李雨 張文彬

摘?要：空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)是常用的兩種空氣凈化設(shè)備，二者都是利用物理的方法吸附或者除去空氣中的顆粒物，但具體原理有所不同：空氣凈化器是封閉循環(huán)方式凈化室內(nèi)空氣，而新風(fēng)機(jī)是開(kāi)放循環(huán)方式，不斷吸收新鮮空氣并且排出室內(nèi)舊空氣。除了換氣效果之外，新風(fēng)機(jī)在凈化能力上是否比空氣凈化器更勝一籌呢？本文利用微分方程建立了二者的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)的方法給出了這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)答案。

關(guān)鍵詞：空氣凈化器;新風(fēng)機(jī);微分方程;數(shù)學(xué)模型

1?原理分析

如下圖1所示，空氣凈化器采用閉循環(huán)工作模式，經(jīng)過(guò)凈化后的空氣在室內(nèi)循環(huán)，被空氣凈化器吸入后再次進(jìn)行凈化，室內(nèi)是一個(gè)封閉的整體。新風(fēng)機(jī)的原理是，它不斷地從室外吸入空氣，經(jīng)凈化后吸入室內(nèi)，同時(shí)，在壓力作用下，等體積的室內(nèi)空氣被排出到室外。室內(nèi)與室外始終是交互的。

2?空氣凈化器建模

假設(shè)空間密封良好，與外界沒(méi)有連通。假設(shè)房間的體積為v0，時(shí)刻t0=0時(shí)，空氣中含有顆粒物質(zhì)量為m，空氣中顆粒物濃度為ρ=ρ（t），并且有ρ（0）=m/v0。假設(shè)現(xiàn)有一臺(tái)空氣凈化器，其單位時(shí)間內(nèi)可以過(guò)濾的空氣體積為v，過(guò)濾效率為λ，為了用微積分的方法建立微分方程，考慮在一個(gè)微小的時(shí)間Δt內(nèi)，房間內(nèi)的顆粒物質(zhì)量變化是：

3?新風(fēng)機(jī)建模

假設(shè)房間不密封。新風(fēng)機(jī)單位時(shí)間內(nèi)從室外吸收體積為v，并且將同體積的空氣排出室外。假設(shè)吸入空氣濃度恒定等于初始濃度mv0，而排出空氣濃度等于房間內(nèi)當(dāng)前濃度ρ（t）?？疾鞎r(shí)刻t時(shí)一小段時(shí)間Δt內(nèi)房間內(nèi)空氣中所含顆粒物質(zhì)量變化值：應(yīng)該等于吸入空氣過(guò)濾后所含顆粒物減去排出室外的空氣中所含顆粒物，其等式如下：

4?對(duì)兩種理想情況的分析

4.1?效果

假設(shè)v0=1，此設(shè)房間內(nèi)顆粒物初始濃度為m。令t→+可得，ρ1=0，ρ2=（1-λ）mv0，這說(shuō)明，新風(fēng)機(jī)不能將空氣內(nèi)顆粒物濃度降低到0，其最大極限是1-λ，如果凈化效率是90%，那么終值便是10%。而空氣凈化器，則可以將顆粒物濃度降低到0（假設(shè)濾芯可以吸附任意尺寸顆粒物）。因此，在效果比拼上是空氣凈化器勝出。

4.2?速度

同上，令v0=1，令φ（t）=ρ1-ρ2=me-λvt-（1-λ）m-λme-vt，則：

由于λ<1，因此φ′（t）<0，所以φ（t）單調(diào)遞減，因此當(dāng)t>0時(shí)，φ（t）<φ（0）=0，因此ρ1<ρ2是恒成立的。

4.3?數(shù)據(jù)仿真

假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)能后凈化的空氣占空間體積0.4%，空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)的凈化效率λ分別取0.9，仿真結(jié)果如下圖2所示。

仿真結(jié)果顯示，在凈化速度上，空氣凈化器也較新風(fēng)機(jī)更快一些。

5?非理想狀況下的空氣凈化器建模

以上建模是基于房間完全密封的理想狀況，而在實(shí)際中房間通常不是完全密封的。房間不密封對(duì)于新風(fēng)機(jī)沒(méi)有影響，因?yàn)樾嘛L(fēng)機(jī)的原理就是會(huì)排出空氣，但是對(duì)空氣凈化器有影響?，F(xiàn)在我們假設(shè)房間存在著和外界的空氣交換過(guò)程，并且假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)的交換量為kv，其中k<1。像在（二）中一樣，考察從t到t+Δt內(nèi)一小短時(shí)間內(nèi)室內(nèi)顆粒物質(zhì)量變化，重新建立方程如下：

當(dāng)k=1-λ時(shí)，ρ3=ρ2，此時(shí)凈化器與新風(fēng)機(jī)效果相同，當(dāng)k>1-λ時(shí)，ρ3>ρ2，此時(shí)凈化器的效果不如新風(fēng)機(jī)。一個(gè)典型的仿真結(jié)果如下圖3所示，取λ=0.9，k=0.15>1-λ。

6?總結(jié)

結(jié)合以上的數(shù)學(xué)分析和仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：空氣凈化器和新風(fēng)機(jī)的效果優(yōu)劣很大程度上取決于房間密封的情況。對(duì)于能夠良好密封的房間，空氣凈化器的效果明顯好于空氣凈化器;而對(duì)于非密封房間，則空氣凈化器效果可能反而不如新風(fēng)機(jī)。但是完全密封的房間，可能導(dǎo)致人缺氧、二氧化碳中毒等問(wèn)題，因此，作者認(rèn)為新風(fēng)機(jī)是更好的選擇，特別是在人員比較密集的學(xué)校、商場(chǎng)等公共場(chǎng)所，更是如此。

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