周 晟

(武警士官學(xué)校基層后勤管理系被裝教研室，杭州 310000)

0 引言

工業(yè)化生產(chǎn)的日益精進(jìn)使得機(jī)械臂在日常生產(chǎn)、生活中的使用越來(lái)越寬泛，合理優(yōu)化機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡利于提高機(jī)械臂整體工作效率，降低運(yùn)行過(guò)程中的振動(dòng)沖擊，保障運(yùn)行的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

文獻(xiàn)[1]選取線性插值法優(yōu)化四足機(jī)器人路徑空間，抽取關(guān)節(jié)特征數(shù)據(jù)后，采用粒子群智能優(yōu)化算法進(jìn)行自適應(yīng)性優(yōu)化設(shè)計(jì)，提升全局路徑運(yùn)行空間的軌跡平穩(wěn)性[1]。文獻(xiàn)[2]立足于控制準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，合理設(shè)置插補(bǔ)算法提升末端執(zhí)行器軌跡運(yùn)行平穩(wěn)性，降低末端執(zhí)行器實(shí)際運(yùn)行軌跡與理論運(yùn)行軌跡的偏差數(shù)值，提升控制準(zhǔn)確率[2]。文獻(xiàn)[3]構(gòu)建七自由度冗余機(jī)械臂虛擬樣機(jī)模型，以機(jī)械臂運(yùn)行過(guò)程中振動(dòng)沖擊最低，運(yùn)行速度最高，消耗能源最少為目標(biāo)，選取異類粒子群算法完成優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲取單目標(biāo)優(yōu)化和綜合優(yōu)化結(jié)果[3]。

文中在量子遺傳算法基礎(chǔ)上，引入多算子協(xié)同變異機(jī)制，逐漸增加個(gè)體的變異概率促使算法跳出局部最優(yōu)解。設(shè)定自適應(yīng)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制，保障量子旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)角θi實(shí)時(shí)更新迭代，確保算法優(yōu)化全程階段具有良好的種群多樣性，提高算法搜索全局最優(yōu)解的穩(wěn)定性。文中借助MATLAB工具箱，以串聯(lián)機(jī)械臂為對(duì)象，獲取光滑平順的關(guān)節(jié)角位移、角速度、角加速度，驗(yàn)證改進(jìn)量子遺傳算法軌跡優(yōu)化的有效性和可靠性。

1 機(jī)械臂軌跡規(guī)劃

1.1 模型構(gòu)建

文中選取串聯(lián)機(jī)械臂為優(yōu)化對(duì)象，合理設(shè)置相關(guān)參數(shù)，以運(yùn)動(dòng)學(xué)理論為基礎(chǔ)繪制D-H參數(shù)，如表1所示[4-5]。

表1 D-H參數(shù)表

其中，αi表示連桿扭曲；ai表示連桿長(zhǎng)度；di表示連桿偏置；θi表示關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。

借助MATLAB工具箱，編寫(xiě)串聯(lián)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃平臺(tái)，其控制界面如圖1所示。

圖1 串聯(lián)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃平臺(tái)

依據(jù)串聯(lián)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃平臺(tái)，驗(yàn)證正、逆解求解的正確性，保障軌跡規(guī)劃的合理性有效推動(dòng)末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1.2 多項(xiàng)式插值

任意曲線段節(jié)點(diǎn)之間可運(yùn)用五次多項(xiàng)式樣條插值函數(shù)擬合構(gòu)造，對(duì)構(gòu)造函數(shù)求解一階、二階導(dǎo)函數(shù)可獲取末端執(zhí)行器關(guān)于時(shí)間t的速度、加速度表達(dá)式如式(1)所示。

(1)

式中，與起始時(shí)間點(diǎn)和終止時(shí)間點(diǎn)t0、tf對(duì)應(yīng)的角位移θ0、θf(wàn)為已知，且滿足條件如式(2)所示。

(2)

依據(jù)式(3)合理設(shè)置軌跡運(yùn)行初始點(diǎn)、終止點(diǎn)的速度、加速度。

(3)

已知每個(gè)點(diǎn)的角位移值，設(shè)定其角速度和角加速度為0，由兩點(diǎn)可獲取6個(gè)已知條件，借助式(1)可求解所需未知系數(shù)。

機(jī)械臂連桿模型在滿足無(wú)碰撞條件下，運(yùn)用五次多項(xiàng)式插值方法結(jié)合MATLAB模擬平臺(tái)，構(gòu)建機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡如圖2所示：

圖2 機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)行軌跡

1.3 目標(biāo)函數(shù)

機(jī)械臂末端執(zhí)行器在滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束、動(dòng)力學(xué)約束和負(fù)載約束件下，以工作時(shí)間最優(yōu)化為目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)與約束條件束設(shè)計(jì)如下：

(4)

式中，tij為第i個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)行軌跡的第1、2、3段的運(yùn)行時(shí)間；h(t)為第i個(gè)關(guān)節(jié)完成運(yùn)行軌跡總時(shí)間；j=1,2,3。

(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

(2)動(dòng)力學(xué)約束

假定機(jī)械臂未發(fā)生碰撞，則τf=0

負(fù)載約束：Fgmin≤Fk≤Fgmaxk=1,2

式中，F(xiàn)k為末端執(zhí)行器夾持力；Fgmin為最小夾持力；Fgmax為最大夾持力；

2 算法原理及步驟

2.1 原始算法

在算法優(yōu)化時(shí)，引入量子位和量子疊加這兩個(gè)概念后，構(gòu)造出量子遺傳算法。量子位為量子計(jì)算表達(dá)式中最小的信息計(jì)算單位。一個(gè)量子位具有三種狀態(tài)表示方式，如式(5)所示[6]。

|φ>=α|0>+β|1>

(5)

式中：α，β表示相應(yīng)狀態(tài)出現(xiàn)概率幅值的2個(gè)復(fù)數(shù)。

每個(gè)長(zhǎng)度為m個(gè)量子位的q染色體表示如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

由此一個(gè)完整的染色體可以表示為：

Xq=[UqTqNq]

(10)

2.2 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制

量子旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)角θi，其大小和方向取決于選定的調(diào)整策略，θi過(guò)大，則染色體更新幅度增加，易導(dǎo)致未出現(xiàn)全局尋優(yōu)即收斂。θi過(guò)小，則染色體更新幅度減小，易導(dǎo)致局部尋優(yōu)[7-8]。

文中引入自適應(yīng)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制，算法優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，面對(duì)多樣化的適應(yīng)度值，能夠及時(shí)調(diào)整個(gè)體進(jìn)化所需的旋轉(zhuǎn)角Δθ，確保及時(shí)跳出局部最優(yōu)，并在全局階段具有良好的尋優(yōu)性能。旋轉(zhuǎn)角查找表如表2所示。

表2 自適應(yīng)量子遺傳算法旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)查找表

(11)

當(dāng)前種群中，第j個(gè)個(gè)體的第i位的進(jìn)化旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)方向可由式(12)計(jì)算：

(12)

2.3 多算子協(xié)同變異機(jī)制

算法優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，合理參考多個(gè)評(píng)價(jià)算子的求解結(jié)果，協(xié)同確定迭代計(jì)算時(shí)的變異概率，利于提高后期優(yōu)化時(shí)種群多樣性和搜索全局最優(yōu)解的穩(wěn)定性。因此，文中引入多算子協(xié)同變異機(jī)制，即設(shè)定個(gè)體相似度評(píng)價(jià)算子、個(gè)體適應(yīng)度評(píng)價(jià)算子和種群變異調(diào)整算子。

個(gè)體相似度評(píng)價(jià)算子xsim用以評(píng)價(jià)當(dāng)前種群內(nèi)個(gè)體差異情況，其定義如式(13)所示：

(13)

式中,dmax和dmin分別表示當(dāng)前種群中與最優(yōu)個(gè)體之間漢明距離最大和最小的個(gè)體，davg表示當(dāng)前種群所有個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體之間漢明距離的均值。

(14)

式中,fmax和fmin分別表示當(dāng)前種群中最優(yōu)適應(yīng)度值和最差適應(yīng)度值，fi表示當(dāng)前種群中第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值。

種群變異調(diào)整算子Facc(n)如式(15)所示，為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)n的表達(dá)式，算子逐步提升個(gè)體變異概率，推動(dòng)算法優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)能夠跳出局部最優(yōu)解，避免陷入早熟。

Facc(n)=

(15)

式中，n表示當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，s表示算法定義的最大進(jìn)化代數(shù)，常數(shù)T表示算法迭代過(guò)程中，種群最優(yōu)解連續(xù)不發(fā)生變化的迭代次數(shù)，C(0

當(dāng)種群中的最優(yōu)適應(yīng)度值連續(xù)T代未發(fā)生變化并且未達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)s的時(shí)候，則在T+1代的時(shí)候，F(xiàn)acc(n)會(huì)在第T代的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變異概率值，增加的值由s、n和C確定。

此外，在算法的執(zhí)行過(guò)程中可以通過(guò)設(shè)定閥值使Facc(n)趨于固定值。

2.4 改進(jìn)量子遺傳算法流程

改進(jìn)量子遺傳算法流程如圖3所示，具體步驟如下：

(2)對(duì)Q(t0)初始種群中的每個(gè)個(gè)體都執(zhí)行一次測(cè)量，得到一個(gè)P(t0)狀態(tài)；

(3)求解計(jì)算不同狀態(tài)下的函數(shù)適應(yīng)度值；

(4)依據(jù)自適應(yīng)的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制更新量子旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)角θi；

(5)判斷是否滿足結(jié)束條件，若滿足，則進(jìn)入步驟(6)，否則，迭代次數(shù)t=t+1繼續(xù)步驟(8)；

(6)記錄最優(yōu)個(gè)體，輸出最佳適應(yīng)度值；

(7)輸出最優(yōu)解，算法流程結(jié)束；

(8)在量子交叉中，以輪盤(pán)賭方式揀選個(gè)體。

圖3 改進(jìn)量子遺傳算法流程圖

3 函數(shù)驗(yàn)證

選取三種具有不同特征的典型基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行分析，驗(yàn)證改進(jìn)量子遺傳算法的優(yōu)化性能[9-10]。

(1)Sphere model函數(shù)：

(16)

式中，-100≤xi≤100；min(f)=f(0,0,…，0)=0。

圖4 Sphere model函數(shù)圖像

(2)Generalized rosenbrock函數(shù)

(17)

式中，-30≤xi≤30；min(f)=f(1,1,…，1)=0。

圖5 Generalized rosenbrock函數(shù)圖像

(3)Geneealized rastrigin函數(shù)

(18)

式中,-5.12≤xi≤5.12；min(f)=f(0,0,…，0)=0。

圖6 Geneealized rastrigin函數(shù)圖像

合理設(shè)置初始參數(shù)，依據(jù)上述基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真測(cè)試，結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 Sphere model函數(shù)收斂曲線

圖8 Generalized rosenbrock函數(shù)收斂曲線

圖9 Geneealized rastrigin函數(shù)收斂曲線

圖7～圖9為基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)在在不同優(yōu)化算法下的收斂曲線，對(duì)比可知，改進(jìn)量子遺傳算法使得基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)更加迅速趨于收斂，計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定效率更高。結(jié)果表明量子遺傳算法引入多算子協(xié)同變異機(jī)制和自適應(yīng)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制后，提高了全局搜索能力，能夠在較短時(shí)間內(nèi)跳出局部最優(yōu)。獲取最優(yōu)解所需進(jìn)化代數(shù)較少，縮短收斂周期，優(yōu)化求解結(jié)果提升解的質(zhì)量，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

4 優(yōu)化結(jié)果

文中以串聯(lián)機(jī)械臂為驗(yàn)證對(duì)象，設(shè)置改進(jìn)量子遺傳算法初始參數(shù)后，對(duì)機(jī)械臂運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，算法優(yōu)化時(shí)函數(shù)適應(yīng)度曲線如圖10所示，所得機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角位移、角速度、角加速度變化曲線如圖11所示。

圖10 函數(shù)適應(yīng)度曲線

(a) 關(guān)節(jié)1變化曲線(b) 關(guān)節(jié)2變化曲線

(c) 關(guān)節(jié)4變化曲線(d) 關(guān)節(jié)5變化曲線

(e) 關(guān)節(jié)6變化曲線

由上圖可知，在滿足各約束條件的前提下，通過(guò)改進(jìn)量子遺傳算法以軌跡運(yùn)行時(shí)間為目標(biāo)，將初始運(yùn)行時(shí)間2 s優(yōu)化為1.956 s，且優(yōu)化后各關(guān)節(jié)角位移、角速度和角加速度變化曲線平滑、穩(wěn)定、連續(xù)，無(wú)突變現(xiàn)象產(chǎn)生。通過(guò)改進(jìn)量子遺傳算法有效縮短機(jī)械臂末端執(zhí)行器軌跡運(yùn)行時(shí)間的同時(shí)，保證運(yùn)動(dòng)過(guò)程沒(méi)有很大的振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的平穩(wěn)運(yùn)行。

5 結(jié)論

本文以六自由度機(jī)械臂仿真模型為例，借助MATLAB工具結(jié)合五次多項(xiàng)式樣條插值函數(shù)，構(gòu)造機(jī)械臂末端執(zhí)行器軌跡運(yùn)行三維圖。提出一種改進(jìn)量子遺傳算法，以軌跡運(yùn)行時(shí)間為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，將運(yùn)行時(shí)間2 s優(yōu)化為1.956 s，最終得到結(jié)論如下：

(1)文中面向優(yōu)化過(guò)程中不同個(gè)體的適應(yīng)度值，選用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長(zhǎng)調(diào)整機(jī)制，實(shí)時(shí)更新子旋轉(zhuǎn)門(mén)旋轉(zhuǎn)角θi，保障全局設(shè)計(jì)時(shí)具有良好的搜索性能。

(2)文中設(shè)定多個(gè)評(píng)價(jià)算子協(xié)同確定種群中不同個(gè)體的變異概率，增加了算法進(jìn)化后期的種群多樣性，提高算法搜索全局最優(yōu)解的穩(wěn)定性。

(3)文中以軌跡運(yùn)行時(shí)間為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，將運(yùn)行時(shí)間2 s優(yōu)化為1.956 s，驗(yàn)證算法優(yōu)化性能同時(shí)，提高串聯(lián)機(jī)械臂的整體工作效率，為后續(xù)研究與分析奠定理論基礎(chǔ)。