李連正，秦志昌，郭宗和，李瑞先，荊棟

(山東理工大學 交通與車輛工程學院, 山東 淄博 255049)

隨著汽車工業(yè)的飛速發(fā)展，汽車的安全性能得到了極大的提高，越來越多的汽車生產(chǎn)廠家開始關注噪音以及振動等關于汽車舒適性的性能指標[1]。懸架作為汽車中必不可少的部件之一，在提高乘坐舒適性以及行駛穩(wěn)定性方面起著不言而喻的重要作用[2-4]。主動懸架相較于傳統(tǒng)廣泛使用的被動懸架，在外部能量輸入的作用下能夠讓懸架系統(tǒng)在不同路面激勵的情況下始終保持良好的減振效果，同時能兼顧汽車的行駛穩(wěn)定性。

主動懸架性能的好壞與其控制策略的優(yōu)劣有著直接的聯(lián)系，因此設計和選擇與主動懸架相匹配的控制策略顯得尤為重要[5]。運用于主動懸架系統(tǒng)的控制方法主要有滑模變結(jié)構(gòu)控制[6-8]、最優(yōu)控制[9]、模糊控制[10]、反演控制[11-12]、PID、LQR[13-14]控制等。其中，傳統(tǒng)的PID、LQR控制器設計因結(jié)構(gòu)簡單而得到廣泛應用，然而其控制性能較為有限。

在諸多控制方法中，反演控制是一種比較成熟的控制器設計方法。其基本設計思想是將復雜系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，在保證每個子系統(tǒng)具有一定收斂性的基礎上獲得子系統(tǒng)的虛擬控制率，在下一個子系統(tǒng)的設計中將上一個子系統(tǒng)的虛擬控制率作為這個子系統(tǒng)的跟蹤目標，以遞推的方式獲得最終控制率?？刂破髟O計過程中所采用的虛擬控制率無需通過硬件實現(xiàn)，可直接由計算得到。因設計過程具有系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的特點，所以基于反演控制方法所設計的控制器往往結(jié)構(gòu)比較簡單且易于實現(xiàn)。

由Krstic等[15]的著名論文為起點，反演法目前已經(jīng)成為解決線性及非線性系統(tǒng)控制問題的一種非常有效的方法。文獻[16]基于反演控制理論設計了電流反演控制器和速度反演控制器，用于永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)。文獻[17]利用反演控制方法結(jié)合反饋線性化設計了一種飛行器自適應飛行控制系統(tǒng)。文獻[18]基于自適應積分反演控制方法研究在未知海流作用下水下航行器的運動跟蹤控制問題。這些研究表明，反演控制在解決這類復雜跟蹤控制時具有良好效果。在懸架系統(tǒng)研究中，文獻[19]在忽略輪胎阻尼特性的前提下著重考慮了懸架系統(tǒng)中的不確定性因素，以懸架動行程為零作為設計目標進行了控制器設計，最終實現(xiàn)了減小車身振動的目的。

對基于參考模型的反演控制方法的研究，國內(nèi)外學者們也已經(jīng)取得了許多成果。文獻[20]基于模型參考反演控制設計了一種自適應控制器，并應用于一種變壓器繞組系統(tǒng)。文獻[21]以天棚阻尼系統(tǒng)作為參考模型，以參考模型的輸出為期望值進行控制設計，減小了車身垂直加速度。文獻[22]通過引入高低通濾波器設計了一種理想的參考模型系統(tǒng)，結(jié)合反演控制設計了誤差跟蹤反演控制器，提高了懸架系統(tǒng)的性能。眾多研究結(jié)果表明，基于反演法以及基于參考模型的反演法的控制器設計在解決汽車懸架振動控制問題上具有良好效果。

本文利用反演控制具有良好目標跟蹤效果的特性，設計一個混合阻尼(天棚-地棚阻尼)懸架系統(tǒng)(該懸架系統(tǒng)現(xiàn)實中難以實現(xiàn)，但有良好的減振控制效果[23-24])作為參考模型，通過反演控制方法對參考模型系統(tǒng)的輸出信號進行追蹤[25]，設計一種基于參考模型的反演控制器并進行仿真驗證。

1 1/4車輛主動懸架系統(tǒng)模型

根據(jù)Quanser實驗臺架，建立1/4汽車主動懸架模型，如圖1所示。

圖1 二自由度1/4汽車主動懸架模型

該系統(tǒng)由兩個質(zhì)量組成，每個質(zhì)量由一個彈簧和一個阻尼器支撐?；奢d質(zhì)量ms表示車身質(zhì)量，非簧載質(zhì)量mus表示四分之一車的輪胎懸架系統(tǒng)由彈簧、阻尼器、控制器組成，ks、cs、Fc分別表示懸架彈簧剛度、懸架阻尼器阻尼、控制器輸出主動力，kus、cus分別表示輪胎的等效剛度及阻尼。主動力Fc以及路面激勵zr為系統(tǒng)的兩個輸入。因重力只影響系統(tǒng)的靜平衡點位置，所以取廣義坐標，zs和zus分別表示車身和輪胎相對于其處于靜平衡位置的位移，取向上為正方向。根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)的動力學方程為

為了方便控制器設計，將懸架系統(tǒng)通過狀態(tài)空間表示，寫成如下形式：

(2)

式中，狀態(tài)變量、系統(tǒng)的輸入和輸出變量定義為

(3)

狀態(tài)變量x中的4個分量分別表示懸架動行程、車身垂直速度、輪胎變形量、車輪垂直速度，根據(jù)方程(1)可以計算出A，B，C，D4個矩陣，即

2 控制器設計

為了提高懸架性能，我們對主動懸架控制器進行設計，即對控制器輸出主動力Fc進行設計。

2.1 LQR控制器設計

為了同本文所設計的一種基于參考模型的反演控制器進行比較，設計了一個相對簡單的LQR控制器。

(5)

定義二次型目標函數(shù)

(6)

由最優(yōu)控制理論可知，反饋控制輸入為

Fc=-Kx。

(7)

選取

利用MATLAB控制工具箱，可以計算得到最優(yōu)控制增益矩陣為

(8)

2.2 反演控制器設計

(9)

對V1求導得

(10)

取誤差e2=x2d-x2，其中x2d為x2的期望值，取

(11)

式中k1以及下文中的k2均為正數(shù)，將e2代入式(10)得

(12)

選取第二個李雅普諾夫函數(shù)

(13)

對V2求導得

(14)

(15)

(16)

取控制輸入Fc為

(17)

將方程(17)代入方程(16)得

(18)

因此，受控系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，并且隨時間趨于無窮大，e1和e2將趨于零。

理想情況下，即當懸架動行程為無限大，或者在不考慮懸架動行程約束的情況時，可以選取zsd=0(車身無垂向運動)，此時車身垂直加速度為0，但理想情況需要控制器能提供非常大的主動力，在現(xiàn)實中難以實現(xiàn)。為了找到一個合適的zsd，考慮選取一個理想的參考模型系統(tǒng)，選取參考模型的輸出作為我們的期望值。

2.3 參考模型設計

為了達到減小車身垂直加速度且減小輪胎變形量的目的，考慮一個混合阻尼懸架系統(tǒng)，即在車身與虛擬的慣性空間之間有一個阻尼cy來抑制簧上質(zhì)量的振動，同時假設在車輪和地面之間有一個阻尼cd來抑制簧下質(zhì)量的振動，同時保證汽車的平順性和操縱穩(wěn)定性，克服單純的天棚阻尼系統(tǒng)的不足。該參考模型如圖2所示。

圖2 含天、地棚阻尼的1/4汽車懸架參考模型

該系統(tǒng)在圖1所示的主動懸架系統(tǒng)的基礎上設置控制器主動力為0，同時在車身與虛擬天棚之間設置一個虛擬天棚阻尼 (cy)，輪胎與地面之間設置一個虛擬地棚阻尼 (cd)。zsc、zusc分別表示車身和車輪相對于靜平衡位置的垂直位移，取向上為正方向。根據(jù)牛頓第二定律得到參考模型系統(tǒng)的動力學方程為

(19)

將懸架系統(tǒng)通過狀態(tài)空間表示，寫成如下形式：

(20)

狀態(tài)變量、系統(tǒng)的輸入和輸出變量定義為

(21)

根據(jù)方程(1)可以計算出如下矩陣：

根據(jù)主動懸架系統(tǒng)模型的阻尼參數(shù)，以cs的整數(shù)倍分別選取兩組虛擬阻尼參數(shù)進行對比研究。cy、cd的選值見表1。

表1 參考模型混合阻尼參數(shù)

圖3和圖4分別展示了表1中兩組虛擬阻尼作用下參考模型系統(tǒng)的輸出，即車身位移曲線和車身垂直加速度曲線。

圖3 參考模型車身垂直位移

圖4 參考模型車身垂直加速度

從圖3和圖4中可以看出，相對于普通的被動懸架系統(tǒng)，在增加虛擬天棚-地棚阻尼后，車身位移曲線相對光滑，車身垂直加速度明顯減小，說明該虛擬阻尼可以有效減小車身垂直振動。

該基于天棚-地棚阻尼的混合阻尼懸架系統(tǒng)只是一種理想的概念模型，在實際環(huán)境中并無法直接應用。然而，因其完美的減振性能，國內(nèi)外諸多研究學者都對其進行了深入研究并通過諸多主動控制方法間接實現(xiàn)了其控制性能。在本文中，我們選擇該理想天棚-地棚阻尼控制系統(tǒng)模型作為一種參考模型，將該系統(tǒng)的輸出信號作為2.2節(jié)所設計的反演控制器的期望值，即

(23)

因此，本文所研究的基于參考模型的反演控制器融合了理想的天棚-地棚阻尼控制器的優(yōu)良控制性能和反演控制器的穩(wěn)定性，為主動懸架控制提供了一種新的研究思路。

3 仿真分析

根據(jù)已經(jīng)建立的模型和算法進行仿真模擬。選取車輛1/4試驗臺架模型參數(shù)，對圖2主動懸架系統(tǒng)在MATLAB/Simulink中進行仿真，同時與LQR控制下主動懸架控制效果進行對比。主動懸架試驗臺架參數(shù)見表2。

表2 實驗臺架模型參數(shù)

在仿真過程中，根據(jù)文獻[10]選取一種由路面函數(shù)d(t)模擬的正弦擾動疊加在凸起和凹陷的路面函數(shù)上作為路面激勵，道路的輪廓是時間t的函數(shù)，即

3.1 反演控制追蹤效果

設定方程(13)中反演控制器的兩個參數(shù)分別為k1=20和k2=20，然后對圖1所示的主動懸架系統(tǒng)進行反演控制，并將其與天棚-地棚阻尼控制結(jié)果進行對比。圖5和圖6分別展示了兩種控制策略下1/4懸架的車身位移、車身垂直加速度曲線。

圖5 兩種控制策略下的車身位移

圖5和圖6中藍色線條展示了表1中G1和G2兩種情景下懸架系統(tǒng)的理想控制效果，紅色線條代表以此理想輸出作為參考信號(即以天棚-地棚阻尼控制的被動懸架系統(tǒng)為參考模型)的反演控制下主動懸架系統(tǒng)輸出?？梢钥闯?，基于反演控制的系統(tǒng)輸出與基于天棚-地棚阻尼控制的理想輸出之間有較小的誤差，兩條曲線基本重合，表明所設計的反演控制器可以很好地實現(xiàn)天棚-地棚阻尼控制的效果。

圖6 兩種控制策略下的車身垂直加速度

仿真結(jié)果說明，基于反演控制的主動控制算法可以實現(xiàn)一類無法直接用于實際懸架系統(tǒng)的天棚-地棚阻尼減振控制。

3.2 主動懸架性能分析

圖7—圖10展示了懸架系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)、LQR控制和模型參考反演控制下的車身垂直加速度、輪胎變形量、 懸架動行程以及控制器主動力。BG1和BG2分別表示按G1和G2兩種情景所設定的被動懸架系統(tǒng)作為參考模型的反演控制。

圖7 車身垂直加速度

圖8 輪胎變形量

圖9懸架動行程

圖10 控制器主動力

由圖7和圖8可以看出，相較于被動懸架系統(tǒng)(即開環(huán)系統(tǒng))，LQR控制方法在減小車身垂直加速度和輪胎變形量方面具有一定的效果。進一步對比可以看出，兩組基于參考模型的反演控制器的控制效果要優(yōu)于LQR控制器。其中，以G2作為參考模型的反演控制在一定程度上要優(yōu)于以G1作為參考模型的反演控制。

圖9和圖10分別展示了懸架系統(tǒng)在幾種控制策略下的動行程和控制力大小?？梢钥闯觯趦山M基于參考模型的反演控制器作用下的主動懸架系統(tǒng)的懸架動行程和控制力均大于LQR，而兩組反演控制的懸架動行程和控制力相差不大。結(jié)果表明，以方程(19)作為路面激勵時，1/4車輛主動懸架系統(tǒng)在本文所提出的基于參考模型的反演控制策略的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)更好的減振效果。此外，以天棚-地棚阻尼被動懸架系統(tǒng)作為參考模型的反演控制要優(yōu)于僅以天棚阻尼被動懸架作為參考模型的反演控制。

3.3 控制器參數(shù)k1和k2的影響

通過仿真驗證了本文提出的基于參考模型的反演控制器的有效性后，我們又對如何選擇更優(yōu)的控制器參數(shù)k1和k2進行了簡單研究。

為了選擇更優(yōu)的控制器參數(shù)，定義一個用于評價反演控制器性能的指標，即

為研究k1和k2在不同取值情況下對系統(tǒng)控制性能的影響，本文將兩個參數(shù)分別在(0，100)區(qū)間均勻離散為40份，將其兩兩組合為1 600組參數(shù)并分別進行試驗?；诜匠?20)分別計算各組參數(shù)下的性能指標值，得到圖11。

圖11 基于參考模型的反演控制策略的性能指標

從圖11中可以看出，選取不同的k1、k2會對控制器的誤差追蹤效果有一定影響。隨著k1、k2的增大，控制器追蹤精度在一定程度上有所提高，但在到達一定數(shù)值后，k1、k2進一步增大，控制器追蹤精度反而會降低。圖11中局部放大部分表現(xiàn)了隨著k1、k2的變化，在接近完全追蹤時，控制器會出現(xiàn)類似超調(diào)的現(xiàn)象。

該模型參考反演控制器作用下的主動懸架系統(tǒng)，能實現(xiàn)對參考模型系統(tǒng)的誤差跟蹤，選取合適的k1、k2可使反演控制器對參考模型的追蹤精度達到95%以上。在參數(shù)k1=20和k2=20時，恰好處于圖11中追蹤精度較高的位置，其追蹤精度接近98%。從圖4和圖5中也可以看出，主動懸架系統(tǒng)與理想?yún)⒖寄Ｐ拖到y(tǒng)的響應曲線基本重合，即表明在該參數(shù)下的反演控制器具有良好的控制性能。

4 結(jié)束語

本文在建立二自由度1/4車主動懸架的基礎上，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、采用反演控制的方法，設計了一種基于參考模型的反演控制器，并根據(jù)控制模型和仿真算法在MATLAB中建立仿真程序進行控制效果驗證。仿真結(jié)果表明，利用該方法設計的控制器，在選取合適的控制器參數(shù)時，能夠有效追蹤參考模型信號，使主動懸架減振性能接近理想?yún)⒖寄Ｐ蛻壹芟到y(tǒng)減振性能。該方法設計的控制器使車身垂直加速度明顯減小，提升了汽車的乘坐舒適性，在一定程度上減小了輪胎變形量，從而提高了汽車行駛的穩(wěn)定性。同時選取更為優(yōu)秀的參考模型系統(tǒng)可以進一步提高懸架系統(tǒng)的性能。此外，研究表明，k1、k2的取值也對控制效果有著顯著影響，后續(xù)研究將進一步針對k1、k2以及cy、cd的選取進行多目標優(yōu)化設計并進行相關實驗研究。