王 卓，徐 瑞

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.深空自主導(dǎo)航與控制工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

引 言

隨著深空探測(cè)技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)深空探測(cè)器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力提出了越來(lái)越高的要求[1]，特別是在深空導(dǎo)航和科學(xué)探測(cè)等方面。與傳統(tǒng)的航天任務(wù)相比，深空探測(cè)任務(wù)具有任務(wù)周期長(zhǎng)、飛行距離遠(yuǎn)、通信和控制能力不足的特點(diǎn)，需要盡可能減少時(shí)間和燃料資源的消耗。因此，深空探測(cè)器在執(zhí)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)時(shí)，通常需要優(yōu)化一個(gè)或多個(gè)性能指標(biāo)參數(shù)，比如機(jī)動(dòng)時(shí)間或能耗[2-3]。跟蹤目標(biāo)時(shí)探測(cè)器需要執(zhí)行快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)，同時(shí)減少能量消耗，以盡可能地增加探測(cè)器在軌工作時(shí)間。此外，深空探測(cè)器還會(huì)受到其它復(fù)雜約束，比如以強(qiáng)光為特征的天體必須禁止進(jìn)入某些特定的光學(xué)傳感器區(qū)域（如紅外敏感器件或低光敏器件）以免其敏感部件損壞，這類(lèi)約束極大地限制了探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)的可行域。同時(shí)，角速度和控制力矩的上限也會(huì)影響姿態(tài)機(jī)動(dòng)[4]。在這些復(fù)雜的約束條件下，同時(shí)優(yōu)化多種性能指標(biāo)參數(shù)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑對(duì)深空探測(cè)器姿態(tài)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是一個(gè)極大的挑戰(zhàn)。

姿態(tài)約束顯著減小了姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑的可行空間，在姿態(tài)約束處理方面，McInnes采用歐拉角描述深空探測(cè)器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中對(duì)太陽(yáng)矢量的回避問(wèn)題[5]，但是只考慮了單個(gè)姿態(tài)指向約束。由美國(guó)和意大利聯(lián)合研制的“卡西尼號(hào)”（Cassini）探測(cè)器采用了約束監(jiān)測(cè)算法來(lái)進(jìn)行約束姿態(tài)機(jī)動(dòng)[6]，沒(méi)有考慮該算法的收斂性。仲維國(guó)等[7]利用羅德里格參數(shù)來(lái)表示探測(cè)器姿態(tài)，同時(shí)通過(guò)快速擴(kuò)展隨機(jī)樹(shù)（Rapidly exploring Random Tree，RRT）規(guī)劃器規(guī)劃出了安全可行的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，沒(méi)有考慮姿態(tài)動(dòng)力學(xué)，事實(shí)上實(shí)際的姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中需要全方位考慮動(dòng)力學(xué)約束與外部環(huán)境約束。Kjellberg等[8]通過(guò)A*算法進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑搜索，將連續(xù)的姿態(tài)空間進(jìn)行離散化，而且設(shè)計(jì)了反饋控制器，但是該方法沒(méi)有同時(shí)考慮多種姿態(tài)約束。

在姿態(tài)機(jī)動(dòng)性能指標(biāo)優(yōu)化方面，關(guān)于有界約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑優(yōu)化研究，取得了一定的成果。被普遍認(rèn)同的算法主要包括最速下降法、打靶法和多重打靶法等[9-11]，但這類(lèi)方法都具有一定的缺陷，限制了其適用性，比如最速下降法的收斂速度較慢、打靶法對(duì)初值要求過(guò)高等。基于上述不足，高斯偽譜法作為一種直接求解方法，在進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)控制的相關(guān)應(yīng)用中體現(xiàn)出許多性能優(yōu)勢(shì)，F(xiàn)leming等[12]首次在探測(cè)器時(shí)間最優(yōu)機(jī)動(dòng)問(wèn)題中應(yīng)用了高斯偽譜法，但是高斯偽譜法在處理多約束情況下的能力是有限的?？紤]能量?jī)?yōu)化的情況，Kim等[13]將目標(biāo)能量函數(shù)表示成關(guān)于狀態(tài)的二次型，通過(guò)半正定規(guī)劃獲得姿態(tài)路徑，但這樣的單步控制模式很難滿(mǎn)足深空探測(cè)器的指向約束。Spiller等[14]將元啟發(fā)式算法引入到姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題中，將逆動(dòng)力學(xué)方法和粒子群算法結(jié)合在一起，獲得了時(shí)間最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。武長(zhǎng)青等[15]使用角速度時(shí)間編碼的方式，采用標(biāo)準(zhǔn)差分的方法對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化，但算法收斂速度較慢。在多目標(biāo)優(yōu)化方面，通常是將指標(biāo)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)加權(quán)，通過(guò)高斯偽譜法進(jìn)行優(yōu)化可得到最優(yōu)解，但是運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，不適合深空探測(cè)姿態(tài)規(guī)劃環(huán)境[16-18]。

本文主要關(guān)注深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，提出多目標(biāo)組合規(guī)劃方法，旨在得到同時(shí)滿(mǎn)足多種約束條件和優(yōu)化指標(biāo)的深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。多目標(biāo)最優(yōu)路徑規(guī)劃模型的特殊性主要表現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造上。通過(guò)物理規(guī)劃方法設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化分解為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，以替代適應(yīng)度函數(shù)作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)快速歐拉機(jī)動(dòng)獲得初始姿態(tài)路徑，設(shè)計(jì)組合差分進(jìn)化算法，以設(shè)定概率用快速歐拉機(jī)動(dòng)路徑改進(jìn)變異過(guò)程，得到滿(mǎn)足多約束多目標(biāo)的深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。最后，基于深空探測(cè)器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程，進(jìn)行多目標(biāo)組合規(guī)劃數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提出方法的可行性和有效性。

1 探測(cè)器模型

1.1 探測(cè)器動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

深空探測(cè)器在軌運(yùn)行時(shí)需要進(jìn)行大量的姿態(tài)機(jī)動(dòng)來(lái)完成各種跟蹤和探測(cè)等任務(wù)，姿態(tài)系統(tǒng)需要時(shí)刻規(guī)劃出有效合理的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。所以，對(duì)深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中約束的建模和分析是設(shè)計(jì)深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃算法的前提。

本文將探測(cè)器視為剛體。為避免奇異性，采用四元數(shù)形式來(lái)描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)

1.2 探測(cè)器有界約束

在實(shí)際深空探測(cè)任務(wù)中，深空探測(cè)器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供的力矩幅值是有限的，控制輸入有界約束為

其中：γ1表示系統(tǒng)控制力矩的幅值。

系統(tǒng)敏感器的量程有限，要求深空探測(cè)器的角速度必須保持在某個(gè)范圍內(nèi)，角速度有界約束為

其中：γ2表示系統(tǒng)角速度幅值。

1.3 探測(cè)器姿態(tài)指向約束

深空探測(cè)器在執(zhí)行空間任務(wù)時(shí)，會(huì)面臨較為復(fù)雜的指向約束，這些指向約束極大程度地縮小了姿態(tài)機(jī)動(dòng)的可行空間。一旦違反指向約束，將會(huì)對(duì)深空探測(cè)器攜帶的光學(xué)載荷造成嚴(yán)重的損壞，進(jìn)而影響對(duì)應(yīng)空間執(zhí)行的任務(wù)，所以要分析和處理深空探測(cè)器的指向約束。

深空探測(cè)器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中必須避免強(qiáng)光天體進(jìn)入敏感光學(xué)元件的視場(chǎng)角中，這種約束稱(chēng)為“禁止指向約束”。圖1為深空探測(cè)器指向約束關(guān)系圖，rg1表示該光敏元件在本體下的方向矢量，rI表示某一強(qiáng)光天體在慣性系下的方向矢量。

圖1 深空探測(cè)器指向約束示意圖Fig.1 Schematic diagram of pointing constraint of deep space probe

姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中要求強(qiáng)光天體方向矢量和光敏元件的視線(xiàn)方向夾角不能低于視場(chǎng)角，約束表示形式為

將指向約束的姿態(tài)余弦矩陣展開(kāi)，將指向約束表示為更加簡(jiǎn)潔的二次型形式

1.4 探測(cè)器多目標(biāo)規(guī)劃模型

姿態(tài)機(jī)動(dòng)多目標(biāo)優(yōu)化不僅要滿(mǎn)足上述復(fù)雜約束條件，還需要重點(diǎn)考慮時(shí)間和能量參數(shù)作為優(yōu)化性能指標(biāo)。這里將多約束下深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題歸納為以下形式，具體比例參數(shù)由第2節(jié)給出。

2 多目標(biāo)組合規(guī)劃算法

2.1 多目標(biāo)分解

這里采用物理規(guī)劃方法，將探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)分析多目標(biāo)之間的關(guān)系，得到一個(gè)在Pareto最優(yōu)解前沿附近的解[19]。

通過(guò)物理規(guī)劃將不同性質(zhì)的多個(gè)指標(biāo)融合成一個(gè)分段指標(biāo)，在分段區(qū)域根據(jù)指標(biāo)優(yōu)先級(jí)設(shè)置不同的權(quán)重，既能夠根據(jù)指標(biāo)的特性進(jìn)行針對(duì)性的優(yōu)化，又能夠?qū)Χ嗄繕?biāo)優(yōu)化進(jìn)行解耦，簡(jiǎn)化路徑規(guī)劃過(guò)程和提高規(guī)劃效率。

其中：Pi是分解函數(shù)；nsc是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。

分解函數(shù)被劃分成多個(gè)區(qū)間，在各個(gè)區(qū)間之中，通過(guò)分段曲線(xiàn)擬合能夠得到各個(gè)性能指標(biāo)函數(shù)的分解函數(shù)，用分段樣條函數(shù)表示。第一段和剩下的多段表示如下

2.2 性能指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)

使用目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)代替差分進(jìn)化算法的總體適應(yīng)度函數(shù)，用于改進(jìn)差分進(jìn)化算法的選擇標(biāo)準(zhǔn)。目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)由分解函數(shù)pi和性能指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)Ji(x)組成。

差分進(jìn)化算法的性能指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置為越小越好型，通過(guò)尋找目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的最小值來(lái)變異、交叉和選擇得到最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。性能指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)除了探測(cè)器的性能指標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)間和能量之外，也要考慮探測(cè)器遇到的路徑指向約束、有界約束和終端約束。

首先考慮深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的時(shí)間和能量?jī)?yōu)化指標(biāo)參數(shù)，轉(zhuǎn)換為多目標(biāo)優(yōu)化的時(shí)間和能量適應(yīng)度函數(shù)為

姿態(tài)路徑指向約束的適應(yīng)度函數(shù)針對(duì)禁忌約束

探測(cè)器有界約束的適應(yīng)度函數(shù)取為

為了確保算法的準(zhǔn)確性與收斂性，將終端約束擴(kuò)展到所有節(jié)點(diǎn)的目標(biāo)導(dǎo)向約束，這時(shí)終端約束的適應(yīng)度函數(shù)為

得到所有性能指標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)，與分解函數(shù)組合得到目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。

2.3 初始姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑

為了加快算法收斂，本文將首先生成初始機(jī)動(dòng)路徑，并與改進(jìn)差分進(jìn)化算法組合，共同生成多目標(biāo)優(yōu)化姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。

本文通過(guò)快速歐拉旋轉(zhuǎn)方法得到從初始到目標(biāo)的機(jī)動(dòng)路徑，并不考慮指向和有界約束，得出轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)

根據(jù)歐拉定理，得出歐拉轉(zhuǎn)角

再根據(jù)初始姿態(tài)參數(shù)，進(jìn)行逐步姿態(tài)路徑節(jié)點(diǎn)計(jì)算，得到整個(gè)姿態(tài)路徑上的姿態(tài)四元數(shù)，即得到初始的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，用以引導(dǎo)優(yōu)化過(guò)程的中間姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。

2.4 組合差分進(jìn)化算法

1）初始化

利用n個(gè)向量P作為每一代的種群，每個(gè)個(gè)體向量Pi,G表示為

其中：ω為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的姿態(tài)角速度；t為節(jié)點(diǎn)的機(jī)動(dòng)時(shí)間；i表示個(gè)體在種群中的序號(hào)；G表示進(jìn)化代數(shù)。

初始化的過(guò)程主要是生成算法優(yōu)化的初始種群。通常為了避免算法后期的收斂效率過(guò)低，常用的生成初始種群的方法是基于給定約束值進(jìn)行邊界內(nèi)部隨機(jī)選擇。

2）組合變異

對(duì)于單個(gè)個(gè)體向量Pi,G，采用組合變異的方式。由歐拉旋轉(zhuǎn)得到的初始機(jī)動(dòng)路徑為Pc，以設(shè)定的概率選擇是否將Pc放入差分進(jìn)化的變異過(guò)程中，變異個(gè)體的產(chǎn)生如式（22）所示

其中：ra為0～1之間的隨機(jī)數(shù)；f為相應(yīng)范圍內(nèi)的判斷概率，判斷是否將初始路徑Pc加入變異過(guò)程中；Pc是歐拉旋轉(zhuǎn)得到的最短距離姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，引導(dǎo)當(dāng)前的中間姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑向最短距離姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑變異，加快算法收斂速度；突變算子F的取值顯著影響算法的搜索范圍，F(xiàn)值越大，算法搜索的范圍越廣，全局搜索能力強(qiáng)，也能夠避免過(guò)早收斂。相反，一個(gè)較小的值F可以提高算法的局部搜索能力，加快局部搜索速度和算法的收斂速度。一般的F值固定選取為1，這里將F值設(shè)置為根據(jù)算法進(jìn)程可變的形式，搜索前期較大，搜索后期較小，使算法同時(shí)具有較好的前期全局搜索能力和后期收斂速度

其中：ki是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)數(shù)；kmax是總節(jié)點(diǎn)數(shù)；c5和p為控制參數(shù)。

3）交叉

作為變異策略的補(bǔ)充，利用交叉策略在變異向量的基礎(chǔ)上保留原始目標(biāo)個(gè)體的信息，并生成一個(gè)測(cè)試向量與原始目標(biāo)個(gè)體競(jìng)爭(zhēng)。交叉向量可以表示為

其中：CR為交叉概率因子，是0～1的正實(shí)數(shù)；rb是0～1的隨機(jī)數(shù)；rn為[1，2，···，D]的隨機(jī)整數(shù)。

4）選擇

3 仿真分析

表1 仿真條件Table 1 Simulation conditions

算法的仿真環(huán)境為Matlab 2019b，計(jì)算機(jī)主頻為3.2 Ghz，內(nèi)存4 G，采用本文提出的多目標(biāo)組合規(guī)劃算法進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑求解。

深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的姿態(tài)四元數(shù)、控制力矩和角速度分別如圖2～4所示。可以看出，探測(cè)器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑滿(mǎn)足有界約束，沒(méi)有超出探測(cè)器的角速度和控制力矩上限，同時(shí)角速度和控制力矩路徑的前后轉(zhuǎn)變平穩(wěn)，比較方便實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)。

圖2 深空探測(cè)器姿態(tài)四元數(shù)曲線(xiàn)Fig.2 Attitude maneuver quaternion curve of deep space probe

圖3 深空探測(cè)器控制力矩曲線(xiàn)Fig.3 Attitude maneuver control torque curve of deep space probe

圖4 深空探測(cè)器角速度曲線(xiàn)Fig.4 Attitude maneuver angular velocity curve of deep space probe

經(jīng)過(guò)組合規(guī)劃算法得到探測(cè)器在天球坐標(biāo)系下的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，如圖5所示，環(huán)形區(qū)域表示姿態(tài)指向約束，紅色連線(xiàn)表示姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑?？梢钥闯觯羁仗綔y(cè)器運(yùn)動(dòng)從起始點(diǎn)成功姿態(tài)機(jī)動(dòng)到目標(biāo)點(diǎn)，并且沒(méi)有進(jìn)入約束區(qū)域，說(shuō)明該算法能夠得到安全的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。

圖5 探測(cè)器在天球坐標(biāo)系下姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑Fig.5 Attitude maneuver path of deep space probe in celestial coordinate system

同時(shí)，探測(cè)器在天球坐標(biāo)系下可見(jiàn)光相機(jī)的空間姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑如圖6所示，其中，圓形區(qū)域表示的是姿態(tài)指向約束，紅線(xiàn)表示空間姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。由此可以看出，在探測(cè)器機(jī)動(dòng)過(guò)程中光學(xué)相機(jī)成功地規(guī)避了4個(gè)發(fā)光天體，滿(mǎn)足了姿態(tài)指向約束，得到了安全的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。從上述所有結(jié)果可以看出，本文提出的組合規(guī)劃算法可以滿(mǎn)足多種姿態(tài)約束，證明了算法的有效性。

圖6 天球坐標(biāo)系下深空探測(cè)器可見(jiàn)光相機(jī)空間姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑Fig.6 Space attitude maneuver path of visible camera of deep space detector in celestial coordinate system

多目標(biāo)組合規(guī)劃算法的平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為36 s，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為200 s，能量消耗的相對(duì)單位為0.8?；谙嗤姆抡姝h(huán)境，對(duì)比基于時(shí)間優(yōu)化的差分進(jìn)化算法，時(shí)間優(yōu)化后的標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的平均運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為60 s，姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)為220 s，能量消耗的相對(duì)單位為1.5?？梢钥闯觯嗄繕?biāo)組合規(guī)劃算法同時(shí)提高了時(shí)間和能量的優(yōu)化效率以及程序運(yùn)行速度，具有較好的時(shí)間和能量?jī)?yōu)化效果。

4 結(jié) 論

本文研究深空探測(cè)器姿態(tài)機(jī)動(dòng)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，提出多目標(biāo)組合規(guī)劃方法?？紤]時(shí)間、能量和約束等多目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化分解為單目標(biāo)規(guī)劃，通過(guò)快速歐拉機(jī)動(dòng)獲得初始姿態(tài)路徑，并改進(jìn)差分進(jìn)化算法，設(shè)計(jì)新的變異過(guò)程，提高收斂速率和程序運(yùn)行效率。仿真結(jié)果表明，通過(guò)本文提出的多目標(biāo)組合規(guī)劃方法生成姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，可以實(shí)現(xiàn)多約束多目標(biāo)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃，且具有較好的時(shí)間和能量?jī)?yōu)化效果。