鄭博升 黃馬樂(lè) 謝雨烽

(上海電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院,上海200090)

1 概述

在生產(chǎn)過(guò)程中，使用回焊爐加熱電路板自動(dòng)焊接電子元件，因此保持回焊爐的各部分工藝要求的溫度十分重要，需要通過(guò)機(jī)理模型來(lái)對(duì)回焊爐進(jìn)行分析研究。

通過(guò)溫度傳感器測(cè)試不同位置上焊接區(qū)域中心的溫度為爐溫曲線。附件給出一次實(shí)驗(yàn)的爐溫曲線，知道各小溫區(qū)設(shè)定溫度、傳送帶的過(guò)爐速度、焊接區(qū)域的厚度。溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到30℃時(shí)開(kāi)始工作，電路板進(jìn)入回焊爐開(kāi)始計(jì)時(shí)。

基于以上背景，本文將解決以下問(wèn)題：建立溫度變化數(shù)學(xué)模型。在所建模型的基礎(chǔ)上，給出制程要求列出數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，應(yīng)用MOPSO粒子群算法求解得到回焊爐的最優(yōu)參數(shù)。

2 模型建立與求解

2.1 回焊爐各個(gè)位置的溫度變化模型

如圖1所示，假設(shè)平壁的壁厚為δ，平壁的兩個(gè)表面溫度分別維持在T1和T2，且無(wú)內(nèi)熱源。由于是一維的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，因此可得微分方程：

圖1 平壁熱導(dǎo)分析

已知邊界條件：當(dāng)x=0時(shí)，T=T1；當(dāng)x=δ時(shí)，T-T2。代入可知：

因此，平壁的溫度分布為：

由于小溫區(qū)是有內(nèi)熱源的，所以在其范圍內(nèi)溫度均為設(shè)定值，此外邊界附近的溫度受到相鄰溫區(qū)溫度的影響范圍不大，忽略不計(jì)。

2.2 焊接區(qū)域中心溫度變化模型

由于是強(qiáng)制對(duì)流換熱，因此使用牛頓冷卻定律可以和實(shí)際符合較好。根據(jù)牛頓冷卻公式可知，當(dāng)物體表面與周?chē)嬖跍囟炔顣r(shí)，單位時(shí)間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比，由此可得傳熱的微分方程：

其中，λ是熱傳遞系數(shù)；A是受熱面的面積；Ts（t）是電路板經(jīng)過(guò)回焊爐各個(gè)位置的溫度；T（t）是電路板焊接區(qū)域中心的溫度。

根據(jù)比熱容的公式可得：

當(dāng)時(shí)間Δt取無(wú)窮小時(shí)，可以得到熱量變化的微分方程：

其中，c為電路板的比熱容；m為電路板的質(zhì)量，m=ρV=ρAh，h為電路板的厚度，h=0.15 mm，化簡(jiǎn)可得焊接區(qū)域中心溫度變化模型：

2.3 模型求解與驗(yàn)證

在前面，我們建立了的焊接區(qū)域中心溫度變化模型，可知焊接區(qū)域中心的溫度T受Tfirst、Tsecond、Tthird、Tfourth、V和t六個(gè)不同的因素影響，即可表示為

當(dāng)我們?cè)O(shè)定好其中的參數(shù)就可以求解出爐溫變化曲線模型的表達(dá)式：

其他Ts（t）不為常數(shù)的區(qū)間求解過(guò)程類(lèi)似。

然后，把求解的各個(gè)區(qū)域的微分方程和原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到不同區(qū)域的模型系數(shù)。

由于各小溫區(qū)設(shè)定溫度僅可以在實(shí)驗(yàn)設(shè)定溫度的基礎(chǔ)上進(jìn)行±10℃范圍內(nèi)的調(diào)整。導(dǎo)熱系數(shù)和動(dòng)力粘度受溫度變化的影響不大，可以忽略。故系數(shù)不受溫度的影響，可以在所有的模型中通用。

第五步，根據(jù)擬合出來(lái)的模型系數(shù)，結(jié)合已知條件繪制仿真的爐溫曲線并和實(shí)際的爐溫曲線進(jìn)行對(duì)比如圖2所示。

圖2 爐溫曲線的對(duì)比

根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)計(jì)算其誤差如式（10）所示：

其中，Tori（i）為附件中的原始的爐溫曲線，Tbuild（i）為建立的模型的仿真爐溫曲線。無(wú)論是從對(duì)比圖還是誤差e，可以看到模型可以很好的還原實(shí)際的爐溫曲線，體現(xiàn)真實(shí)的溫度變化過(guò)程情況。

3 爐溫曲線的控制

3.1 爐溫曲線的控制與優(yōu)化模型建立

在考慮滿足制程界限的條件下，為滿足回焊爐工作要求，不僅要考慮超過(guò)217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小，更要考慮以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過(guò)217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對(duì)稱(chēng)。

由圖3，可得中心線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)評(píng)價(jià)模型為：

圖3 對(duì)稱(chēng)求解示意圖

綜合制程界限的要求，可以得到要求爐溫曲線的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：

3.2 爐溫曲線的控制與優(yōu)化模型求解

首先，隨機(jī)生成五個(gè)種群，分別對(duì)應(yīng)四個(gè)溫區(qū)和過(guò)爐速度。

其次，設(shè)置兩個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，一個(gè)設(shè)置為和覆蓋的面積有關(guān)，另一個(gè)設(shè)置為和對(duì)稱(chēng)誤差有關(guān)。通過(guò)計(jì)算相關(guān)的適應(yīng)度可以得到各個(gè)解之間是否是支配的。若種群p的所有適應(yīng)度都不比種群q差，并且，至少有一個(gè)適應(yīng)度種群p比種群q好，則p為非支配的，q為被支配的，非劣解要保留并組成集合，從而進(jìn)行進(jìn)一步的處理。[3]

符合制程界限的爐溫曲線如圖4所示，體現(xiàn)出以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過(guò)217℃的爐溫曲線的對(duì)稱(chēng)性。

圖4 部分爐溫曲線