于瑩，林曉烘，周夢嬋

（1.海軍工程大學(xué)，湖北武漢,430032；2.武漢市建設(shè)學(xué)校，湖北武漢,430051）

0 引言

在各向同性噪聲場中，當(dāng)相鄰陣元間距小于半個(gè)波長時(shí)，端射線陣的陣列增益比傳統(tǒng)的波束形成器增加很多，這是眾所周知的端射線陣超增益現(xiàn)象。在各向同性球面噪聲場中，具有M個(gè)非常緊密陣元間距的線陣可以實(shí)現(xiàn)接近M2的超增益[1]。

然而，由于這些高調(diào)諧系統(tǒng)對于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中遇到的微小隨機(jī)誤差極度敏感，所以在實(shí)際應(yīng)用中無法獲得最佳性能的理論增益[2]。如果違反傳感器陣列的一些基本設(shè)置，則性能下降。對角加載類算法就是最常見的穩(wěn)健方法之一[3]。然而，對角加載類算法的主要問題是如何選擇對角加載量。

陣列傳感器的通道幅相誤差和陣元位置誤差在各陣元之間彼此獨(dú)立，這與空間白噪聲在各陣元之間的關(guān)系極其相似，所以誤差對波束形成器的影響與空間白噪聲對波束形成器的影響其實(shí)是一樣的[4]。Cox等人[5]提出使用所謂白噪聲增益約束算法來獲得對角加載量的合理值。遺憾的是，對角加載量與白噪聲增益約束的參數(shù)之間并不是簡單的關(guān)系，為了滿足這個(gè)約束，需要多步迭代過程來調(diào)整對角加載量[5]。

對于一個(gè)任意M元矢量傳感器陣列，窄帶波束形成器的輸出可以表示為

其中k 是時(shí)間因子，x(k)是陣列接收的復(fù)矢量信號，w是波束形成器4M×1維的復(fù)加權(quán)向量，(?)H表示共軛轉(zhuǎn)置。陣列接收的數(shù)據(jù)向量為可以寫成

由式(8)可以發(fā)現(xiàn)，真實(shí)的波束響應(yīng)幅度平方的期望值可以寫成兩部分之和，第一部分是波束響應(yīng)的平方整體乘上一個(gè)衰減的指數(shù)因子，這會使波束響應(yīng)整體減?。ㄟ_(dá)不到0dB），但是不會對陣增益的大小有影響，而第二部分是MVDR的加權(quán)向量二范數(shù)的平方乘上不同誤差的方差，導(dǎo)致陣增益下降的正是這一部分，它會使波束旁瓣響應(yīng)的期望值增加，后端的算法處理不能夠直接減小誤差的方差，所以只能選擇盡可能地減小加權(quán)向量的二范數(shù)。

1 白噪聲增益約束波束形成優(yōu)化問題的轉(zhuǎn)化

2 穩(wěn)健波束形成的二階錐規(guī)化求解方法

二階錐規(guī)劃是一類特殊的優(yōu)化問題，它是凸規(guī)劃問題的一個(gè)子集。二階錐規(guī)劃問題就是在滿足一組二階錐約束及線性等式與不等式約束條件下使某線性函數(shù)最小化。參考文獻(xiàn)概述二階錐規(guī)劃的實(shí)例和應(yīng)用。

凸二階錐優(yōu)化可由SeDuMi內(nèi)點(diǎn)求解器建立，SeDuMi可同時(shí)處理二階錐和線性約束。在SeDuMi中，將凸錐優(yōu)化問題的對偶形式定義為

綜上所述，將穩(wěn)健的波束形成問題（18）轉(zhuǎn)化為使用標(biāo)準(zhǔn)高效的內(nèi)點(diǎn)法軟件工具如SeDuMi的SOCP問題，其所需要的計(jì)算量為O(12M3)[10]。

3 仿真分析

假設(shè)10元均勻圓陣的圓心坐標(biāo)為(0,0)，現(xiàn)用MATLAB依據(jù)仿真條件表示出10元圓陣各個(gè)陣元的位置如圖1所示。

圖1 圓陣各個(gè)陣元的位置

在無陣列傳感器誤差和陣列誤差的幅度和相位標(biāo)準(zhǔn)偏差為σg=0.1，σφ=0.5°的情況下分別畫出CBF、純MVDR波束形成和WNC波束形成的陣列增益和頻率之間的關(guān)系如圖2所示。

圖2 存在通道幅相誤差時(shí)3種波束形成陣列增益和頻率的關(guān)系

從圖2可以看出，當(dāng)頻率較低時(shí)，CBF的穩(wěn)健性非常好，不受仿真中給定的陣列傳感器誤差的影響，然而純MVDR波束形成的性能急劇下降，陣列增益甚至低于CBF，因?yàn)樵诘皖l帶，白噪聲增益太小。頻率越低，純MVDR過程的穩(wěn)健性越差。而WNC波束形成的陣列增益在存在通道誤差的情況下只下降一點(diǎn)點(diǎn)。WNC波束形成表現(xiàn)出了抗陣列傳感器誤差的極佳穩(wěn)健性。

對于存在隨機(jī)陣列位置擾動(dòng)的情況，假設(shè)擾動(dòng)是具有標(biāo)準(zhǔn)偏差σp的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值高斯隨機(jī)變量，其中σp=0，0.005m，0.01m和0.02m。畫出純MVDR波束形成的陣列增益在不同σp2下和頻率關(guān)系的圖象如圖3。陣列擾動(dòng)導(dǎo)致陣列流形向量不匹配。波束形成器試圖消除失配信號，陣列增益尤其是低頻處的陣列增益下降。σp2越大，陣列增益下降的越多。

圖3 MVDR陣列增益在不同下和頻率的關(guān)系

WNC過程的陣列增益在不同σp2下和頻率的關(guān)系如圖4所示?？梢钥闯鲫嚵性鲆嬷辉诘皖l處下降一點(diǎn)。在陣列位置擾動(dòng)誤差存在的情況下，WNC波束形成有良好的穩(wěn)健性。

圖4 WNC陣列增益在不同下和頻率的關(guān)系

4 結(jié)論

MVDR在低頻時(shí)具有超增益的現(xiàn)象。近幾年，圓陣的超增益現(xiàn)象及其穩(wěn)健性問題受到越來越多的關(guān)注。圓陣的超指向陣列增益雖然不像端射線陣那么極端，但在各向同性噪聲場中，當(dāng)陣元間距小于半個(gè)波長時(shí)，其性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的波束形成器。然而，最優(yōu)波束形成算法對陣列特性中的微小誤差非常敏感。如果違反傳感器陣列的一些基本設(shè)置，它的性能將會下降。因此，可以采用白噪聲增益約束（white noise gain constraint，WNC）算法來提高超增益波束形成受隨機(jī)誤差擾動(dòng)影響的魯棒性。本文證明了穩(wěn)健的超增益波束形成可以用二階錐規(guī)劃（SOCP）或者數(shù)值計(jì)算的方法公式化，且用上述方法簡便地求解，并給出了計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果來說明所提出的方法。