荊棟，胡帥釗，邵明玉，馬馳騁

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院,山東 淄博 255049)

板梁結(jié)構(gòu)在機(jī)械制造、船舶重工和航空航天等工業(yè)領(lǐng)域廣泛使用，因此開展薄壁結(jié)構(gòu)的固有特性分析、獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)和固有頻率對(duì)于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。目前，板梁自由振動(dòng)分析中使用最廣泛的數(shù)值方法是有限元法，然而有限元方法求解效率較低，通常需要大量計(jì)算網(wǎng)格才能滿足計(jì)算精度要求。為了避免耗時(shí)繁瑣的網(wǎng)格生成過程，最近發(fā)展起來的無(wú)網(wǎng)格方法在板梁結(jié)構(gòu)的靜態(tài)和瞬態(tài)分析中得到了越來越廣泛的應(yīng)用，如無(wú)單元Galerkin法、邊界元法、徑向基函數(shù)法(RBF)等[1]。

徑向基函數(shù)法編程簡(jiǎn)單，在數(shù)據(jù)插值方面準(zhǔn)確性高而且易于實(shí)現(xiàn)[2]。1990年，Kansa[3]全面深入地介紹了徑向基函數(shù)法的相關(guān)概念，該方法有別于有限單元法，屬于無(wú)網(wǎng)格數(shù)值方法，立足于通過數(shù)據(jù)插值建立偏微分方程數(shù)值解的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了提高徑向基函數(shù)法的準(zhǔn)確性，F(xiàn)asshauer等[4-5]使用具有平滑功能的多級(jí)方法來提高RBF方法的準(zhǔn)確性，而Fedoseyev等[6]通過增加內(nèi)部節(jié)點(diǎn)也達(dá)到了改善RBF方法準(zhǔn)確性的目的。在薄壁板梁的振動(dòng)分析方面:Chen等[7]通過在虛部基本解中引入RBF研究了圓形和矩形板的自由振動(dòng)；Ferreira等[8-9]克服了RBF方法中的奇異解問題，使用預(yù)處理方法開展了復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)分析，結(jié)合非對(duì)稱徑向基函數(shù)(RBF)配置方法對(duì)Timoshenko橫梁和Mindlin板進(jìn)行了自由振動(dòng)分析；Misra[10]采用多二次徑向基函數(shù)分析了各向同性板的自由振動(dòng)，基于最小二乘誤差范數(shù)的多元線性回歸分析獲得了固定和簡(jiǎn)單支撐矩形板的固有振動(dòng)特性。

雖然國(guó)內(nèi)關(guān)于徑向基函數(shù)的研究開展的較晚，但是近年來在這一領(lǐng)域也取得了很多成果。王輝等[11]結(jié)合徑向基函數(shù)法和梁的一般解提出了一種無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)解法，通過數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了該算法的有效性和數(shù)值精度。項(xiàng)松等[12]研究了對(duì)稱復(fù)合材料層合板的自由振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)逆復(fù)合二次徑向基函數(shù)在對(duì)稱復(fù)合材料層合板自由振動(dòng)分析方面具有收斂性好及精度高等優(yōu)點(diǎn)。王莉華等[13]采用徑向基函數(shù)配點(diǎn)法研究了考慮剪切效應(yīng)的梁板彎曲問題，聯(lián)立徑向基函數(shù)和最小二乘配點(diǎn)法離散方程，獲得了較好的擬合結(jié)果。類似地，行凱歌[14]采用Hermite徑向基函數(shù)配點(diǎn)法和最小二乘配點(diǎn)法分析層合板的彎曲問題，該方法計(jì)算穩(wěn)定性高，適用于層合板大撓度彎曲問題的控制方程。李森[15]利用構(gòu)造的單位分解徑向基函數(shù)方法研究了2D彈性力學(xué)問題和壓電問題?；诟唠A剪切變形理論和逆復(fù)合二次徑向基函數(shù)無(wú)網(wǎng)格配點(diǎn)法，祖福興等[16]以強(qiáng)非線性梁為研究對(duì)象，提出了一種聯(lián)合徑向基函數(shù)-加權(quán)余量配點(diǎn)求解方法，針對(duì)具體邊值條件，確定了相應(yīng)的徑向基函數(shù)插值表達(dá)式。崔攀等[17]在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的基礎(chǔ)上，構(gòu)造徑向基模型，并根據(jù)均方根誤差準(zhǔn)則提高模型預(yù)測(cè)精度，對(duì)比研究表明該模型在實(shí)際使用中具有較好的優(yōu)勢(shì)。

從文獻(xiàn)回顧中可以發(fā)現(xiàn)，徑向基函數(shù)的精度是限制該方法大范圍應(yīng)用的一個(gè)重要因素，近年來研究人員的工作重心主要集中在優(yōu)化配點(diǎn)提高計(jì)算精度，但是效果并不明顯。鑒于此，在前人工作的基礎(chǔ)上，本文引入遺傳優(yōu)化算法，改進(jìn)徑向基函數(shù)以建立更加準(zhǔn)確的力學(xué)模型。

1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)薄壁結(jié)構(gòu)的彈性理論，在區(qū)間Ω上的靜態(tài)板梁彎曲問題可以通過控制方程和邊界條件方程來表示，即

(1)

式中：w是位移函數(shù)；L為線性微分算子；Ω和?Ω分別表示結(jié)構(gòu)的幾何區(qū)域和邊界；B和u分別表示邊界方程的運(yùn)算符和邊界上的位移條件。與依賴于單元函數(shù)有限元方法相比，徑向基函數(shù)法屬于無(wú)網(wǎng)格算法，是一種基于節(jié)點(diǎn)的計(jì)算方法。基于徑向基函數(shù)，位移函數(shù)w的徑向基表達(dá)為

(2)

式中：c為形狀函數(shù)；φ代表選定的徑向基函數(shù)；r為坐標(biāo)函數(shù)；N為網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量。函數(shù)近似處理中，選用合適的基函數(shù)可以有效提高近似效果。徑向基函數(shù)具有多種選擇，如表1所示。

表1 徑向基函數(shù)

實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，選擇固定的形狀參數(shù)c(均勻網(wǎng)格)可能是造成誤差的主要原因，特別是在邊界處理方面，引起的計(jì)算誤差更加顯著。因此，本文擬采用遺傳算法優(yōu)化徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)c。

遺傳算法尤其適合求解多目標(biāo)組合優(yōu)化問題，其求解速度快、計(jì)算精度高，而且程序開發(fā)成熟。在數(shù)學(xué)表達(dá)上，利用計(jì)算機(jī)仿真運(yùn)算，將優(yōu)化問題過程分解為生物進(jìn)化中的染色體基因的交叉、變異等過程。實(shí)施過程中，首先需要將問題的解編碼為一個(gè)二進(jìn)制序列(也可以直接采用十進(jìn)制編碼)，所有的二進(jìn)制序列在遺傳算法中稱為一個(gè)種群，然后計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、選擇、交叉以及變異，模仿優(yōu)勝劣汰的生物進(jìn)化過程，經(jīng)過多次迭代最終獲得最優(yōu)基因，也就是最優(yōu)解。

2 板的固有特性分析

以板的固有特性分析為例，首先通過結(jié)構(gòu)的靜態(tài)分析和遺傳優(yōu)化分析，確定最佳的形狀函數(shù)c，然后開展結(jié)構(gòu)的固有特性分析。在實(shí)際工程中，可以設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的靜態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)獲取實(shí)際變形，然后通過遺傳優(yōu)化分析獲取最優(yōu)的c值，最后再利用c值進(jìn)行結(jié)構(gòu)的固有特性分析。

2.1 遺傳優(yōu)化分析

對(duì)于均質(zhì)材料和恒定橫截面的板，無(wú)量綱形式的均勻薄板的自由撓曲振動(dòng)的控制方程如下：

(3)

(4)

考慮一個(gè)四面簡(jiǎn)支板，已知撓度具有如下解析形式：

(5)

其中系數(shù)Amn的具體形式為

(6)

采用徑向基函數(shù)近似表示板的位移，即

(7)

結(jié)合公式(6)和公式(7)，定義目標(biāo)函數(shù)

(8)

式中：‖·‖2表示L2范數(shù)(最小二乘數(shù)據(jù)擬合)；WRBF和Wexact分別代表板彎曲變形的徑向基函數(shù)表達(dá)和精確解析表達(dá)。在實(shí)際問題中，結(jié)構(gòu)邊界的處理往往是比較復(fù)雜的，為了更好地解決邊界處的微分條件，可以嘗試Chebyshev網(wǎng)格。在本節(jié)的數(shù)值仿真中，同時(shí)考慮了均勻網(wǎng)格和Chebyshev網(wǎng)格兩種網(wǎng)格模式，如圖1所示。

(a)均勻網(wǎng)絡(luò) (b)Chebyshev網(wǎng)格

在研究中，我們只對(duì)形狀參數(shù)c開展遺傳優(yōu)化分析，遺傳迭代結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，使用遺傳算法可以迅速得到最優(yōu)的形狀函數(shù)值。仿真中以迭代次數(shù)作為程序運(yùn)行截止條件，通過MATLAB軟件編寫了遺傳優(yōu)化算法，迭代截止次數(shù)設(shè)置為100。

圖2 遺傳迭代優(yōu)化過程(11＊11)

采用均勻網(wǎng)格和Chebyshev網(wǎng)格計(jì)算得到的系統(tǒng)第一階振型如圖3所示，使用遺傳優(yōu)化徑向基函數(shù)法得到的模態(tài)和解析解對(duì)比一致，說明了該優(yōu)化方法的有效性。

(a)均勻網(wǎng)格

2.2 固有特性分析

無(wú)量綱化薄板振動(dòng)特征方程可以表示為[10]

λ4w(x,y)，

(9)

式中：a為板的長(zhǎng)度；R為板長(zhǎng)度a和板寬度b的比值。此時(shí)特征值λ和結(jié)構(gòu)的固有頻率ω滿足

(10)

將公式(7)帶入方程(9)得到

(11)

將公式(11)改寫成矩陣形式，并且考慮四面簡(jiǎn)支處位移為零，得到如下公式：

(12)

其中A和B的表達(dá)式分別為

式中φij(x,y)=φ((xj-xi)2+(yj-yi)2+r2)，進(jìn)一步我們可以將公式(13)寫為矩陣形式

(14)

在求解特征方程(14)時(shí)，可以使用如下的替換公式：

A*w=λw，

(15)

表2 四面簡(jiǎn)支板的固有頻率

采用Chebyshev網(wǎng)格可以有效改善邊界處導(dǎo)數(shù)精度，因而顯著提高計(jì)算精度。表3和表4給出了使用均勻網(wǎng)格和Chebyshev網(wǎng)格時(shí)，四面簡(jiǎn)支板的前十階固有頻率值。對(duì)比兩種網(wǎng)格方法可以發(fā)現(xiàn)，使用Chebyshev網(wǎng)格時(shí)，計(jì)算精度更高，第一階頻率的計(jì)算誤差最大是3.5%，第十階頻率的計(jì)算誤差為2.8%。圖4給出了四邊簡(jiǎn)支板的前九階振型，與解析模態(tài)解是完全一致的。

圖4 四面簡(jiǎn)支板的前九階模態(tài)

表3 四面簡(jiǎn)支板的固有頻率(均勻網(wǎng)格)

表4 四面簡(jiǎn)支板的固有頻率(Chebyshev網(wǎng)格)

3 梁的固有特性分析

3.1 梁的模態(tài)分析

與板的固有特性分析類似，首先通過靜態(tài)分析和遺傳優(yōu)化徑向基函數(shù)法得到優(yōu)化后的形狀參數(shù)，然后進(jìn)行兩端簡(jiǎn)支梁的固有特性分析。對(duì)于受均布載荷作用的梁結(jié)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

(16)

式中：EI為抗彎剛度；ρ和A分別表示密度和梁的橫截面面積。對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)分析，忽略慣性項(xiàng)，可以得到梁結(jié)構(gòu)的變形方程為

(17)

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)可知，受均布載荷作用的兩端簡(jiǎn)支梁的變形為

(18)

圖5 梁及Chebyshev網(wǎng)格圖

利用徑向基函數(shù)表達(dá)和解析解(18)設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，用于遺傳優(yōu)化分析，即

(19)

式中WRBF和Wexact分別代表梁彎曲變形的徑向基函數(shù)表達(dá)和精確解析表達(dá)。仿真中通過MATLAB軟件編寫了遺傳優(yōu)化算法，迭代截止次數(shù)設(shè)置為100。針對(duì)N=21和N=31兩種網(wǎng)格數(shù)目進(jìn)行了遺傳優(yōu)化分析，遺傳迭代結(jié)果如圖6所示。可以看出，使用遺傳算法可以迅速得到最優(yōu)的形狀函數(shù)值。

(a)N=21適應(yīng)度

利用基于GA的最佳形狀參數(shù)的徑向基函數(shù)說明了簡(jiǎn)單支撐梁的模態(tài)形狀，最佳形狀參數(shù)使徑向基函數(shù)更加精確。將優(yōu)化后的形狀參數(shù)c帶入彎曲變形的撓度表達(dá)式，解析結(jié)果和RBF求解結(jié)果如圖7所示。對(duì)比這兩種情況可以發(fā)現(xiàn)，即使采用較為稀疏的網(wǎng)格，徑向基函數(shù)近似表達(dá)和解析表達(dá)也幾乎一致，說明了優(yōu)化的有效性。

圖7 兩端簡(jiǎn)支梁的變形

3.2 梁的模態(tài)分析

利用優(yōu)化結(jié)果和徑向基函數(shù)表達(dá)，進(jìn)一步開展了梁結(jié)構(gòu)的固有特性分析。將計(jì)算得到的形狀函數(shù)帶入到梁的特征方程中，便可以求得固有頻率值和對(duì)應(yīng)的振型。前五階模態(tài)如圖8所示。從圖8中可以看出，網(wǎng)格數(shù)目越多，徑向函數(shù)近似表達(dá)越精確，因此得到的模態(tài)曲線越光滑。

圖8 兩端簡(jiǎn)支梁的前五階模態(tài)

表5—表7列出了采用不同徑向基函數(shù)時(shí)，兩端簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的固有頻率值。從列出的頻率中可以發(fā)現(xiàn)，使用具有最佳形狀參數(shù)的徑向基函數(shù)，可以獲得比較精確的固有頻率值，從而顯示了遺傳優(yōu)化徑向基函數(shù)的有效性?？梢钥闯?，網(wǎng)格數(shù)量對(duì)于結(jié)果的影響比較小，也就是說采用遺傳優(yōu)化徑向基函數(shù)法，使用較少的網(wǎng)格點(diǎn)即可以滿足計(jì)算精度要求。對(duì)比表5—表7也可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于梁結(jié)構(gòu)來說，使用IMQ函數(shù)比高斯分布函數(shù)可以取得更加準(zhǔn)確的結(jié)果，因此在梁結(jié)構(gòu)的固有特性分析中，建議采用IMQ徑向基函數(shù)。

表5 兩端簡(jiǎn)支梁的前五階固有頻率 (MQ函數(shù))

表6 兩端簡(jiǎn)支梁的前五階固有頻率 (IMQ函數(shù))

表7 四面簡(jiǎn)支板的前五階固有頻率 (高斯函數(shù))

4 結(jié)論

對(duì)薄壁梁和板的固有特性進(jìn)行了分析，基于遺傳算法和徑向基函數(shù)法求解薄壁板梁結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài),采用遺傳算法對(duì)RBF的形狀參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。使用優(yōu)化的形狀參數(shù)后，可獲得更好的結(jié)果，且本文結(jié)果可以推廣到懸臂梁、兩端簡(jiǎn)支板等結(jié)構(gòu)的固有特性分析，也可以用于復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。具體結(jié)論如下：

(1)使用遺傳算法可以快速獲得優(yōu)化的形狀參數(shù)，提高徑向基函數(shù)的精度。通過比較多二次、逆多二次和高斯插值徑向基函數(shù)法得到的數(shù)值結(jié)果，顯示出形狀參數(shù)c的良好值。

(2)當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量遠(yuǎn)大于模態(tài)求解階數(shù)時(shí)，增加網(wǎng)格數(shù)量對(duì)結(jié)果的影響比較小。

(3)使用Chebyshev網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果要好于使用均勻網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果，對(duì)于板梁結(jié)構(gòu)來說，采用逆多二項(xiàng)式徑向基函數(shù)可以得到較好的結(jié)果。