周金宇 朱達(dá)偉 王志凌

1.金陵科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，南京，211169 2.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，常州，213001

0 引言

不確定性是客觀世界的重要特征，普遍存在于工業(yè)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造和使用過程。工程問題中，加工尺寸、外載荷、材料等往往存在不確定性，設(shè)計(jì)時(shí)若不考慮這些不確定性，可能得到不可靠的設(shè)計(jì)結(jié)果[1]。近年來，計(jì)算技術(shù)飛躍發(fā)展，考慮不確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法逐步應(yīng)用于航空航天、遠(yuǎn)洋深海、高速機(jī)車、特種裝備等工程領(lǐng)域。其中，基于概率理論和隨機(jī)不確定性的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化(reliability-based design optimization，RBDO)是理論較成熟、應(yīng)用最廣泛的考慮不確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[2]。

根據(jù)優(yōu)化流程的迭代結(jié)構(gòu)，可將RBDO方法分為雙循環(huán)法、單循環(huán)法和解耦法。雙循環(huán)法是解決RBDO問題的最基本方法，具有外層設(shè)計(jì)變量優(yōu)化與內(nèi)層可靠性分析相互耦合的雙層嵌套結(jié)構(gòu)。雙循環(huán)法計(jì)算成本高、效率低，因此學(xué)者相繼提出了單循環(huán)法和解耦法。單循環(huán)法利用近似等效條件替代可靠性約束，避免優(yōu)化循環(huán)內(nèi)嵌的可靠性分析循環(huán)。為進(jìn)一步提高優(yōu)化求解效率，LI等[3]基于可靠設(shè)計(jì)空間，將RBDO問題完全轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化問題；ZHOU等[4]提出的基于順序逼近的兩階段RBDO方法顯著減小了計(jì)算量。對于解耦法，DU等[5]引入偏移向量，將設(shè)計(jì)變量優(yōu)化與可靠性分析解耦分離，提出了序列優(yōu)化與可靠性評估(sequential optimization and reliability assessment, SORA)方法；TORII等[6]提出一種適用于各類可靠性分析方法的通用解耦方法；HAO等[7]提出一種增強(qiáng)步長調(diào)整(enhanced step length adjustment, ESLA)迭代算法和基于二階可靠性分析的逐步增強(qiáng)順序優(yōu)化與可靠性評估方法(SSORA-SORM)。

工程結(jié)構(gòu)RBDO通常面臨的兩大技術(shù)瓶頸是復(fù)雜功能函數(shù)的調(diào)用成本高和可靠度指標(biāo)的求解精度低。一方面，實(shí)際工程計(jì)算中含復(fù)雜功能函數(shù)的問題時(shí)，往往需借助有限元分析等成本高昂的學(xué)科工具。近年來，研究人員借助多項(xiàng)式響應(yīng)面(RSM)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)、支持向量機(jī)(SVM)、克里金(Kriging)模型等代理模型，通過試驗(yàn)樣本的高效訓(xùn)練建立分析變量與復(fù)雜功能函數(shù)之間的簡明映射，在一定程度上解決了復(fù)雜功能函數(shù)調(diào)用成本高的難題，因此功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)不總是算法評估的核心指標(biāo)。另一方面，針對工程結(jié)構(gòu)RBDO中常見的變量非正態(tài)分布(如指數(shù)分布、均勻分布、多峰分布)和功能函數(shù)非線性場合，可靠度指標(biāo)求解的常用方法(FORM、SORM)存在較大誤差，甚至因誤差不可控、迭代不收斂導(dǎo)致方法失效。Monte Carlo模擬(MCS)法是高精度求解方法，但計(jì)算成本極高，一般難以勝任工程結(jié)構(gòu)RBDO的可靠性分析。因此，在可控成本下實(shí)施可靠度指標(biāo)的高精度求解，已成為工程結(jié)構(gòu)RBDO亟待攻克的現(xiàn)實(shí)難題。

上世紀(jì)80年代USHAKOV[8]提出通用生成函數(shù)(universal generating function, UGF)概念以來，UGF法被引入工程領(lǐng)域并取得豐碩成果。文獻(xiàn)[9-11]在多狀態(tài)系統(tǒng)研究領(lǐng)域中應(yīng)用并進(jìn)一步發(fā)展該方法，使之逐步成為系統(tǒng)概率分析的重要工具。LISNIANSKI[12]基于變量離散化思想，利用UGF計(jì)算連續(xù)狀態(tài)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的界后，UGF法逐步擴(kuò)展到具有連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)構(gòu)體系概率分析[13]。

筆者在結(jié)構(gòu)RBDO中引入U(xiǎn)GF，針對隨機(jī)變量為非正態(tài)分布和功能函數(shù)非線性的RBDO問題，提出一種基于UGF的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化策略。通過系列響應(yīng)面建立分析變量與概率指標(biāo)的動態(tài)映射，消除傳統(tǒng)雙循環(huán)法的內(nèi)層循環(huán)；利用UGF法替代傳統(tǒng)矩法完成響應(yīng)面動態(tài)更新過程中的可靠性分析。該方法能在可控的計(jì)算成本內(nèi)顯著提高隨機(jī)變量/參數(shù)非正態(tài)、功能函數(shù)非線性場合的工程結(jié)構(gòu)RBDO的求解精度。

1 結(jié)構(gòu)可靠性分析的UGF法

1.1 連續(xù)型隨機(jī)變量的UGF

對于連續(xù)型隨機(jī)變量s，累積分布函數(shù)及概率密度函數(shù)分別為FS(s)和fS(s)，將s在其定義域(smin,smax)內(nèi)近似均勻離散化為m個(gè)點(diǎn)，分別記作s1、s2、…、sm。離散點(diǎn)si(i=1,2,…,m)對應(yīng)的概率為

(1)

式中，δ為離散步長，δ=(smax-smin)/m。

這樣，可根據(jù)離散數(shù)據(jù)集{(si,pi)|i=1，2，…，m}定義連續(xù)型隨機(jī)變量s的UGF：

(2)

式中，離散值si為隨機(jī)變量的第i個(gè)狀態(tài)值，si=smin+(i-0.5)δ;z為UGF模型中的默認(rèn)字符，僅用于表示函數(shù)結(jié)構(gòu)，無實(shí)際含義。

1.2 基于UGF的可靠性分析

對于涉及n維連續(xù)型隨機(jī)向量S=(S1,S2,…,Sn)的工程結(jié)構(gòu)，可靠性分析可利用式(1)、式(2)獲得S第j個(gè)分量的UGF：

(3)

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為G(S)，G(S)>0時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠，否則失效。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，需對各隨機(jī)變量UGF進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算，獲得描述總體性能分布的結(jié)構(gòu)UGF：

(4)

其中，?G為復(fù)合算子，由復(fù)合算子根據(jù)結(jié)構(gòu)物理內(nèi)涵定義不同變量UGF之間的運(yùn)算規(guī)則。

結(jié)構(gòu)UGF包含總體性能分布信息，可用來計(jì)算各類可靠性指標(biāo)[9]。設(shè)結(jié)構(gòu)的性能分布用UGF表示為

(5)

則依據(jù)該UGF的概率項(xiàng)進(jìn)行條件求和，得到結(jié)構(gòu)可靠度

(6)

其中，M為結(jié)構(gòu)UGF的離散狀態(tài)組合總數(shù)，可考慮對性能值接近的狀態(tài)組合進(jìn)行同類項(xiàng)合并，且通常M≤mn；ψ(·)為條件求和算子；I(·)為示性函數(shù)，當(dāng)其自變量大于0時(shí)取1，否則取0。

由式(6)可知，基于UGF的可靠度計(jì)算原理是，對各隨機(jī)變量離散狀態(tài)組合進(jìn)行條件枚舉。借助UGF復(fù)合算子內(nèi)稟的普適性、遞推性、可分性、互換性等優(yōu)異特性[9]，該方法適用于任意分布的隨機(jī)變量，以及任意形態(tài)的功能函數(shù)。

1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的非均勻離散化

UGF法已在多狀態(tài)系統(tǒng)分析中得到成功應(yīng)用，因存在組合爆炸的壁壘，因此在連續(xù)狀態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析中的應(yīng)用受限。對于連續(xù)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通過低密度離散化將連續(xù)型變量描述為UGF往往達(dá)不到預(yù)期精度，高密度離散化將在后繼復(fù)合運(yùn)算中消耗較高計(jì)算成本，甚至導(dǎo)致組合爆炸，而借助同類項(xiàng)合并的增效技術(shù)在較多場合下無效。因此，本文針對結(jié)構(gòu)RBDO問題，對隨機(jī)變量進(jìn)行非均勻離散化，在減少離散狀態(tài)組合數(shù)的情況下保證可靠度指標(biāo)的求解精度。

非均勻離散化的基本思路是當(dāng)給定的離散狀態(tài)數(shù)m因計(jì)算成本原因而限定為較小值時(shí)，選擇結(jié)構(gòu)RBDO當(dāng)前迭代步的最大概然失效點(diǎn)(most probable failure point, MPP)為敏感點(diǎn)SMPP。以該點(diǎn)為中心，依照等比級數(shù)對各隨機(jī)變量進(jìn)行敏感點(diǎn)密集、邊緣點(diǎn)稀疏的離散化，使SMPP鄰域內(nèi)的離散點(diǎn)密集化，以保證極限狀態(tài)敏感區(qū)的概率分析精度。隨機(jī)變量Si在敏感區(qū)可實(shí)現(xiàn)的最小離散步長為

(7)

式中，simax、simin分別為Si的最小值和最大值；SMPP(i)為SMPP的第i個(gè)分量；q為等比級數(shù)的公比，通常取1

這里的SMPP為極限狀態(tài)超曲面上距離隨機(jī)空間的均值點(diǎn)μS最近的點(diǎn)，通過求解下面的數(shù)學(xué)模型可得敏感點(diǎn)SMPP：

(8)

2 基于UGF的RBDO方法

RBDO求解的代表性數(shù)學(xué)模型為

(9)

2.1 指標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型

分析RBDO數(shù)學(xué)模型不難發(fā)現(xiàn)，不確定性功能函數(shù)Gq(d,X,P)與設(shè)計(jì)點(diǎn)D密切相關(guān)，每個(gè)迭代步的可靠性分析均基于當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)Dk。因此，Dk和該點(diǎn)對應(yīng)的當(dāng)前可靠度指標(biāo)βk之間存在如下映射關(guān)系：

Dk→βk

(10)

確定指標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型時(shí)，可選用不含交叉項(xiàng)的一次和二次響應(yīng)面，這兩種響應(yīng)面模型結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算量小且精度滿足求解要求，各自表達(dá)式分別為

(11)

(12)

式中，nd為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；Dk,i為設(shè)計(jì)點(diǎn)Dk第i個(gè)分量；a、bi、ci為待定系數(shù)。

初始響應(yīng)面的構(gòu)建依賴于初始設(shè)計(jì)點(diǎn)D0鄰域的N對輸入輸出數(shù)據(jù)：

B0=[D0,1D0,2…D0,N]
β0=(β0,1,β0,2, …,β0,N)

式中，B0為初始迭代步的響應(yīng)面輸入數(shù)據(jù)矩陣；D0,i為D0鄰域的第i個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)向量；β0為初始迭代步的響應(yīng)面輸出數(shù)據(jù)向量；β0,i為對應(yīng)輸入數(shù)據(jù)的第i個(gè)可靠度指標(biāo)值。

對于一次響應(yīng)面模型和二次響應(yīng)面模型，N=2nd+1。

首先，確定初始設(shè)計(jì)點(diǎn)D0與初始迭代步的響應(yīng)面輸入數(shù)據(jù)矩陣B0。具體做法是：通過等距抽樣在設(shè)計(jì)空間中生成若干點(diǎn)樣本，對這些樣本進(jìn)行約束函數(shù)評估，選定位于可行域且目標(biāo)函數(shù)值較小的點(diǎn)為初始設(shè)計(jì)點(diǎn)D0。以此為中心，通過下列規(guī)則確定B0中的試驗(yàn)點(diǎn)向量：

(13)

其中，α為調(diào)節(jié)系數(shù)，可取0.05～1。θ(t)(t=1,2,…,n)為擴(kuò)展向量，其分量若與確定性設(shè)計(jì)變量相對應(yīng)，則取值為初始設(shè)計(jì)點(diǎn)到該分量定義域最近邊界的距離；其分量若與不確定性設(shè)計(jì)變量相對應(yīng)，則取值為相應(yīng)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

(14)

式中，βT為許用可靠度指標(biāo)。

2.2 指標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面的動態(tài)更新

圖1 基于UGF的RBDO算法流程

3 算例分析

為比較不同算法的求解精度，計(jì)算最優(yōu)點(diǎn)處可靠度指標(biāo)的相對誤差：

(15)

式中，βMCS為在不同算法最優(yōu)點(diǎn)處采用Monte Carlo模擬求得的可靠度指標(biāo)。

3.1 算例1

本例為通用數(shù)值算例[14]，涉及2個(gè)確定性設(shè)計(jì)變量d1、d2和2個(gè)隨機(jī)參數(shù)X1、X2，且功能函數(shù)為非線性。RBDO數(shù)學(xué)模型為

(16)

其中，X1、X2均服從正態(tài)分布，其均值μ1、μ2分別為5和3，標(biāo)準(zhǔn)差σ1、σ2分別為1.5和0.9；許用可靠度指標(biāo)βT=2.32；隨機(jī)參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取30。

根據(jù)式(11)構(gòu)建迭代開始時(shí)的響應(yīng)面和迭代收斂時(shí)的響應(yīng)面，如圖2所示。不同算法的目標(biāo)函數(shù)值迭代過程如圖3所示，優(yōu)化結(jié)果見表1，其中，N為功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)；算法1為基于FORM的雙循環(huán)法；算法2為SORA法；算法3為本文所提方法，其可靠性分析環(huán)節(jié)由UGF法完成；算法4為本文所提方法的變形，其可靠性分析環(huán)節(jié)由MCS法完成。

(a)迭代開始時(shí)響應(yīng)面

圖3 不同算法目標(biāo)函數(shù)迭代過程

由表1可以看出，所提算法與傳統(tǒng)算法均可收斂到最優(yōu)解。算法3的精度高于傳統(tǒng)方法(算法1和算法2)，算法4的精度更高，但對功能函數(shù)的調(diào)用過多(5×106次)。因此，與傳統(tǒng)方法相比，算法3在計(jì)算成本可控的條件下獲得了更高精度，算法可行。值得一提的是，本例中的隨機(jī)變量均為正態(tài)變量，所以傳統(tǒng)算法也能有效實(shí)施并獲得一定精度。

表1 不同RBDO算法的算例1優(yōu)化結(jié)果

3.2 算例2

本算例涉及設(shè)計(jì)隨機(jī)變量X3和X4，其中，X3服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.6的正態(tài)分布，X4服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.6的均勻分布，兩設(shè)計(jì)隨機(jī)變量的均值μ3和μ4為不確定性設(shè)計(jì)變量。RBDO數(shù)學(xué)模型為

(17)

其中，許用可靠度指標(biāo)βT=2。設(shè)計(jì)隨機(jī)變量的離散狀態(tài)數(shù)取30，不同算法的優(yōu)化結(jié)果見表2。

由表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化求解問題含高度非正態(tài)(如均勻分布)的隨機(jī)變量時(shí)，若采用矩法完成可靠性分析，則當(dāng)量正態(tài)化處理極易導(dǎo)致顯著誤差[15]，因此算法1、算法2均無法收斂到最優(yōu)解，方法失效。算法3和算法4均可收斂到最優(yōu)點(diǎn)，且精度較高。兼顧求解效率，算法3最優(yōu)，解決了傳統(tǒng)算法對高度非正態(tài)隨機(jī)變量無法求解的普遍難題。

表2 算例2不同RBDO算法優(yōu)化結(jié)果

3.3 算例3

短梁結(jié)構(gòu)如圖4所示。矩形截面的高為h、寬為b，自由端受到雙軸彎矩M1、M2和軸向力F作用，材料的屈服強(qiáng)度為Y。

圖4 短梁結(jié)構(gòu)示意圖

確定性設(shè)計(jì)變量d=(b,h)，隨機(jī)參數(shù)P=(M1,M2,F,Y)。各隨機(jī)參數(shù)相互獨(dú)立，其中，M1、M2、Y服從正態(tài)分布，F(xiàn)服從均勻分布，各自統(tǒng)計(jì)信息見表3。該結(jié)構(gòu)RBDO的數(shù)學(xué)模型為

表3 隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計(jì)信息

(18)

其中，許用可靠度指標(biāo)βT=3，隨機(jī)參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取10，不同算法的優(yōu)化結(jié)果見表4。

分析表4數(shù)據(jù)可知，RBDO問題中的隨機(jī)變量增多且存在非正態(tài)(如均勻分布)隨機(jī)變量時(shí)，算法1可以收斂，但在最優(yōu)解處的可靠度不滿足概率約束的要求，求解精度極低；算法2無法收斂，方法失效；算法3以較高精度收斂到最優(yōu)解。算法3為抑制多變量UGF復(fù)合運(yùn)算引發(fā)的組合爆炸，將隨機(jī)變量的離散狀態(tài)數(shù)減為10，但由于算法采用了非均勻離散化技術(shù)，故仍可保證較高的求解精度。

表4 不同RBDO算法的算例3優(yōu)化結(jié)果

3.4 算例4

本算例對單級齒輪傳動減速箱的局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，要求在滿足齒輪強(qiáng)度可靠度R≥0.99的條件下結(jié)構(gòu)總質(zhì)量最小。已知傳動比為3.2，指定齒寬系數(shù)d1、模數(shù)d2、主動輪齒數(shù)d3、主動軸的最小直徑d4、從動軸的最小直徑d5為確定性設(shè)計(jì)變量。齒輪傳動的輸入轉(zhuǎn)矩T服從均值為108.8 N·m、標(biāo)準(zhǔn)差為8.704 N·m的均勻分布；齒輪的彎曲疲勞強(qiáng)度極限σF,lim服從均值380 MPa、標(biāo)準(zhǔn)差30.4 MPa的對數(shù)正態(tài)分布；齒輪的接觸疲勞強(qiáng)度極限σH,lim服從均值500 MPa、標(biāo)準(zhǔn)差44 MPa的對數(shù)正態(tài)分布。該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為

(19)

其中，確定性設(shè)計(jì)變量d=(d1,d2,d3,d4,d5)，隨機(jī)參數(shù)P=(T,σF,lim,σH,lim)，許用可靠度指標(biāo)βT=2.33，隨機(jī)參數(shù)的離散狀態(tài)數(shù)取20，不同算法的優(yōu)化結(jié)果見表5。

表5 不同RBDO算法的算例4優(yōu)化結(jié)果

由表5所示的優(yōu)化結(jié)果可知，由于隨機(jī)變量為均勻分布和對數(shù)正態(tài)分布，且同時(shí)存在2個(gè)概率約束，因此算法1、算法2均無法得到收斂解而失效，算法3可較好地收斂到最優(yōu)解。與算法4相比，算法3的求解精度滿足工程需求并具有更高的求解效率。

4 結(jié)論

(1)針對通常的結(jié)構(gòu)RBDO，本文方法比傳統(tǒng)方法具有更高的求解精度和可控的計(jì)算效率。

(2)RBDO問題涉及非正態(tài)隨機(jī)變量、高度非線性功能函數(shù)時(shí)，傳統(tǒng)方法存在求解精度低或無法收斂的劣勢；本文方法的可靠性分析由UGF法完成，不受隨機(jī)變量非正態(tài)、功能函數(shù)高度非線性的影響，具有較高的魯棒性。

(3)RBDO問題存在高維隨機(jī)空間時(shí)，所提方法可借助非均勻離散化技術(shù)，在保持隨機(jī)變量離散狀態(tài)數(shù)不變的條件下，提高了優(yōu)化求解的精度。