同時(shí)，未加約束條件的平差值經(jīng)整理，可以表示為：

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本次實(shí)驗(yàn)在船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)的基礎(chǔ)上，對(duì)確定公共點(diǎn)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中位置的轉(zhuǎn)站測(cè)量過(guò)程進(jìn)行了模擬，對(duì)利用聯(lián)合平差算法對(duì)所測(cè)得的公共點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并通過(guò)與未進(jìn)行聯(lián)合平差的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)基于聯(lián)合平差的船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)標(biāo)定方法進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

1）在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地內(nèi)的不同位置共布設(shè)22個(gè)公共點(diǎn)，在第1測(cè)量站位架設(shè)全站儀，為了對(duì)船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)的實(shí)際情況進(jìn)行模擬，各站位所測(cè)得的公共點(diǎn)數(shù)量均不相同，每個(gè)公共點(diǎn)測(cè)量10次。

2）將全站儀轉(zhuǎn)移至下一站位，重復(fù)過(guò)程1，直至測(cè)完6站，并對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在本次實(shí)驗(yàn)中，采用每一測(cè)站下每個(gè)公共點(diǎn)10次測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值作為當(dāng)前站位的測(cè)量坐標(biāo)，同時(shí)，將相鄰的兩站兩兩組合，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法對(duì)角度參數(shù)R和距離參數(shù)T進(jìn)行計(jì)算，共得到6組數(shù)據(jù)。

利用聯(lián)合平差算法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其中，平差初值為通過(guò)計(jì)算得到的6組坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，約束條件方程根據(jù)公共點(diǎn)在第1站的坐標(biāo)進(jìn)行一輪坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后返回第1站時(shí)與原坐標(biāo)的差值最小列出，并設(shè)置迭代計(jì)算時(shí)角度閾值為1″，距離閾值為0.1mm。最后，將經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差處理得到的中誤差和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)與未經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差處理的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

表1為在經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差計(jì)算前后，所用站位所測(cè)得的公共點(diǎn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換統(tǒng)一至第1站的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。表2和表3分別表示不同轉(zhuǎn)站過(guò)程的測(cè)量數(shù)據(jù)，在經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差計(jì)算前后坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差的對(duì)比。從表中數(shù)據(jù)可以看出，公共點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差計(jì)算后，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差整體小于聯(lián)合平差計(jì)算前的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差。還可以看出，在進(jìn)行聯(lián)合平差前后，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差的差值較小，這是因?yàn)樵诒敬螌?shí)驗(yàn)中，每一站為所測(cè)的公共點(diǎn)數(shù)量較多，并且每個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)值均是10次重復(fù)測(cè)量取平均得到，公

表1 聯(lián)合平差前后的公共點(diǎn)坐標(biāo)Tab. 1 Coordinates of common points before and after joint adjustment

表2 未經(jīng)聯(lián)合平差的轉(zhuǎn)站參數(shù)誤差Tab. 2 Transformation parameter errors without joint adjustment

表3 聯(lián)合平差后的轉(zhuǎn)站參數(shù)誤差Tab. 3 Transformation parameter errors after joint adjustment

共點(diǎn)測(cè)量坐標(biāo)本身所帶有的測(cè)量誤差較小，因此，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)誤差較小，其差值也較小。表4為在經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差前后，第6站的公共點(diǎn)坐標(biāo)在經(jīng)過(guò)一輪坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，返回至第6站時(shí)的坐標(biāo)與原坐標(biāo)的差值，由表中數(shù)據(jù)可以看出，在經(jīng)過(guò)聯(lián)合平差之后，第6站公共的坐標(biāo)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換返回至第6站后與原坐標(biāo)的差值更小，進(jìn)一步說(shuō)明了利用聯(lián)合平差算法對(duì)公共點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行處理可以有效提升船臺(tái)測(cè)量的整體精度。

表4 聯(lián)合平差前后第6站的坐標(biāo)差Tab. 4 Coordinate difference of 6th station before and after joint adjustment

5 結(jié) 語(yǔ)

在利用多級(jí)轉(zhuǎn)站的測(cè)量方法構(gòu)建船測(cè)量場(chǎng)的過(guò)程中，由于公共點(diǎn)測(cè)量誤差和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法誤差的存在，會(huì)導(dǎo)致不同站位所測(cè)得的公共點(diǎn)坐標(biāo)統(tǒng)一至基準(zhǔn)坐標(biāo)系后與其真實(shí)空間位置產(chǎn)生一定的偏差，從而影響船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)的精度。本文采用聯(lián)合平差算法實(shí)現(xiàn)了多級(jí)轉(zhuǎn)站時(shí)最優(yōu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，該方法基于最小二乘原理和誤差最小原則，給出了船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)公共點(diǎn)經(jīng)過(guò)多級(jí)轉(zhuǎn)站測(cè)量的誤差方程及其求解方法，并根據(jù)公共點(diǎn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換返回原站位坐標(biāo)不變的原則，給出了對(duì)應(yīng)的約束條件方程及其求解方法。最后，根據(jù)拉格朗日函數(shù)，得到了平差值的求解方法。實(shí)驗(yàn)證明，本文所提出的船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)聯(lián)合平差標(biāo)定算法有效減少了船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)的誤差，提高了利用船臺(tái)測(cè)量場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量作業(yè)的精度。