張金柱 史漢卿 王 濤 黃慶學(xué) 姜 力

1.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原，030024 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱，150001 3.太原理工大學(xué)先進(jìn)成形與智能裝備研究院，太原，030024 4.先進(jìn)金屬?gòu)?fù)合材料成形技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，太原，030024

0 引言

機(jī)構(gòu)是機(jī)械裝備的骨架[1-3]，是機(jī)械裝備“形體之美”的決定因素。并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)構(gòu)家族的一個(gè)重要分支，自20世紀(jì)30年代誕生以來(lái)，由于其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)及力學(xué)特性，極大地促進(jìn)了裝備制造業(yè)的發(fā)展[4-6]。經(jīng)過(guò)一代代機(jī)構(gòu)學(xué)學(xué)者的不懈努力，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成了諸多新型的機(jī)構(gòu)簇，如串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)[7-8]、變胞機(jī)構(gòu)[9-11]、折展機(jī)構(gòu)[12-13]、折紙機(jī)構(gòu)[14]等，這些機(jī)構(gòu)簇不僅豐富了機(jī)構(gòu)類(lèi)型，也擴(kuò)展了機(jī)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域[5]。

傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[15-17]具有剛度高、承載能力大、結(jié)構(gòu)緊湊等特性，在一些特定領(lǐng)域[18-21]取得了很好的應(yīng)用效果，但它在移動(dòng)加工作業(yè)、大型結(jié)構(gòu)件加工等領(lǐng)域應(yīng)用的過(guò)程中逐漸暴露出結(jié)構(gòu)局限性。為彌補(bǔ)傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的缺陷，許多學(xué)者致力于廣義并聯(lián)機(jī)構(gòu)[22]的研究。有別于傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這類(lèi)機(jī)構(gòu)不局限于“動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)之間并聯(lián)連接有多條獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈”的結(jié)構(gòu)形式。ZENG等[23-24]提出一種具有空間多環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈的機(jī)構(gòu)型綜合方法；DING等[25]提出了具有耦合鏈的空間機(jī)構(gòu)型綜合方法；XIE等[26]提出的新型空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的兩條支路具有閉環(huán)結(jié)構(gòu)，即在平面單閉鏈的基礎(chǔ)上附加轉(zhuǎn)動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)支鏈，顯著提高了機(jī)構(gòu)的剛度和承載能力。這些廣義并聯(lián)機(jī)構(gòu)的出現(xiàn)不僅擴(kuò)大了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的概念，而且拓展了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用范圍。

本文提出了一種具有三移動(dòng)和二轉(zhuǎn)動(dòng)的多分支耦合五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，得到正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，繪制了可達(dá)工作空間，分析了機(jī)構(gòu)位置分辨能力。

1 五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

筆者提出的五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)(5-DOF parallel driving mechanism，5-DOF PDM)如圖1所示。為準(zhǔn)確地描述機(jī)構(gòu)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)鏈，結(jié)合方位特征(position and orientation characteristic，POC)集[3]對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)劃分與描述。該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)包括兩部分：第一部分即第一驅(qū)動(dòng)分支由單開(kāi)鏈SOC{-R2(⊥P2)∥R3-}、SOC{-R6(⊥P4)∥R5-}、SOC{-R1∥R4-}并行組成，幾何約束為R1∥R2∥R6，其中，“-”表示運(yùn)動(dòng)副軸線為任意配置，“∥”表示運(yùn)動(dòng)副軸線平行，“⊥”表示運(yùn)動(dòng)副軸線垂直，R、P分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副；第二部分即第二驅(qū)動(dòng)分支由SOC{-S3-P1-R7-}和SOC{-S4-P3-R8-}并行組成，幾何約束為R7∥R8，其中，S表示球副。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可表示為單回路運(yùn)動(dòng)鏈(single-loop-chain,SLC){-R4(-S1)∥R9∥R10-S2-}。第一驅(qū)動(dòng)分支通過(guò)R3、R4和R5連接執(zhí)行機(jī)構(gòu)的上部，各轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線間的幾何約束為R1∥R3∥R4∥R5。第二驅(qū)動(dòng)分支通過(guò)R11與執(zhí)行機(jī)構(gòu)下部連接，各轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線間的幾何約束為R7∥R11和R9⊥R11。將第一、二驅(qū)動(dòng)分支交叉，幾何約束為◇S3R7R8S4⊥◇R2R3R5R6，將R1、R2、R6、S3和S4的軸線和中心點(diǎn)固定，形成靜平臺(tái)。執(zhí)行機(jī)構(gòu)末端與第二驅(qū)動(dòng)分支末端交叉形成動(dòng)平臺(tái)。選擇R3、R4、R5、R7和R8作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)輸入點(diǎn)，可完成三移動(dòng)輸出和二轉(zhuǎn)動(dòng)輸出。

(a)5-DOF PDM 模型

1.2 機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

1.2.1執(zhí)行機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

本文采用POC集法對(duì)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，為便于讀者理解，選擇與機(jī)器人機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[3]一樣的標(biāo)注方式。執(zhí)行機(jī)構(gòu)由支路SOC1{-R4(-S1) ∥R9-}和SOC2{-R4(-S2)∥R10-}組成，選擇動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)作為基點(diǎn)O′，則支路SOC1和SOC2的POC集分別為

Mbz1=

Mbz2=

式中，ρ為S1、S2副中心點(diǎn)到基點(diǎn)的徑矢。

機(jī)構(gòu)的POC集的獨(dú)立元素?cái)?shù)不能大于機(jī)構(gòu)自由度[3]，SOC1和SOC2支路的自由度均為5，因此Mbz1和Mbz2中只能有5個(gè)獨(dú)立元素，另一個(gè)為非獨(dú)立元素。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξLSLC=dim.{Mbz1∪Mbz2}=5

故執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自由度為

式中，m為運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù);fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度。

則新執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自由度為

新老執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自由度相等，根據(jù)消極運(yùn)動(dòng)副判定準(zhǔn)則[3]可知，S1的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)中不包括R(S1-R9)。類(lèi)似地，可判定S2的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)中也不包括R(S2-R10)。因此，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的POC集為

式中，O1為S1的轉(zhuǎn)動(dòng)中心；O2為S2的轉(zhuǎn)動(dòng)中心。

1.2.2第一驅(qū)動(dòng)分支拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

第一驅(qū)動(dòng)分支可視為SOC3{-R2(⊥P2)∥R3-}、SOC4{-R6(⊥P4)∥R5-}和SOC5{-R1∥R4-}的并聯(lián)，仍以O(shè)′為基點(diǎn)，則各支路SOC3、SOC4和SOC5的POC集分別為

確定由SOC3和SOC5組成的第一個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξL1=dim.{Mbq3∪Mbq5}=3

則由SOC3和SOC5組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度

子并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端的POC集為

第一驅(qū)動(dòng)分支剩余獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξL2=dim.{MPa(3-5)∪Mbq4}=

則第一驅(qū)動(dòng)分支的自由度

對(duì)應(yīng)的POC集為

MPa1=MPa(3-5)∩Mbq4=

基于驅(qū)動(dòng)副判定準(zhǔn)則[3]，容易判定R1、P2和P4可同時(shí)作為驅(qū)動(dòng)副，因此，第一驅(qū)動(dòng)分支可為執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供二移動(dòng)和一轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)輸入。

1.2.3第二驅(qū)動(dòng)分支拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

第二驅(qū)動(dòng)分支可視為SOC6{-S3-P1-R7-}和SOC7{-S4-P3-R8-}的并聯(lián)，選擇動(dòng)平臺(tái)上一點(diǎn)O″作為基點(diǎn)，則支路SOC6和SOC7的POC集分別為

Mbq6=Mbq7=

其中，ρ1為S3、S4副中心點(diǎn)到基點(diǎn)的徑矢，SOC6和SOC7支路的自由度均為5，故Mbq6和Mbq7有5個(gè)獨(dú)立元素，第二驅(qū)動(dòng)分支獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξL3=dim.{Mbq6∪Mbq7}=5

則第二驅(qū)動(dòng)分支的自由度為

設(shè)S3轉(zhuǎn)動(dòng)中心為O3，S4轉(zhuǎn)動(dòng)中心為O4，容易判斷S3的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)中不包括R(S3-R7)。類(lèi)似地，S4的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)中也不包括R(S4-R8)。則第二驅(qū)動(dòng)分支末端的POC集為

仍以O(shè)″為基點(diǎn)，則5-DOF PDM的POC方程為

在不影響5-DOF PDM末端運(yùn)動(dòng)特征的基礎(chǔ)上，于第二驅(qū)動(dòng)分支與執(zhí)行機(jī)構(gòu)末端交叉點(diǎn)設(shè)置同軸轉(zhuǎn)動(dòng)副R11，幾何約束為R7∥R11，可使得機(jī)構(gòu)具有部分解耦的特性。選擇P1和P3為驅(qū)動(dòng)副，則第二驅(qū)動(dòng)分支可為執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供一移動(dòng)和一轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)輸入。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

設(shè)該機(jī)構(gòu)主要的幾何參數(shù)為R1R2=R1R6=a1，S3R1=S4R1=a2，R9R11=R10R11=b1，R7R11=R8R11=b2，R1R4=l1，R3R4=l2，R4R5=l3，R5S2=l4，R3S1=l5，S1R9=l6，S2R10=l7，S3R7=LP1，R2R3=LP2，S4R8=LP3，R6R5=LP4。如圖2所示，以R2R6的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系{J}:O0X0Y0Z0，以S1S2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立參考坐標(biāo)系{C}:OcXcYcZc、動(dòng)參考坐標(biāo)系{DC}:OdcXdcYdcZdc，以R9R10的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立工具坐標(biāo)系{W}:OwXwYwZw，其中,X0∥R2R6，Y0∥S3S4，Xc∥S1S2，Zc⊥S1S2，Xdc∥S1S2，Zdc∥OcOw，Xw∥R9R10，Yw∥R7R8，Z0、Yc、Ydc和Zw通過(guò)右手螺旋定則確定。設(shè)θ1為S1R4與X0負(fù)方向的夾角，θ2為S2R4與X0正方向的夾角，θ3和θ4為R7S3和R8S4與S3S4的夾角，θ5和θ6為R3R2和R5R6與R2R6的夾角，θ7為S1S2與S1R9的夾角。θ8為{DC}繞Xc的旋轉(zhuǎn)角，β1為R1R4繞Y0的旋轉(zhuǎn)角，并規(guī)定旋轉(zhuǎn)角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為正值，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)值。

圖2 5-DOF PDM機(jī)構(gòu)位姿描述

(1)

式中，T、R分別為4×4的平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

(2)

β2=β1-θ1/2+θ2/2

g3=-(l2+l5)sin((θ1+θ2)/2)

其中，Xdt、Ydt、Zdt分別為從{J}到{C}變換過(guò)程中的中間過(guò)渡坐標(biāo)系的X軸、Y軸和Z軸。

(3)

α0=arcsin(yg5)g5=‖OcOw‖

(4)

根據(jù)式(1)可得

(5)

式中，WR7、WR8分別為R7和R8在{W}中的位置向量；JS3、JS4分別為S3和S4在{J}的位置向量。

聯(lián)立式(1)～式(4)，結(jié)合式(5)，可建立位姿方程組Eq：

(6)

σ1=l1sinβ1σ2=l1cosβ1σ3=b2cosα

σ4=b2sinαsinβσ5=b2sinαcosβ

τ1=2β-θ2τ2=2β1-β

2.2 機(jī)構(gòu)的速度分析

2.2.1第一驅(qū)動(dòng)分支速度分析

對(duì)第一驅(qū)動(dòng)分支進(jìn)行分析，建立復(fù)數(shù)方程：

l1exp(i(3π/2+β1))+l2exp(i(2π-θ2))+LP4exp(iθ6)=a1

(7)

l1exp(i(3π/2+β1))+l2exp(i(π+θ1))+LP2exp(i(π-θ5))=-a1

(8)

對(duì)式(7)、式(8)求導(dǎo)并用歐拉公式展開(kāi)，令實(shí)部相等，可得

(9)

(10)

基于式(9)、式(10)，通過(guò)構(gòu)造矩陣可得

qpo=JC1qpi

(11)

在固定坐標(biāo)系中，點(diǎn)S2和Oc可表示為

(12)

(13)

對(duì)式(12)、式(13)求導(dǎo)，并建立點(diǎn)S2和Oc與第一驅(qū)動(dòng)分支的速度映射關(guān)系：

vs2p=JSqpo

(14)

voc=JCqpo

(15)

JC=

2.2.2第二驅(qū)動(dòng)分支速度分析

第二驅(qū)動(dòng)分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)回路方程可寫(xiě)為

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得

(17)

式中，Jvow為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在{J}下的線速度；Jωow為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)在{J}下的角速度。

則第二驅(qū)動(dòng)分支的雅可比矩陣為

(18)

2.2.3執(zhí)行機(jī)構(gòu)速度分析

對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，根據(jù)Oc、S2和Ow在各個(gè)坐標(biāo)系中的幾何關(guān)系可得：

(19)

(20)

(21)

(22)

在{DC}中，Ow0和S20坐標(biāo)分量與θ7之間的關(guān)系為

zow0=-l6sinθ7

(23)

xs20=b1+l6cosθ7

(24)

對(duì)式(19)～式(22)求導(dǎo)可得

(25)

(26)

(27)

(28)

式中，vs2c、vs20分別為點(diǎn)S2在{C}和{DC}的速度矢量；vowc、vow0分別為點(diǎn)Ow在{C}和{DC}的速度矢量。

對(duì)式(23)、式(24)求導(dǎo)，并構(gòu)造矩陣可得vowc和vs2c的映射關(guān)系：

vs2c=J4J3vowc

(29)

聯(lián)立式(25)～式(29)可得

(30)

將式(14)、式(15)代入式(30)可得

(31)

JS2C=

θA=(θ2-θ1)/2

由執(zhí)行機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)可知，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)Ow在{J}中的角速度Jωow可表示為

(32)

結(jié)合式(31)可得

(33)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

Jωow=J10qpi

(34)

則該機(jī)構(gòu)的全雅可比矩陣J可寫(xiě)為

(35)

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

由于位姿變量和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量存在如下關(guān)系：

(36)

式中，Δχ為動(dòng)平臺(tái)的位姿變量；Δq為各個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的變量；t為時(shí)間。

故根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系可知：

Δχ=χ(q0+Δq)-χ(q0)≈J-1Δq

(37)

令q=q0+Δq，即Δq=q-q0，式(37)可寫(xiě)為

χ(q)≈χ(q0)+J-1(q-q0)

(38)

根據(jù)式(6)可得機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量為q0時(shí)的位姿(q0，χ(q0))，結(jié)合式(38)可以得到機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量為q時(shí)的一個(gè)近似位姿：

(q,χ(q))≈χ(q0)+J-1(q-q0)

(39)

(40)

(41)

由此可得五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的牛頓迭代法。為驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的結(jié)果，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，對(duì)于給定的參考軌跡，由式(6)可以得到運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，如圖3所示，各驅(qū)動(dòng)器的解唯一確定。將逆解的部分結(jié)果作為式(41)的輸入，并將式(41)的計(jì)算結(jié)果與參考軌跡進(jìn)行比較，圖4所示為運(yùn)動(dòng)學(xué)正解與期望運(yùn)動(dòng)的差別，結(jié)果表明，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解與期望軌跡幾乎完全一致，仿真結(jié)果驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解公式的正確性。

圖3 5-DOF PDM給定軌跡的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

(a)位置正解與期望位置之差

3 工作空間分析

利用CAD變分幾何法[27-28]研究機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，如圖5所示，在CAD軟件中建立5-DOF PDM的仿真模型，給定驅(qū)動(dòng)副P(pán)i(i=1，2，3，4)的桿長(zhǎng)上限LPimax和下限LPimin，給定驅(qū)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)角上限β1max和下限β1min，并給定各個(gè)驅(qū)動(dòng)副的增量ΔLP和Δβ，機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間可由多個(gè)曲面族包絡(luò)而成，其構(gòu)造過(guò)程如下：

圖5 5-DOF PDM模擬機(jī)構(gòu)及其可達(dá)工作空間

(1)設(shè)置固定尺寸，令a1=645 mm，a2=455 mm，b1=165 mm，b2=85 mm，l1=370 mm，l2=l3=300 mm，l4=l5=110 mm，l6=l7=525 mm。

(2)設(shè)置各驅(qū)動(dòng)副的極限值，令β1min=-18°；β1max=18°；ΔLP=5 mm；Δβ=1°；LP1min=LP3min=900 mm；LP1max=LP3max=1340 mm；LP2min=LP4min=596 mm；LP2max=LP4max=775 mm；β1=β1min+j1Δβ，j1=0,1，…，n1；LP1=LP1min+j2ΔLP，j2=0,1，…，n2；LP3=LP3min+j3ΔLP，j3=0,1，…，n2；LP2=LP2min；n1=(β1max-β1min)/

Δβ；n2=(LPimax-LPimin)/ΔLP。

(3)設(shè)置j1=j2=j3=0，以ΔLP為L(zhǎng)P4的增量，逐次修改LP4，并記錄動(dòng)平臺(tái)中心的位姿，提取其中的位置參數(shù)，運(yùn)用CAD軟件的擬合曲線功能可獲得一條曲線。

(4)當(dāng)j1從1取到n1時(shí)，重復(fù)步驟(3)的操作可獲得一個(gè)曲線組，利用CAD軟件可將其擬合為一個(gè)曲面。

(5)令j1=j2=0，當(dāng)j3從1取到n2時(shí)，重復(fù)步驟(3)、(4)可獲得曲面族。

(6)令j1=0，當(dāng)j2從1取到n2時(shí)，重復(fù)步驟(3)～(5)可獲得曲面族。

(7)完成以上步驟即可獲得由多個(gè)曲面族包絡(luò)而成的修磨機(jī)械臂可達(dá)工作空間。

研究發(fā)現(xiàn)，由于機(jī)構(gòu)具有部分解耦的特性，P1和P3可驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在局部位置進(jìn)行靈活的姿態(tài)調(diào)整，使得機(jī)構(gòu)在局部具有較大位置工作空間和姿態(tài)工作空間。

在圖5中可達(dá)工作空間求解結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮構(gòu)件間的干涉和局部約束條件(即θmin≤θ≤θmax，θ為P1與R7R8的夾角)，對(duì)α角的最大轉(zhuǎn)角進(jìn)行測(cè)量，圖6為α角的示意圖。最終測(cè)量得α轉(zhuǎn)角值最大可達(dá)102°。

圖6 α角示意圖

4 機(jī)構(gòu)位置分辨能力分析

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作為機(jī)器人的動(dòng)力源，其各項(xiàng)參數(shù)直接關(guān)系到機(jī)器人的性能，其中，機(jī)器人定位性能與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)分辨率密切相關(guān)。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)分辨率(resolution of drive system，RDS)指各驅(qū)動(dòng)器的單位位移或轉(zhuǎn)角，是機(jī)器人基礎(chǔ)配置的固有屬性。機(jī)構(gòu)構(gòu)型確定時(shí)，為獲得更好的定位性能及精度，通常使用高成本、高分辨率的電機(jī)，在一定程度上導(dǎo)致成本增加及資源浪費(fèi)。因此，研究機(jī)構(gòu)位置分辨能力對(duì)機(jī)構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域甄選與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化配置具有明顯價(jià)值。實(shí)際應(yīng)用中， RDS改變了機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿的連續(xù)性，機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間向操作空間映射的結(jié)果往往偏離預(yù)定軌跡，故在精密機(jī)械加工過(guò)程中，需要對(duì)軌跡規(guī)劃提出更嚴(yán)格的要求。對(duì)于具有多分支耦合的并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)而言，由于閉合運(yùn)動(dòng)鏈的耦合特性，機(jī)構(gòu)理論軌跡的精確實(shí)現(xiàn)將更復(fù)雜且具有挑戰(zhàn)性。

對(duì)于五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)副中的移動(dòng)副，本文通過(guò)滾珠絲杠的結(jié)構(gòu)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文考慮的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)包括滾珠絲杠的導(dǎo)程Ph(mm)和伺服電機(jī)編碼器的測(cè)量步距角r(°)，暫不考慮電子齒輪比和電機(jī)減速比。因此對(duì)于規(guī)劃軌跡的各點(diǎn)，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量Δq=(Δβ1,ΔLP2,ΔLP4,ΔLP1,ΔLP3)有如下關(guān)系：

(42)

其中，Δq*(i)為考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)后第i個(gè)驅(qū)動(dòng)器的實(shí)際變化量；Δq(i)為任意兩個(gè)規(guī)劃軌跡點(diǎn)間第i個(gè)驅(qū)動(dòng)器的理想變化量；[·]為向無(wú)窮大取整函數(shù)。

對(duì)于預(yù)定軌跡上的一點(diǎn)，設(shè)χI為機(jī)構(gòu)理想的位姿，χ*為考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)后的實(shí)際位姿，則定義全域位置敏感度系數(shù)指標(biāo)κ為

(43)

式中，?為位置工作空間。

當(dāng)機(jī)構(gòu)以一定的姿態(tài)沿不同方向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)式(41)～式(43)可得不同工況下的位置敏感度系數(shù)指標(biāo)圖譜，如圖7所示，可見(jiàn)RDS對(duì)機(jī)構(gòu)位置有一定程度的影響。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)一定的情況下，當(dāng)機(jī)構(gòu)的作業(yè)軌跡平行于Y軸時(shí)，RDS對(duì)機(jī)構(gòu)的影響最?。划?dāng)機(jī)構(gòu)的作業(yè)軌跡平行于Z軸時(shí)次之。記K=μX+νZ(μ、ν≠0)；當(dāng)機(jī)構(gòu)的作業(yè)軌跡平行于K軸時(shí)，機(jī)構(gòu)的位置分辨能力對(duì)初始姿態(tài)較為敏感。

(a)平行于Z軸軌跡位置敏感度系數(shù)

具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿Z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，初始姿態(tài)α和β需要盡可能規(guī)避α=-25°、α=25°、β=-18°和β=18°；當(dāng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿Y軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，初始姿態(tài)α和β需要盡可能規(guī)避α=0°、β∈(-18°，-12°)∪(-2°，2°)∪(12°，18°)，當(dāng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿K軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，初始姿態(tài)α和β需要盡可能規(guī)避α=-25°～25°、β∈(-18°，-12°)∪(12°，18°)。

5 結(jié)論

(1)提出了一種具有三移動(dòng)和二轉(zhuǎn)動(dòng)的五自由度并聯(lián)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，分析了機(jī)構(gòu)自由度及機(jī)構(gòu)末端的運(yùn)動(dòng)特征，明確了機(jī)構(gòu)末端的轉(zhuǎn)動(dòng)特性和解耦特性。

(2)建立了機(jī)構(gòu)的位置逆解模型、全雅可比矩陣和正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，并對(duì)理論模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，理論與仿真的結(jié)果誤差非常小。

(3)定義了該機(jī)構(gòu)的全域位置敏感度系數(shù)，闡明了特定工況下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)分辨率對(duì)機(jī)構(gòu)位置分辨能力的影響規(guī)律。