馬旭林 何佩儀 周勃旸 和杰

摘要 集合變換卡爾曼濾波（ensemble transform Kalman filter，ETKF）是一種有效的集合預報初始擾動構造方案。但是，有限的集合樣本、相同的集合成員設置以及預報模式誤差等可能會使兩個距離較遠的狀態(tài)變量產(chǎn)生虛假相關，從而影響ETKF集合擾動的質(zhì)量。為了有效解決遠距離虛假相關問題，將局地化思想引入ETKF方案。本文針對GRAPES區(qū)域集合預報系統(tǒng)（GRAPES REPS），對ETKF初值擾動局地化方案的效果進行了試驗分析，為進一步改善和優(yōu)化局地化方案（LETKF方案）提供依據(jù)。通過一周的連續(xù)試驗，從暴雨個例、集合預報多種評分檢驗等方面分析了LETKF初始擾動方案所產(chǎn)生的集合預報質(zhì)量。結果表明，區(qū)域集合預報中集合變換卡爾曼濾波初始擾動的局地化方案能夠更加合理地捕捉到快速增長的分析誤差的物理結構，更準確地再現(xiàn)數(shù)值模式預報誤差的線性與非線性傳播和演變特征。該局地化方案可以較好地改進預報質(zhì)量，提高降水預報的準確率，尤其是針對小雨、中雨、暴雨量級的預報。相對于現(xiàn)有區(qū)域集合預報的業(yè)務系統(tǒng)GRAPES REPS，基于局地化ETKF初始擾動方案的區(qū)域集合預報具有較明顯的優(yōu)勢。總體來看，LETKF初始擾動方案可更好地改善區(qū)域集合預報的質(zhì)量。

關鍵詞 集合預報;GRAPES;集合變換卡爾曼濾波;LETKF;初始擾動

集合預報能夠描述數(shù)值天氣預報中大氣狀態(tài)的不確定性，并定量給出概率密度函數(shù)（Bowler，2006），在數(shù)值天氣預報中具有愈加重要的意義，其研究和應用也得到迅速發(fā)展（馬旭林等，2015）。集合預報初始擾動的構造是集合預報研究的核心內(nèi)容之一，對集合預報的質(zhì)量和性能具有決定作用（馬旭林等，2018）。集合變換卡爾曼濾波（ensemble transform Kalman filter;Bishop et al.，2001）是近年來迅速發(fā)展并得到廣泛應用的一種集合預報初始擾動方法，借助資料同化中的觀測信息將預報誤差和分析誤差建立聯(lián)系。該方法最初是為了更好地解決適應性觀測的問題，它利用集合變換和歸一化方法可以快速獲得預報誤差協(xié)方差矩陣，逐漸發(fā)展成為一種有效的集合預報初始擾動構造方案（Wang and Bishop，2003;Ma et al.，2009a）。ETKF集合初始擾動方案通過變換矩陣，在集合子空間內(nèi)將預報擾動變換為分析擾動（馬旭林等，2008），其突出優(yōu)點是能夠有效反映觀測資料的空間分布對初值不確定性的影響。同時，也具有擾動在觀測空間正交、易于實施等優(yōu)點。但是，在ETKF方案中，由于集合樣本數(shù)的限制以及相同的集合成員設置，可能導致距離相對較遠、本沒有相關性或者相關性極低的狀態(tài)變量產(chǎn)生虛假相關，即遠距離虛假相關，這可能導致集合擾動質(zhì)量的虛假結構。

依據(jù)資料同化中觀測要素的相關尺度，逐步提出了基于截斷半徑的集合擾動局地化方法，使得觀測信息只對一定范圍內(nèi)的狀態(tài)變量產(chǎn)生影響，以避免或減弱虛假相關。Houtekamer and Mitchell（1998）研究指出，正是由于使用比較少的集合成員來估計背景誤差協(xié)方差，使得兩個相距很遠的格點之間可能產(chǎn)生虛假相關，而這種虛假相關在集合成員較大時則很小。較小的集合成員數(shù)對應的截斷半徑較小，反之則截斷半徑較大。據(jù)此，Ott et al.（2002，2004）針對集合均方根濾波（EnSRF）方法提出了局地化集合卡爾曼濾波（LEKF）。在此基礎上，Hunt et al.（2007）將ETKF應用到LEKF方案，發(fā)展了局地化集合變換卡爾曼濾波，簡稱為LETKF，其特點是利用各自獨立的局地化區(qū)域可以在并行結構下高效運行（Miyoshi and Yamane，2007）。實際上，LEKF的局地化通過背景誤差協(xié)方差局地化實現(xiàn)，而LETKF是通過每個局地區(qū)域內(nèi)的變換矩陣實現(xiàn)局地化處理。

局地化思想可以有效消除因濾波發(fā)散而導致的遠距離虛假擾動問題，進一步提高ETKF初始擾動方案構造的集合初始擾動的性能。在LETKF方法正式提出之前，Bowler（2006）研究指出ETKF初始擾動方案的局地化是一種有效的集合初始擾動方法。隨著研究的深入，正式將LETKF應用到集合預報的初始擾動構造方案，充分驗證了在集合預報初始擾動方案中引入局地化方法確實可以改善集合預報初始擾動的質(zhì)量（Bowler et al.，2009），能夠有效地消除遠距離虛假相關對集合擾動的影響。目前，局地化方法已成功應用于業(yè)務集合預報ETKF初始擾動方案中，并取得良好的效果。我國在深入研究ETKF初始擾動構造方案的基礎上，已成功發(fā)展建立了基于ETKF初始擾動方案的全球和區(qū)域集合預報系統(tǒng)（馬旭林等，2008），其中區(qū)域GRAPES REPS集合預報系統(tǒng)已投入業(yè)務預報應用。但是，基于ETKF初始擾動的區(qū)域GRAPES REPS集合預報系統(tǒng)尚未建立初始擾動局地化方案，難以消除因遠距離虛假相關而產(chǎn)生的虛假擾動，從而降低了集合擾動合理描述大氣可能狀態(tài)的能力。本文基于GRAPES區(qū)域集合預報系統(tǒng)（GRAPES REPS），針對ETKF初值擾動方案發(fā)展的局地化ETKF初始擾動方案（LETKF），通過個例試驗和批量試驗以及集合預報性能的多角度檢驗，分析討論了局地化方案對集合預報性能的影響，為進一步改善集合預報質(zhì)量和業(yè)務應用提供依據(jù)。

1 集合變換卡爾曼濾波局地化（LETKF）方案

ETKF之所以會產(chǎn)生虛假相關，是因為每個集合成員都是對大氣狀態(tài)的一種估計，而有限的集合成員難以完全解釋實際大氣的所有可能狀態(tài);另一方面，數(shù)值預報模式存在誤差，相同的集合成員設置可能導致不同集合成員在預報過程中產(chǎn)生趨同性，從而產(chǎn)生虛假相關（韓培等，2016）。因ETKF在觀測空間計算分析擾動，局地化方案難以直接應用。但是，將觀測資料的空間分布劃分為若干局地區(qū)域，從而事實現(xiàn)將觀測資料分塊，分別計算局地化變換矩陣，可以方便實現(xiàn)ETKF的局地化（Bowler，2006）。這與Hunt et al.（2007）提出的LETKF方法類似，但Bowler的方法僅用于計算集合擾動。LETKF局地化方法利用局地化半徑以截斷誤差方差的虛假相關，從而改善誤差方差的質(zhì)量。亦即，針對一個格點只吸收局地化半徑內(nèi)的觀測資料的有效信息，不考慮半徑外的觀測的影響。這里的局地化半徑是指根據(jù)觀測誤差相關尺度和模擬區(qū)域大小，確定圓形局地化區(qū)域范圍的設定半徑。在對格點的擾動值進行更新時，僅考慮以該格點為圓心、局地化半徑形成的圓形區(qū)域內(nèi)的所有觀測信息。

對于確定的模式區(qū)域，理想情況是對該區(qū)域內(nèi)每個格點進行局地化求解最為準確，但這樣導致計算量大，實際操作難以實現(xiàn)。為了減小計算量提高計算效率，將整個模擬區(qū)域均勻劃分為N個小方塊，每個方塊的中心點選定為“局地化中心”（如圖1星號所示），并試驗設定合適的局地化半徑，利用該局地半徑內(nèi)的觀測（圖中小圓點為模擬觀測站點的分布）計算該中心點對應的變換矩陣。該中心點所在局地區(qū)域內(nèi)的其他格點都利用相同的變換矩陣更新擾動，即由ETKF線性擾動變換關系Xa=XfTΠ和局地化算子L（h）有：

Xa=XfTLΠ。

其中：Xa是分析擾動;Xf是預報擾動;T為變換矩陣;Π為調(diào)節(jié)集合離散度的放大因子;h為高度。局地化算子L是包含局地化方案中模式水平空間內(nèi)局地化區(qū)域的劃分、局地化半徑及其隨高度的變化等參數(shù)。為了簡化問題，這里將隨高度變化的局地化算子L簡化為不隨高度變化的定常值。

2 數(shù)值試驗方案

試驗的區(qū)域集合預報系統(tǒng)除初始擾動方案外，其他與業(yè)務系統(tǒng)一致，即GRAPES區(qū)域預報模式和模式面三維變分資料同化系統(tǒng)（Ma et al.，2009b）。模式模擬的水平區(qū)域為71.5°～133.6°E、16.5°～58.35°N，分辨率為0.15°。

控制預報中背景場為T639模式的12 h預報場，同化的觀測資料為探空、地面、船舶報與飛機報等常規(guī)觀測，以及COSMIC反演大氣溫濕資料，觀測誤差與GRAPES三維變分資料同化系統(tǒng)中所設置的實際觀測誤差一致，預報長度為72 h。為了考察局地化初始擾動方案消除遠距離虛假擾動而改善集合預報質(zhì)量的效果，設計三組試驗（表1）。第一組試驗為業(yè)務GRAPES區(qū)域集合預報，簡稱為REPS。該組試驗是中國氣象局數(shù)值預報中心業(yè)務運行的區(qū)域集合預報;第二組試驗采用優(yōu)化的ETKF初始擾動方案（馬旭林等，2014），其余均與第一組試驗相同;第三組試驗為LETKF初始擾動方案，該區(qū)域集合預報系統(tǒng)中除初始擾動外，其余配置均與第一組和第二組相同。

區(qū)域集合預報啟動時，最初由T639全球集合預報構造啟動時刻的初始擾動，包括1個控制預報和14個擾動預報，共15個集合成員。然后利用LETKF初始擾動方案更新并得到新的集合擾動，最后制作72 h預報。集合預報系統(tǒng)的起報時間為每日00、12時（世界時，下同）。為了消除集合預報初期初始擾動適應過程的影響，選取7月13日00時開始的為期一周的集合預報結果進行分析。在局地化試驗中，根據(jù)模擬區(qū)域大小，將整個模擬區(qū)域劃分為6×5（緯向×徑向）個規(guī)則的矩形局地區(qū)域，局地化半徑為700 km，這里不考慮垂直方向上局地化半徑的變化，即整層相同。為避免局地化后的擾動場邊界處可能存在的不連續(xù)對全場集合擾動結構的影響，對全場集合擾動進行九點二次平滑。

3 LETKF方案的效果分析

3.1 典型降水天氣個例結果

選取2015年7月14—16日的降水過程，該過程的主要影響系統(tǒng)是高空槽、低層切變、低渦。從7月16日00時24 h的累積降水實況（圖2a）可以看出，雨區(qū)主要落在湖北大部、河南中南部、湖南北部以及安徽西部，大暴雨中心位于湖北東部。

從圖2b、c可知，相比于實況，ETKF和LETKF兩個方案集合平均預報對河南中南部和湖北大部的降水落區(qū)模擬效果較好。這與集合平均預報通常比單個確定性預報、甚至比更高分辨率模式所產(chǎn)生的確定性預報準確（杜鈞，2002）相一致。但是，ETKF方案空報了山西南部和北京西部的中雨，LETKF方案對此有一定效果的修正，減小了空報的雨區(qū)范圍。就降水量級而言，相對于ETKF方案，LETKF方案報出了湖北北部的暴雨中心，但二者對于河南北部的降水量級均偏小?？傮w來看，LETKF方案的模擬結果較ETKF方案更接近實況。究其原因，與局地化方案生成的初始擾動有密切關系。改善后的初始擾動減少了虛假相關的影響，可以更合理地描述真實大氣狀態(tài)的可能分布，更準確地刻畫中小尺度天氣系統(tǒng)。

為了進一步檢驗局地化方案對降水預報的改善效果，對本次過程的24 h累積降水進行BS、ETS和TTS三組評分檢驗。從BS（圖3a）評分來看，對于小雨量級，兩組試驗在預報時均存在空報，相比而言，LETKF方案的BS評分效果更好，中雨量級評分與小雨類似。兩組試驗的大雨BS評分都近似等于1，預報準確。兩方案的暴雨預報都出現(xiàn)了漏報，但LETKF方案明顯比原方案的預報效果相對更好。兩組試驗的大暴雨評分均為0，出現(xiàn)漏報，這可能與模式的預報能力有直接關系。ETS（圖3b）評分結果與TS類似。特別是對于小雨和中雨，局地化方案的ETS評分均明顯高于ETKF方案，即預報準確度更高。從TSS評分（圖3c）可以看出，對于小雨、中雨和暴雨來說，LETKF方案的預報效果均明顯優(yōu)于ETKF方案，對于大雨來說，ETKF方案的預報效果優(yōu)于LETKF方案。而對于大暴雨，兩組試驗方案均無預報技巧。

3.2 批量試驗結果分析

3.2.1 預報與觀測的一致性分析

理想集合預報中，各集合成員與觀測之間滿足一致性特征，即所有的統(tǒng)計值理論上應該相同，呈水平均一狀態(tài)，這反映了集合離散度代表觀測不確定性的程度（Wilks，2006）。圖4為REPS、ETKF、LETKF三個試驗方案的850 hPa位勢高度、溫度、緯向風、徑向風的Talagrand分布，可以看出，REPS的850 hPa高度場Talagrand分布成倒L型（圖8a），反映了集合預報的高度場預報值偏小，具有明顯的負偏差同時離散度偏小;而850 hPa溫度場的Talagrand分布成L型（圖4b），則說明溫度預報值偏大，也就是存在正偏差同時離散度偏小?？傮w來看，ETKF和LETKF方案的高度和溫度預報的Talagrand分布更加趨于水平均一，即正偏差或負偏差明顯減小。相對而言，LETKF更進一步改善了這兩個變量的偏差，使得其分布更加趨向平緩;850 hPa的緯向風（圖4c）和經(jīng)向風（圖4d）的Talagrand分布均近似為U型，說明集合成員之間區(qū)分度較小，且與觀測值不同，反映了該集合預報的離散度偏小，難以合理的描述觀測的不確定性特征。

ETKF和LETKF方案的風場預報則略有改善，而LETKF更加明顯。這反映了優(yōu)化的ETKF初始擾動方案產(chǎn)生的集合擾動的質(zhì)量有了提高，而在此基礎上發(fā)展的局地化方案能夠有效消除遠距離虛假擾動，使得集合擾動的物理結構更加合理，從而得到質(zhì)量更高的集合擾動，其集合離散度的質(zhì)量也得到合理改善。

異常值（Outliers）主要衡量集合預報中異常值的百分比，也可以反映集合預報的可信度（Wilks，2006）。理想情況下，集合預報的異常值百分比通常接近2/（n+1），n為集合成員數(shù)。因文中三個方案的試驗均為15個集合成員，則合理的異常值為12.5%（圖中橫線所示）。由各預報時刻高度、溫度和風場預報的異常值占總觀測數(shù)的百分比（圖5）可以看出，3個方案850 hPa位勢高度的異常值百分比隨著預報時效的增加仍表現(xiàn)出明顯偏高的趨勢，但與REPS方案相比，ETKF和LETKF方案異常值的大小有所降低，尤其是局地化方案的異常值更加接近于理想情況。對850 hPa溫度來說，三個方案的異常值百分比在0～72 h整個預報時效內(nèi)升降幅度變化不大，但與ETKF方案相比，LETKF方案的異常值大小更接近于理想情況。經(jīng)過局地化后的風場異常值大小都有所降低。綜合來看，LETKF初始擾動方案在一定程度上改善了集合預報的效果，提高了集合預報的質(zhì)量。

3.2.2 集合預報的可信度與可辨識度

圖6為可靠性評分，其橫縱坐標分別代表P（f）和P（x|f），可以反映集合預報的可信度?？尚哦惹€表示相應預報概率分類中檢驗閾值對觀測事件發(fā)生頻率的統(tǒng)計屬性。

預報結果完美的情況下，預報概率與觀測的頻率相同，也就是說理想的可信度曲線與圖形中對角線相重合。由圖6可以看出，ETKF和LETKF方案相對于REPS方案，都不同程度改進了三個不同變量的可信度，尤其是850 hPa溫度場，其可信度曲線分布更加合理。24 h溫度預報的可信度曲線表明，大于0 ℃變溫預報概率為0.5～1時，LETKF方案的可信度曲線更趨于對角線，具有更大的預報可信度;而預報概率為0～0.5之間的變溫預報，ETKF方案與LETKF方案的預報可信度基本相當（圖6a）。對于大于2 ℃以上的增溫事件（圖6b），在預報概率為0.2～0.7時，ETKF方案的預報可信度大于LETKF方案;而在0～0.2和0.7～1的預報概率中，LETKF方案的可信度曲線更靠近對角線，預報可信度更大。對于緯向風大于4 m/s的天氣事件（圖6c），ETKF的預報概率大于觀測頻率，存在著正偏差，LETKF方案在0.6～1的預報概率中減少了這種偏差，使得可信度曲線更接近對角線，提高了預報可信度。在經(jīng)向風大于4 m/s的天氣事件中（圖6d），兩個方案的結果類似，說明局地化方案對經(jīng)向風的改善效果不明顯。

不同檢驗閾值的命中率與誤報率形成ROC曲線，與X、Y軸共同構成的面積稱為ROC面積（理想值為1），它能夠綜合反映集合預報中各成員區(qū)分不同天氣事件的能力，即集合預報的可辨識度。ROC面積越大，說明預報的可辨識度越好。從24 h預報的850 hPa溫度場對應ROC評分可以看出，對于增溫0 ℃以上的天氣變溫事件（圖7a），ETKF方案的ROC面積明顯大于REPS，而LETKF方案的ROC面積又大于ETKF，說明LETKF方案的辨識度最大。對于增溫2 ℃以上的天氣變溫事件（圖7b），雖然三種方案的辨識度相同，但是可以看到ETKF和LETKF方案的ROC曲線更為光滑，沒有出現(xiàn)奇異點;緯向風大于7 m/s和經(jīng)向風大于7 m/s的天氣事件（圖7c、d）的LETKF方案ROC面積明顯大于ETKF?？傮w來看，LETKF方案較好地提高了集合預報的辨識度。

3.2.3 預報準確性評估

不同天氣事件預報的準確性是衡量集合預報質(zhì)量的另一種有效方式，即CRPS評分，通常預報準確性越高其值越小。從ETKF與LETKF兩組連續(xù)試驗的CRPS統(tǒng)計結果來看，ETKF方案在很大程度上改進了CRPS評分隨著預報時效延長而增加的趨勢，使增加趨勢變慢，尤其是850 hPa位勢高度（圖8a），溫度（圖8b）和緯向風（圖8c）的改善也較顯著，但徑向風的改善卻略顯不足（圖8d）。對于LETKF方案而言，850 hPa高度場、溫度場和風場的CRPS評分總體上比ETKF方案略好，除位勢高度的改進不明顯外，溫度場和風場相對顯著。從CRPS檢驗來看，ETKF初始擾動的局地化方案整體上提升了集合預報的性能。

4 結論與討論

本文針對區(qū)域集合預報系統(tǒng)GRAPES REPS的局地化ETKF初值擾動方案，通過個例試驗和批量預報試驗，對其集合預報效果進行對比分析，進一步驗證了局地化方案對集合預報中遠距離虛假相關對集合初始擾動質(zhì)量改善的效果。個例試驗結果說明，引入局地化方案的LETKF方案相對于ETKF，因消除了遠距離虛假相關較好地改善了降水預報質(zhì)量，尤其對小雨、中雨、暴雨預報效果有較明顯改善。連續(xù)7 d的集合預報批量試驗結果表明，相對于原業(yè)務集合預報和沒有引入局地化方案的集合預報初始方案而言，局地化方案生成的集合預報具有更高的可信度與可辨識度，同時CRPS綜合評分最優(yōu)，反映了ETKF初始擾動局地化方案通過消除遠距離虛假擾動的影響，具有合理改善原集合預報綜合性能的能力，特別對高度和溫度預報效果更為顯著，充分體現(xiàn)了局地化方案改善區(qū)域集合預報捕獲初始擾動物理結構的能力。但是，局地化對集合預報風場預報質(zhì)量的影響偏小，其可能原因需要進一步分析研究。

本文討論了LETKF局地化方案對集合預報整體質(zhì)量的影響，進一步確認了該方案對調(diào)整集合擾動結構、消除遠距離虛假相關的有效性，以及使之能夠更加合理的再現(xiàn)實際大氣的可能狀態(tài)的能力。但是，局地化方案中最優(yōu)相關尺度的選取及其與預報模式、集合成員數(shù)量等之間的關系，以及局地化區(qū)域的合理劃分等，還需要進一步的探討和分析。

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The ensemble transform Kalman filter （ETKF） is an effective ensemble prediction initial perturbation scheme and is widely used.However，the finite ensemble sample size，the same ensemble member setting in ETKF and the forecast model error may make the two remote state variables have higher spurious correlation，thus affecting the quality of ETKF ensemble perturbation.The reason why ETKF generates spurious correlation is that each ensemble member is an estimate of the atmospheric state，while the degree of atmospheric freedom is too high，and the limited ensemble members are difficult to fully express.On the other hand，due to the effect of the forecast model error，the same size of members may lead to convergence of different ensemble members in the prediction process，resulting in spurious correlation.In order to solve this problem，the localization of ETKF，called LETKF，is proposed.By means of localization，the spurious correlation of error variance can be truncated in the localized radius，thus improving the quality of error variance.That is to say，only the observation data in the local radius are absorbed and aimed at a grid point，and the observation outside the radius is not taken into account so as to avoid the spurious correlation at a distance.Based on the GRAPES regional ensemble prediction system （GRAPES REPS），the localization scheme of ETKF initial perturbation is developed on the basis of the ETKF initial perturbation scheme，in order to solve the problem of the range spurious perturbation and the divergence of the filter in the regional ensemble prediction.Through the continuous experiments for 7 days，this paper analyzes the ensemble prediction quality of LETKF initial perturbation scheme from the case of rainstorm and multiple scoring methods of ensemble prediction.Results show that the localization scheme of ensemble transform Kalman filter initial perturbation in regional ensemble prediction can more reasonably capture the physical structure of the rapidly growing analysis error，and more accurately reproduce the linear and nonlinear propagation and evolution characteristics of the forecast error in the numerical model.The localization scheme can improve the quality of forecast and increase the accuracy of precipitation forecast，especially for the forecast of magnitude of light rain，moderate rain and rainstorm.Compared with the existing regional ensemble prediction business system GRAPES REPS，the regional ensemble prediction produced by LETKF initial perturbation scheme has obvious advantages.In general，the LETKF initial perturbation scheme can improve the quality of regional ensemble prediction.

ensemble prediction;GRAPES;ensemble transform Kalman filter;LETKF;initial perturbation

doi：10.13878/j.cnki.dqkxxb.20181213006

（責任編輯：張福穎）