李翼 張本慧 李曉

摘要：針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的教學(xué)中容易出現(xiàn)的諸多問題，以條件概率、全概率公式和極大似然公式為例;引入了互聯(lián)網(wǎng)公司的就業(yè)要求以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識，加強(qiáng)定理定義分解以改善學(xué)生對定理死記硬背的現(xiàn)象，增添趣味案例簡化學(xué)生學(xué)習(xí)定理時的難度。

關(guān)鍵詞：互聯(lián)網(wǎng)背景;概率論;定義分解;趣味案例

中圖分類號：O13? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C

Some understandings of probability theory teaching under

the background of Internet

Li Yi1 Zhang Benhui1 Li Xiao2

1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000;

2.School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000

Abstract：In view of many problems in the teaching of probability theory and mathematical statistics，taking conditional probability，total probability formula and maximum likelihood formula as examples，the employment requirements of Internet companies are introduced to enhance students' learning awareness，strengthen the decomposition of theorem definition to improve students' rote memorization of theorem，and add interesting cases to simplify the difficulty of students' learning theorem

Key words：Internet background;probability theory;definition decomposition;interesting cases

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是高等學(xué)校的基礎(chǔ)課程，難度較大，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。另外，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課知識點(diǎn)眾多，應(yīng)用場景也較多，如何較好地掌握書中的定理和定義是研究的重中之重。

1 教學(xué)問題梳理

互聯(lián)網(wǎng)的興起極大地便利了人民的生活，以騰訊、阿里、華為、順豐為例，每個公司均有大數(shù)據(jù)平臺，大數(shù)據(jù)平臺通過spark、hive等工具對公司的海量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)而得到應(yīng)用層的數(shù)據(jù)以及各類商務(wù)報表。而這個過程中用到的眾多邏輯思維就來自于概率論。而在學(xué)習(xí)這門課時，由于概念和定義過多，而且這門課難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常弄不清事件之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)[1-3];計算概率的公式運(yùn)用不當(dāng)，設(shè)置不知道運(yùn)用哪個公式求解問題;不能正確應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析、運(yùn)算和證明。而目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》存在的教學(xué)的問題如下[4-7]：（1）教學(xué)思維局限。目前普遍存在的現(xiàn)象是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》在授課過程中，教師偏重書中的公式和定理，沒有認(rèn)識到培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和公式推導(dǎo)能力，導(dǎo)致學(xué)生在面對眾多公式時，靠死記硬背而不是自己推導(dǎo)。以全概率公式為例，學(xué)生在面對全概率公式時，記不清公式內(nèi)容，容易死記硬背，在解題過程中容易寫錯公式進(jìn)而做錯。（2）教學(xué)手段單一。目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》在授課過程中，絕大部分教師采用傳統(tǒng)的“定義—定理—例題”的教學(xué)方法，過于依賴課本的定義，而課本的有些定義及教學(xué)定理晦澀難懂，并不引入適當(dāng)?shù)睦樱瑢W(xué)生難以理解。本文將以極大似然估計為例來進(jìn)行講解，如何引入生活中的例子，采用生活化的案例進(jìn)行定義和定理的良好導(dǎo)入。（3）教學(xué)總結(jié)不夠?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》是一門公共基礎(chǔ)課，幾乎高校所有專業(yè)都會開設(shè)，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》在授課過程中，教學(xué)內(nèi)容隨時更新，大量的資料、題型與教學(xué)新思路的出現(xiàn)讓我們不得不進(jìn)行較多的總結(jié)和歸納反思。（4）教學(xué)方法陳舊?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》這門課公式繁多、定理復(fù)雜、題型種類繁多，在課本上給出了眾多的定義和定理。很多教師將其視作單純的數(shù)學(xué)課，沒有充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)參與性和積極性，導(dǎo)致眾多學(xué)生參與度不夠，科學(xué)氛圍不好。

針對以上四點(diǎn)問題，如何對課程進(jìn)行改進(jìn)是問題的重中之重，下面將以全概率公式、條件概率、極大似然估計三個問題點(diǎn)為例，結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)背景對概率論課程的教學(xué)改進(jìn)進(jìn)行詳細(xì)分析。

2 多層面教學(xué)改進(jìn)

例1 增強(qiáng)公司就業(yè)要求引入——以條件概率為例

條件概率的定義，設(shè)A，B是兩個事件，且P（A）>0，稱：

P（B|A）=P（AB）P（A）

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。在條件概率的定義中，等號右邊的P（AB）表示為事件A和事件B的交集。而在實際的解題過程中，很多同學(xué)容易將P（AB）和P（B|A）兩者混淆，其中P（AB）表示A和B一起發(fā)生的概率，而P（B|A）表示事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。在講解兩者的區(qū)別時，應(yīng)加入相關(guān)事件的分析，相關(guān)的意思是當(dāng)前的事件受過去事件的影響，現(xiàn)實生活中有很多事件是相關(guān)事件。

在互聯(lián)網(wǎng)公司的也要求中對條件概率的理解頗深，騰訊面試題有過如下問題：已知一對夫婦有兩個孩子，其中一個是男孩，請教兩個都是男孩的概率。在這個問題中，題干給出了兩個重要的條件：（1）有兩個孩子;（2）其中之一是男孩。而給出的問題是求解兩個孩子都是男孩的概率，這個事件可以拆分為，第一個孩子是男孩，且第二個孩子也是男孩。而問題容易犯錯的點(diǎn)為：已知條件2，其中之一是男孩，容易讓人認(rèn)為事件C（兩個孩子都是男孩的概率）轉(zhuǎn)化為（一個孩子是男孩的概率），從而得出概率為1/2。但是實際上，這是條件概率問題，如果題目已知第一個孩子是男孩或者第二個孩子是男孩，則問題的答案就是1/2。但題目已知條件為其中之一是男孩，正確的解題思路為。首先應(yīng)給出4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，“男男”“男女”“女男”“女女”四種概率相同的情況。當(dāng)已知了其中之一為男孩時，則剔除了“女女”這種情況，剩下三種可能性概率相同，而剩下的三種結(jié)果中，“男男”的比重為1/3，故題目的答案應(yīng)為1/3。

在課堂教學(xué)中引入互聯(lián)網(wǎng)思維的案例，可以有效提高學(xué)生對定義學(xué)習(xí)的自我要求，不在局限于簡單的了解，而是針對重要的定義定理有著深刻的認(rèn)識，進(jìn)而達(dá)到學(xué)習(xí)這門課的根本目標(biāo)。

例2 加強(qiáng)定理分析與分解——以全概率公式的為例

在概率論中，全概率公式是以條件概率為基礎(chǔ)的一個非常重要的公式。全概率公式定義為：設(shè)實驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2…，Bn為S的一個劃分，且P（B）>0（i=1，2，…，n），則：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

稱為全概率公式，而公式的由來為：

P（A）=P（A∩S）

=P（A∩（B1∪B2∪…∪Bn））

=P（A∩B1）∪P（A∩B2）∪…∪P（A∩Bn）

=P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）

而在式中，最后一個等號在應(yīng)用中容易被寫為P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A），在課堂講解時，應(yīng)著引導(dǎo)學(xué)生分析兩個公式之間的區(qū)別。等號左邊需要求解A發(fā)生的概率，而P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A）中P（A）未知，故在推導(dǎo)全概率公式時顯然應(yīng)采用P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

因此在定義定理的講解過程中，教師應(yīng)針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，進(jìn)行充分的講解和假設(shè)。在每個問題進(jìn)行講解時，根據(jù)學(xué)生所犯錯誤，進(jìn)行深入探討，加強(qiáng)師生聯(lián)系，鼓勵學(xué)生提問。

例3 增添趣味案例簡化定理難度——以極大似然估計為例

矩估計和極大似然估計方法是概率論里面非常重要的兩個估計方法，其中學(xué)生普遍反映極大似然估計的理解較為吃力。尤其當(dāng)講解似然函數(shù)時，相當(dāng)一部分學(xué)生難以理解似然函數(shù)的本質(zhì)思想和似然函數(shù)最大化的意義。因此，在課堂教學(xué)中應(yīng)加入趣味案例進(jìn)行定理的生活化引入。

獵人狩獵故事的引入。兩個獵人甲和乙去森林打獵，突然沖出一只野兔，兩人同時舉槍射擊，野兔應(yīng)聲倒下。走近之后發(fā)現(xiàn)野兔的身上只有一個彈孔，來自獵人甲，從以上條件如果用極大似然估計的思想估計哪位獵人的槍法最準(zhǔn)，那么可以推出獵人甲的槍法更好一些。案例分析：根據(jù)極大似然估計的思想“一次實驗就發(fā)生的事件擁有最大的概率”，只進(jìn)行一次射擊，獵人甲就射中了，那我們只能認(rèn)為獵人甲的射法更精準(zhǔn)。

在引入趣味案例后，不僅可以有效降低定理的難度，方便學(xué)生理解定義，消除學(xué)生的畏難情緒，還可以有效活躍課堂氣氛。

3 總結(jié)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是高等學(xué)校的基礎(chǔ)課程，在教學(xué)過程中因其難度較大、定義定理繁多而給教師帶來諸多挑戰(zhàn)。本文結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)就業(yè)要求針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的教學(xué)中容易出現(xiàn)的問題進(jìn)行改進(jìn)，引入了公司就業(yè)要求增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識、加強(qiáng)定理分解以改善課本諸多定理的現(xiàn)象、增添趣味案例簡化學(xué)生學(xué)習(xí)定理時候的難度。通過教學(xué)的不斷改進(jìn)，讓學(xué)生消除對定理定義的恐懼，讓他們認(rèn)識數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，并盡可能地將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到日常生活中。

參考文獻(xiàn)：

[1]方連娣，宋明珠.基于雨課堂的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》混合式教學(xué)模式探究[J].銅陵學(xué)院學(xué)報，2019（3）

[2]鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的改革與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，020（001）：34-37

[3]齊小忠.概率論與數(shù)理統(tǒng)計創(chuàng)新教學(xué)模式初探[J].科學(xué)大眾：科學(xué)教育，2017，000（010）：157

[4]劉煥香，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)探索[J].時代教育（教育教學(xué)），2010

[5]劉蓉.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)方法探討[J].2011年北京服裝學(xué)院學(xué)科專業(yè)建設(shè)年教研論文報告會，2011

[6]姜悅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計創(chuàng)新教學(xué)模式初探[J].科教導(dǎo)刊-電子版（中旬），2017，000（012）：170

[7]劉柏森.“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)改革新探索[J].長春師范大學(xué)學(xué)報，2018，037（006）：162-164

基金項目：安徽省高校自然科學(xué)基金（KJ2020B07，KJ 2019B01）;安徽省高等學(xué)校省級質(zhì)量工程項目（2018jyxm0519，2018kfk166，2019jyxm0201），淮北師范大學(xué)校級質(zhì)量工程項目（kctd18043）

作者簡介：李翼（1995— ），男，碩士，研究方向：統(tǒng)計模型。