□ 趙 達(dá) □ 劉福軍 □ 虞夢(mèng)茜 □ 胡德金 □ 許黎明

上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 上海 200240

1 研究背景

曲線磨削是一種精密加工方式,可加工復(fù)雜輪廓曲線,加工精度高,表面質(zhì)量好。輪廓曲線的實(shí)現(xiàn)方式為通過(guò)圓弧截面砂輪點(diǎn)磨削,形成待加工曲線的包絡(luò)線。加工面是以直導(dǎo)線、曲線組合為加工母線的輪廓曲面[1-2]。曲線磨削原理如圖1所示。

▲圖1 曲線磨削原理

曲線磨削時(shí),砂輪架往復(fù)運(yùn)動(dòng),稱為沖程運(yùn)動(dòng),完成直導(dǎo)線方向上材料的去除。較高的沖程運(yùn)動(dòng)頻率可以實(shí)現(xiàn)較高的曲線成形精度,并提高加工效率。與此同時(shí),沖程運(yùn)動(dòng)成為曲線磨削中主要的振動(dòng)激勵(lì)源,會(huì)對(duì)機(jī)床產(chǎn)生沖擊,進(jìn)而影響加工精度、表面質(zhì)量、穩(wěn)定性等。傳統(tǒng)的曲線磨削沖程運(yùn)動(dòng)由曲柄滑塊機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn),沖程運(yùn)動(dòng)軌跡由機(jī)構(gòu)決定,無(wú)法更改,更無(wú)法實(shí)現(xiàn)勻速加工。采用伺服驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)砂輪沖程運(yùn)動(dòng),結(jié)合現(xiàn)代運(yùn)動(dòng)控制技術(shù),可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)劃,為滿足新的性能需求奠定了基礎(chǔ)。

針對(duì)曲線磨削中的沖程運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題,筆者首先討論了速度規(guī)劃的設(shè)計(jì)思想,然后對(duì)傳統(tǒng)速度規(guī)劃進(jìn)行了分析,進(jìn)而提出基于連續(xù)急動(dòng)度的速度規(guī)劃曲線,并基于沖程運(yùn)動(dòng)的循環(huán)特性提出進(jìn)一步的改進(jìn)方法,最后進(jìn)行了不同規(guī)劃的理論與試驗(yàn)對(duì)比。

2 速度規(guī)劃設(shè)計(jì)思想

機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)常用的加減速控制方法有梯形加減速、指數(shù)加減速、S形加減速[3-6]。梯形加減速分為加速、勻速、減速三個(gè)階段,速度曲線為梯形。指數(shù)加減速分為指數(shù)衰減加速、勻速、指數(shù)衰減減速三個(gè)階段,克服了梯形加減速的不平穩(wěn)問(wèn)題,但是初始加速度較大,容易引起沖擊。S形加減速一般分為七段,包括加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段、加減速段、勻減速段、減減速段,速度曲線為S形,加速度曲線呈梯形。這幾種方法的急動(dòng)度,即加加速度存在突變,使系統(tǒng)受到?jīng)_擊而產(chǎn)生振動(dòng)。急動(dòng)度是描述加速度變化快慢的物理量,在加工過(guò)程中是一個(gè)重要的影響因素,如刀具加速度的快速變化會(huì)導(dǎo)致刀具過(guò)早磨損,使刀具切削不均勻等。

沖程運(yùn)動(dòng)中有兩個(gè)宏觀參數(shù)——行程與頻率,保持相同的行程和頻率,就能比較不同速度規(guī)劃的性能。性能主要指最大加速度、最大急動(dòng)度。最大加速度衡量速度規(guī)劃對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、電機(jī)驅(qū)動(dòng)能力的影響,最大急動(dòng)度衡量速度規(guī)劃對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

對(duì)于磨削沖程運(yùn)動(dòng)中的速度規(guī)劃,還需要考慮加工段的速度特性,即切削行程的速度變化規(guī)律及急動(dòng)度大小。加工段是否勻速與表面加工質(zhì)量關(guān)系密切,但部分適合沖程運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)劃若要實(shí)現(xiàn)勻速加工,則會(huì)導(dǎo)致急動(dòng)度劇烈變化。

綜合以上分析,在速度規(guī)劃的過(guò)程中主要考慮急動(dòng)度的連續(xù)性、最大加速度、最大急動(dòng)度、加工段的急動(dòng)度大小。為了衡量不同規(guī)劃間的性能差別,在設(shè)計(jì)、仿真不同速度規(guī)劃時(shí),保持行程與沖程頻率相同,筆者研究方案中行程取30 mm,沖程頻率為75次/min。

3 速度規(guī)劃算法

3.1 傳統(tǒng)速度規(guī)劃

(1) 梯形速度規(guī)劃。作為一種經(jīng)典速度規(guī)劃,梯形速度規(guī)劃的速度和加速度曲線如圖2所示。梯形速度規(guī)劃中,在啟動(dòng)、停止、勻速前后節(jié)點(diǎn)均有加速度突變,如不考慮機(jī)械系統(tǒng)彈性,急動(dòng)度在理論上為無(wú)窮大,會(huì)產(chǎn)生沖擊干擾,易引發(fā)磨削過(guò)程不穩(wěn)定等現(xiàn)象。

▲圖2 梯形速度規(guī)劃曲線

(2) 基于曲柄滑塊運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)劃。傳統(tǒng)曲線磨床的沖程運(yùn)動(dòng)由曲柄滑塊機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn),設(shè)曲柄長(zhǎng)為r,連桿長(zhǎng)為l,角速度為ω,得到隨時(shí)間t變化的運(yùn)動(dòng)位移函數(shù)s(t)為:

(1)

對(duì)s(t)求導(dǎo),可以得到速度v、加速度a、急動(dòng)度j函數(shù)。曲柄滑塊機(jī)構(gòu)速度規(guī)劃曲線如圖3所示。

▲圖3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)速度規(guī)劃曲線

由圖3可以看出,曲柄滑塊機(jī)構(gòu)速度規(guī)劃曲線相對(duì)梯形速度規(guī)劃曲線更為平滑,急動(dòng)度有限且連續(xù)可導(dǎo),但受結(jié)構(gòu)所限,運(yùn)動(dòng)形式固定,在加工段處的急動(dòng)度最大。

3.2 基于連續(xù)急動(dòng)度的速度規(guī)劃

實(shí)現(xiàn)連續(xù)急動(dòng)度的主要方法有:① 提升速度多項(xiàng)式的階數(shù)[7];② 采用無(wú)限可導(dǎo)函數(shù),如正弦函數(shù)等,作為速度函數(shù)基底。筆者采用正弦函數(shù)疊加梯形速度規(guī)劃的方式,設(shè)計(jì)了基于連續(xù)急動(dòng)度的速度規(guī)劃曲線,然后通過(guò)運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行優(yōu)化。

(1) 正弦函數(shù)疊加梯形速度規(guī)劃。由于梯形速度規(guī)劃中的加速度呈階躍變化,而三角函數(shù)一個(gè)周期的積分為0,因此可使加速過(guò)程中的加速度以梯形速度規(guī)劃中的加速度為基準(zhǔn)做一個(gè)周期的正弦波動(dòng),正弦分量積分后為0,不影響原本達(dá)到的勻速過(guò)程,且一個(gè)周期中急動(dòng)度的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)都為0,實(shí)現(xiàn)了連續(xù)急動(dòng)度。根據(jù)上述分析,正弦函數(shù)疊加梯形速度規(guī)劃的加速度方程為正弦函數(shù)加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。

速度函數(shù)v(t)為:

(2)

加速度函數(shù)a(t)為:

(3)

急動(dòng)度函數(shù)j(t)為:

(4)

式中:a1、a2分別為加減速過(guò)程中的平均加速度與平均減速度;t1、t2分別為加速時(shí)間與減速時(shí)間;T為單向行程所需時(shí)間。

正弦函數(shù)疊加梯形速度規(guī)劃稱Ⅰ型疊加規(guī)劃,設(shè)計(jì)思路為通過(guò)正弦曲線疊加梯形速度規(guī)劃曲線來(lái)抵消梯形速度規(guī)劃中加速度與急動(dòng)度的突變。Ⅰ型疊加規(guī)劃曲線如圖4所示。由圖4可以看出,急動(dòng)度連續(xù),整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程也較為平滑,不存在無(wú)限大急動(dòng)度,可以實(shí)現(xiàn)加工段的勻速運(yùn)動(dòng),由于起始、終止加速度均為0,因此適合在單次沖程運(yùn)動(dòng)時(shí)使用。

▲圖4 Ⅰ型疊加規(guī)劃曲線

(2) 行程端點(diǎn)以最大加速度過(guò)渡的速度規(guī)劃。研究發(fā)現(xiàn),曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的最大急動(dòng)度相對(duì)更小,主要是由于在整個(gè)行程的端點(diǎn)處存在加速度,而傳統(tǒng)速度規(guī)劃在起止點(diǎn)的加速度為0。這類似數(shù)控系統(tǒng)中的速度前瞻處理[8-10]。傳統(tǒng)進(jìn)給速度的規(guī)劃將加工路徑分為多段,每一段的路徑起末速度為0,會(huì)導(dǎo)致電機(jī)加減速頻繁,影響加工表面質(zhì)量,速度前瞻處理通過(guò)提前計(jì)算下一段路徑,以一個(gè)非0的速度過(guò)渡。借鑒速度前瞻處理思路,筆者提出一種適用于沖程運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)劃算法,行程端點(diǎn)處加速度不為0。

對(duì)于這類速度規(guī)劃,筆者設(shè)計(jì)了端點(diǎn)加速度最大的正弦函數(shù)與梯形速度規(guī)劃疊加速度規(guī)劃,稱為Ⅱ型疊加規(guī)劃,行程中點(diǎn)急動(dòng)度為0,可插入勻速加工段。同時(shí)設(shè)計(jì)了正弦函數(shù)速度規(guī)劃,追求急動(dòng)度最小,但在加工段附近的急動(dòng)度會(huì)比較大。

對(duì)Ⅱ型疊加規(guī)劃進(jìn)行設(shè)計(jì),由于行程端點(diǎn)可有加速度過(guò)渡,因此將端點(diǎn)設(shè)為加速度極大點(diǎn)。因?yàn)槿绻它c(diǎn)不是加速度極大點(diǎn),那么在端點(diǎn)的前后存在加速度減小、增大的過(guò)程,這樣將是低效、無(wú)意義的。由此,單個(gè)行程的過(guò)程包括減加速段、勻速段、加減速段,減加速段與加減速段對(duì)稱。

先考慮減加速段(t

j(t)=-jmaxsin(πt/tm)

(5)

式中:jmax為急動(dòng)度最大值;tm為減加速段與加減速段的時(shí)間。

對(duì)式(5)進(jìn)行積分,得到加速度函數(shù)a(t)。結(jié)合a(t)在t=0處為最大值,在t=tm處為0,可以得到加速度函數(shù)a(t)為:

(6)

對(duì)a(t)進(jìn)行積分,得到速度函數(shù)v(t)為:

(7)

對(duì)v(t)進(jìn)行積分,得到位移函數(shù)s(t)為:

(8)

對(duì)于Ⅱ型疊加規(guī)劃,待定參數(shù)有兩個(gè)——jmax與tm,因此需要兩個(gè)條件以確定整個(gè)系統(tǒng)的規(guī)劃。在速度規(guī)劃中已含有一個(gè)條件,即行程是固定的,所以只需要另一個(gè)條件即可確定唯一的速度規(guī)劃。

對(duì)于所需的第二個(gè)約束條件,分兩種情況:① 不需要?jiǎng)蛩偌庸ざ蔚乃俣纫?guī)劃,那么減加速段結(jié)束后立即減速,由對(duì)稱性可知,t=tm時(shí)行程為1/2,根據(jù)行程和時(shí)間可求得jmax,得到整個(gè)速度規(guī)劃過(guò)程的解;② 需要?jiǎng)蛩偌庸ざ蔚乃俣纫?guī)劃,給出需要?jiǎng)蛩偌庸ざ蔚拈L(zhǎng)度后,即確定了唯一的速度規(guī)劃。

對(duì)于無(wú)勻速段的Ⅱ型疊加規(guī)劃,由上述分析條件可解得jmax為8 383.5 mm/s3,tm為0.2 s。根據(jù)對(duì)稱性,整個(gè)過(guò)程的急動(dòng)度函數(shù)j(t)為:

(9)

根據(jù)急動(dòng)度可得加速度a、速度v,得到無(wú)勻速段Ⅱ型疊加規(guī)劃曲線,如圖5所示。由圖5可以看出,位移、速度、加速度、急動(dòng)度經(jīng)過(guò)一個(gè)周期均回到初始值,即以這一周期進(jìn)行循環(huán),能夠得到各參數(shù)連續(xù),減小柔性沖擊。

▲圖5 無(wú)勻速段Ⅱ型疊加規(guī)劃曲線

需要設(shè)計(jì)勻速加工段時(shí),可在上述曲線中的T/2、3T/2處插入兩個(gè)勻速段,由于這兩個(gè)位置的加速度及急動(dòng)度都為0,因此插入勻速段不影響連續(xù)性,如圖6所示。簡(jiǎn)單正弦函數(shù)速度規(guī)劃不具備類似特性,因?yàn)楹?jiǎn)單正弦函數(shù)速度規(guī)劃在加工段處的急動(dòng)度是極大值,若插入勻速段,勻速段的急動(dòng)度為0,將引起急動(dòng)度突變。

▲圖6 帶勻速段Ⅱ型疊加規(guī)劃曲線

(3) 正弦函數(shù)速度規(guī)劃。曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的速度曲線存在不對(duì)稱性,會(huì)導(dǎo)致局部急動(dòng)度偏大,可采用完全對(duì)稱的正弦函數(shù)設(shè)計(jì)速度規(guī)劃曲線,位移函數(shù)s(t)=-Acos(ωt),A為1/2行程,正弦函數(shù)無(wú)限次連續(xù)可導(dǎo),急動(dòng)度連續(xù)。

3.3 速度規(guī)劃理論性能比較

針對(duì)設(shè)計(jì)的Ⅰ型疊加規(guī)劃、Ⅱ型疊加規(guī)劃、正弦函數(shù)速度規(guī)劃,以及傳統(tǒng)梯形速度規(guī)劃,在無(wú)勻速段,行程為30 mm,沖程頻率為75次/min的條件下,進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)性能比較,結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 速度規(guī)劃運(yùn)動(dòng)學(xué)性能比較

由表1數(shù)據(jù)可見(jiàn),Ⅱ型疊加規(guī)劃相比Ⅰ型疊加規(guī)劃,最大加速度與最大急動(dòng)度都較小。

4 試驗(yàn)研究

針對(duì)表1中的四種速度規(guī)劃方法,開(kāi)展了速度規(guī)劃性能試驗(yàn),試驗(yàn)平臺(tái)為自主開(kāi)發(fā)的曲線磨削樣機(jī),如圖7所示。使用開(kāi)放式數(shù)控系統(tǒng)的電子凸輪功能實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的速度規(guī)劃,試驗(yàn)中行程為30 mm,沖程頻率為75次/min。

▲圖7 速度規(guī)劃性能試驗(yàn)平臺(tái)

在沖程運(yùn)動(dòng)速度規(guī)劃設(shè)計(jì)中,主要關(guān)注最大加速度與最大急動(dòng)度。為此,在試驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量?jī)蓚€(gè)參數(shù),一個(gè)是砂輪架Y軸振動(dòng)加速度信號(hào),Y軸方向的振動(dòng)直接影響加工質(zhì)量,另一個(gè)是驅(qū)動(dòng)Z軸的伺服電機(jī)功率。采用功率采集模塊,通過(guò)測(cè)量電流及電壓信號(hào)后計(jì)算得出電機(jī)功率。分別測(cè)量表1中四種速度規(guī)劃下的振動(dòng)加速度信號(hào),如圖8所示。

由圖8可知,傳統(tǒng)梯形速度規(guī)劃的振動(dòng)是最大的,Ⅰ型疊加規(guī)劃好于傳統(tǒng)梯形速度規(guī)劃,但存在部分區(qū)間振動(dòng)過(guò)大的現(xiàn)象,Ⅱ型疊加規(guī)劃與正弦函數(shù)速度規(guī)劃的振動(dòng)相對(duì)較小,說(shuō)明設(shè)備所受到的沖擊較小。

▲圖8 不同速度規(guī)劃振動(dòng)加速度信號(hào)

對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到振動(dòng)加速度信號(hào)峰峰值及電機(jī)功率峰值,見(jiàn)表2。由表2數(shù)據(jù)可見(jiàn),所設(shè)計(jì)的Ⅱ型疊加規(guī)劃的振動(dòng)加速度峰峰值最小,說(shuō)明產(chǎn)生的沖擊相對(duì)較小;電機(jī)功率峰值也最小,說(shuō)明對(duì)電機(jī)性能的要求較低。

表2 試驗(yàn)峰值數(shù)據(jù)

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)曲線磨削中的砂輪沖程運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題,提出優(yōu)化速度規(guī)劃的設(shè)計(jì)思想,進(jìn)而設(shè)計(jì)了基于連續(xù)急動(dòng)度的速度規(guī)劃方法,并針對(duì)砂輪沖程運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn),使行程兩端點(diǎn)的加速度最大。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的Ⅱ型疊加規(guī)劃與傳統(tǒng)速度規(guī)劃相比,在運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)方面取得了顯著的提高。試驗(yàn)結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的Ⅱ型疊加規(guī)劃有效降低了柔性沖擊和電機(jī)功率需求,擴(kuò)大了磨削工藝選擇范圍,為優(yōu)化曲線磨削沖程運(yùn)動(dòng)提供了參考。