林 苗， 孟 剛， 盛永健， 李 巍， 曹 毅

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；2. 蘇州工業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇 蘇州 215104)

微操作機器人系統[1]是指末端操作器在一個較小的工作空間內進行精度達到微米或納米級操作的系統，其具有結構緊湊、運動精度高、分辨率高等優(yōu)點，適用于精密機械[2]、生物醫(yī)學[3]、光纖對接[4]等領域。微夾持器是微操作機器人系統的一種典型執(zhí)行機構，其可以實現被操作對象的夾取、搬運及釋放等作業(yè)過程，具有高精度、高可靠性等優(yōu)點。

目前，微夾持器的驅動方式主要包括壓電驅動[5]、電磁驅動[6]、熱驅動[7]、靜電驅動[8]、氣驅動[9]和形狀記憶合金驅動[10]等。其中，壓電驅動式微夾持器因其具有位移分辨率高和響應速度快等優(yōu)點而被廣泛應用，已有不少國內外學者針對其結構設計和理論分析開展了研究。Chen等[11]提出了一種柔順正交位移放大機構，并以此為基礎設計了可以兼顧緊湊性和位移放大的微夾持器；吳志剛等[12]采用Scott-Russell結構與平行四邊形結構串聯的結構，設計了一種結構緊湊、跟蹤精度高的微夾鉗；Sun等[13]采用柔性鉸鏈與柔性梁的混合結構設計了一種微夾持器，該微夾持器對不同形狀與不同尺寸的目標均具有高精度夾持能力；楊依領等[14]運用偽剛體模型分析了一種柔性微夾持器的靜態(tài)和動態(tài)性能；Lin等[15]在偽剛體模型的基礎上運用鍵合圖模型推導了一種柔性微夾持器的狀態(tài)方程；曹毅等[16]設計了一種二自由度空間微夾持器，并考慮了鉸鏈回轉中心漂移和桿件變形對放大倍率的影響。綜上所述可知，國內外學者針對微夾持器的研究已經取得大量成果，但不難發(fā)現，能夠實現行程放大和末端平行輸出的微夾持器的結構設計與性能分析仍是研究的重點，同時此類微夾持器的參數優(yōu)化也是值得關注的一個研究方向。

基于上述，首先提出一種具有二級位移放大機構和位移導向機構的微夾持器；其次基于偽剛體模型推導了微夾持器的放大倍率、輸入剛度和固有頻率的理論模型，并通過有限元仿真驗證理論模型的正確性；然后分析各結構參數對微夾持器放大倍率和固有頻率的影響靈敏度；最后運用統一目標函數法對微夾持器的結構參數進行優(yōu)化。

1 微夾持器結構設計

微夾持器的結構如圖1所示，包括位移放大機構、位移導向機構、固定基座和夾持臂，壓電驅動器安裝在一級位移放大機構的內部。為了實現壓電驅動器輸入位移的放大，分別選用菱形放大機構和杠桿放大機構設計一級和二級位移放大機構。由于柔性薄板和直圓型柔性鉸鏈分別具有變形行程大和軸向漂移小的優(yōu)點，故將其分別引入菱形放大機構和杠桿放大機構，以實現微夾持器大行程、高精度的設計目標。此外，為了實現夾持臂在x軸方向的平行輸出，基于耦合誤差抵消原理，選用兩個平行四邊形移動副串聯的結構以設計位移導向機構。

圖1 微夾持器結構示意圖Fig.1 Structure diagram of a micro-gripper

位移導向機構的耦合誤差抵消原理如圖2所示，該結構由兩個平行四邊形柔性移動副串聯而成。由于柔性移動副在變形時會產生軸向的寄生運動[17]，故當輸入沿x軸方向的位移時，單個移動副會產生沿y軸方向的耦合誤差(σ1和σ2)。由于兩個移動副在結構上是反向串聯的，故對應產生的耦合誤差(σ1和σ2)的方向也是相反的，從而整個結構的耦合誤差(σ1-σ2)將減小甚至抵消，使結構具備x軸方向平行輸出的能力。

圖2 位移導向機構耦合誤差抵消原理圖Fig.2 Principle diagram of coupling error cancellation for displacement guiding mechanism

圖3 微夾持器單側機構結構參數圖Fig.3 Structure parameters of one side mechanism of the micro-gripper

由于微夾持器的結構是左右對稱的，故選取其單側結構(如圖3所示)來描述其結構參數。由圖3可知：一級放大機構包括2個柔性薄板AB、CD和2個剛性構件1、 2；二級放大機構包括4個如圖4所示的直圓型柔性鉸鏈Hk(k=1～4)和2個剛性構件3、4；位移導向機構包括柔性薄板EF、GH、IJ、KM和2個剛性構件5、6；α為柔性薄板AB、CD與y軸的夾角；l1、l2分別為二級杠桿支點H3與二級杠桿輸入端H2、輸出端H4之間的距離；lr、l3分別為一級放大機構和位移導向機構中柔性薄板的長度；l4為二級杠桿輸出端H4與位移導向機構固定端的距離。考慮到結構對稱與位移導向機構性能因素[18]，在數值上有l(wèi)4=0.5l3。

圖4 直圓型柔性鉸鏈結構示意圖Fig.4 Schematic diagram of straight circular flexure hinge

2 微夾持器性能分析

為了深入了解微夾持器的工作特性，基于柔順機構的理論分析方法，對微夾持器進行靜、動態(tài)性能分析。柔順機構目前常見的理論分析方法主要有柔度矩陣法[19]、非線性模型法[20]和偽剛體模型法[21]。其中偽剛體模型法具有簡單、直觀的優(yōu)點，可以精確定性地完成微夾持器性能的理論建模。

2.1 靜態(tài)性能分析

微夾持器的輸入剛度和放大倍率是其靜態(tài)性能的重要表征。由于微夾持器在結構上左右對稱，因此取如圖3所示的單側結構為對象研究其靜態(tài)性能。

2.1.1 放大倍率理論模型

一級放大機構因其結構對稱，且下端面與固定基座相連，因此取柔性薄板AB為分析對象。當驅動端輸入位移xin時，柔性薄板A端的實際輸入位移為xin/2。柔性薄板AB在小變形情況(如圖5所示)下的軸向變形可忽略不計，則有：

lrcosα+xin/2=lrcosβ

(1)

lrsinα-x1=lrsinβ

(2)

式中：α、β分別為柔性薄板變形前、后與y軸的夾角；xin/2、x1分別為柔性薄板的輸入和輸出位移；lr為柔性薄板的長度。

聯立式(1)、(2)并消去β可得：

(3)

由此得到一級放大機構的放大倍率(R1)[22]如式(4)所示。

R1=x1/(xin/2)

(4)

圖5 柔性薄板AB變形圖Fig.5 Deformation diagram of flexible sheet AB

基于偽剛體模型，假設直圓形柔性鉸鏈只發(fā)生彎曲變形而不發(fā)生拉伸或壓縮變形[23]，則柔性鉸鏈可以等效為1個扭簧和2個繞扭簧中心轉動的剛性桿。圖6表示運用偽剛體模型簡化后的二級放大機構的變形原理圖，當柔性鉸鏈H1處輸入位移x1時，二級放大機構在柔性鉸鏈H4處輸出位移x4，從而實現位移放大，由此得到二級放大機構的放大倍率(R2)如式(5)所示。

R2=x4/x1=l2/l1

(5)

式中：l1、l2為杠桿臂的長度。

圖6 二級放大機構簡化模型圖Fig.6 Simplified model diagram of the two-stage magnification mechanism

導向機構僅起位移導向的作用，不改變微夾持器的放大倍率，根據式(4)和(5)，可得微夾持器的放大倍率(Ramp)如式(6)所示。

Ramp=R1R2

(6)

2.1.2 輸入剛度理論模型

在給定二級放大機構中，柔性鉸鏈Hk(k=1～4)的尺寸和轉動的角度均相同，轉動剛度為k1[24]，設定作用于柔性鉸鏈Hk上的轉矩為Mk，則有：

(7)

M1=M2=M3=M4=k1θ1

(8)

式中：b、r、t分別為柔性鉸鏈的寬度、半徑和最小厚度；E為彈性模量；θ1為柔性鉸鏈轉動的角度且近似有θ1=sinθ1=x4/l2， cosθ1=1。

過渡桿3和二級杠桿4的受力分析分別如圖7和8所示，由受力平衡可得：

F1=F2=F3+F4

(9)

M2+M3-M4+F4l2cosθ1-F2l1cosθ1=0

(10)

圖7 過渡桿受力分析圖Fig.7 Stress analysis diagram of transition bar

圖8 二級杠桿受力分析圖Fig.8 Stress analysis diagram of secondary lever

基于固定-導向偽剛體模型，柔性薄板可以看成2個扭簧(1個固定、1個自由)和1個繞固定扭簧中心轉動的剛性桿[23]，同理可以得到位移導向機構中柔性薄板EF和KM的簡化模型如圖9所示。柔性薄板EF、KM的尺寸和轉動的角度都相同，對應扭簧的轉動剛度為kd，則有：

(11)

式中：Id為截面慣性矩；γ和Kθ為偽剛體常量，通常取γ=0.85，Kθ=2.65；θ2為柔性薄板轉動的角度且近似有θ2=sinθ2=x4/(2γl3)， cosθ2=1。

圖9 柔性薄板EF、KM的簡化模型圖Fig.9 Simplified model diagram of flexible thin plate EF and KM

基于固定-導向偽剛體模型[23]，位移導向機構簡化后的模型如圖10所示，由構件6在扭簧中心F處的受力平衡可得：

M4+MF+MM-γl4F4cosθ2=0

(12)

二級放大機構的輸入剛度(K1)定義如下：

K1=F1/x1

(13)

聯立式(7)～(13)，得到K1如式(14)所示。

(14)

圖10 位移導向機構簡化模型圖Fig.10 Simplified model of the displacement guide mechanism

同理，基于固定-導向偽剛體模型[23]，一級放大機構中的柔性薄板AB的簡化受力模型如圖11所示，對應扭簧的轉動剛度(kr)為

kr=2γKθEIr/lr

(15)

式中：Ir為截面慣性矩；γ和Kθ為偽剛體常量，通常取γ=0.85，Kθ=2.65。

由柔性薄板AB在A處受力平衡有：

F1γlrcosα+2Mr+M1=Finγlrsinα

(16)

式中：Mr=krΔα， Δα為柔性薄板AB的偏轉角。

根據虛功原理有：

Finxin/4-F1x1/2=(2Mr+M1)Δα

(17)

式中：x1為柔性薄板的輸出位移，并且x1=γlrΔαcosα。

微夾持器輸入剛度(Kin)定義如下：

Kin=Fin/xin

(18)

聯立式(14)～(18)，得到Kin如式(19)所示。

(19)

2.2 動態(tài)性能分析

模態(tài)是機構的固有振動特性，提高機構的低階模態(tài)頻率，可以降低機構工作過程中發(fā)生共振的可能性，從而提升機構的動態(tài)性能。為深入研究微夾持器的動態(tài)性能，需要推導其固有頻率的理論模型。

微夾持器的動能(EK)可以表示為

(20)

式中：m1、m2、m5和m6分別為構件1、 2、 5和6的質量；J3和J4分別為構件3和4的轉動慣量。

聯立式(4)～(6)、(20)，可得微夾持器的等效質量(Me)如式(21)所示。

(21)

微夾持器的等效剛度(Ke)可以表示為

Ke=Fin/xin=Kin

(22)

基于拉格朗日方程[25]，可得微夾持器固有頻率(f)的計算式如式(23)所示。

(23)

2.3 微夾持器的有限元分析及驗證

為驗證微夾持器放大倍率、輸入剛度和固有頻率理論模型的正確性，采用ABAQUS軟件對微夾持器進行有限元仿真，選擇AL 7075為微夾持器的材料，其彈性模量E=71 GPa，泊松比υ=0.33，密度ρ=2 810 kg/m3，屈服極限[sy]=455 MPa。該微夾持器結構尺寸參數如表1所示。

表1 微夾持器結構尺寸參數

對微夾持器的固定基座添加固定約束，并采用四面體單元對微夾持器進行網格劃分，柔性薄板和柔性鉸鏈處網格尺寸為1 mm，其余部分網格尺寸為5 mm，以提高有限元分析的速度和準確性。

2.3.1 放大倍率模型的有限元驗證

微夾持器的驅動面受到輸入位移xin作用時，夾持臂末端輸出位移xout與xin的關系如式(24)所示。

xout=Ramp(xin/2)

(24)

微夾持器位移仿真圖如圖12所示。取微夾持器末端的面中心為參考點，在微夾持器的驅動面施加0～0.10 mm的位移，得到相應的微夾持器放大倍率有限元仿真值如表2所示。

由式(3)～(6)表明，微夾持器放大倍率的理論值會隨著輸入位移xin的變化而變化。當xin取0～0.10 mm時，將表1中結構尺寸參數代入式(3)～(6)得到微夾持器放大倍率的理論值如表2所示。

由表2可知，當微夾持器輸入位移為0～0.10 mm時，其放大倍率的仿真值與理論值的相對誤差絕對值均小于5.5%。由此證明了放大倍率理論模型的正確性。

圖12 微夾持器位移仿真圖Fig.12 Simulation diagram of displacement for the micro-gripper

表2 微夾持器放大倍率的仿真值、理論值及相對誤差

2.3.2 輸入剛度模型的有限元驗證

微夾持器的驅動面受到輸入位移xin作用時，輸入力Fin與xin的關系如式(25)所示。

Fin=Kinxin

(25)

將表1中結構尺寸參數代入式(19)得微夾持器輸入剛度理論值Kin=768.44 N/mm。

微夾持器輸入剛度仿真圖如圖13所示。

圖13 微夾持器輸入剛度仿真圖Fig.13 Simulation diagram of input stiffness for the micro-gripper

取微夾持器驅動端的面中心為參考點，在參考點施加沿y軸方向0.10 mm的位移，得到的反作用力為80.057 N，進而計算得到微夾持器輸入剛度的仿真值為800.57 N/mm。

分析數據可知，微夾持器輸入剛度仿真值與理論值的相對誤差為-4.2%，吻合度較高。由此證明微夾持器輸入剛度理論模型的正確性。

2.3.3 固有頻率模型的有限元驗證

將表1中結構尺寸參數代入式(23)可得微夾持器固有頻率理論值f=42.73 Hz。

對微夾持器進行有限元模態(tài)分析，得到如圖14所示的一階模態(tài)振型。微夾持器固有頻率的有限元仿真值為41.55 Hz，仿真值與理論值的相對誤差為2.8%，這也驗證了固有頻率理論模型的正確性。

圖14 微夾持器的一階模態(tài)振型Fig.14 First mode shape of micro-gripper

2.3.4 微夾持器平行輸出性能的驗證

為了驗證微夾持器的平行輸出性能，定義微夾持器輸出端的耦合誤差率(ε)如式(26)所示。

(26)

式中：xout和yout分別為微夾持器輸出端參考點沿x軸和y軸的輸出位移。

同樣采用2.3.1節(jié)中圖12的有限元實例，取微夾持器末端的面中心為參考點，在微夾持器的驅動面輸入0～0.10 mm的位移，得到參考點的輸出位移xout與yout如表3所示。

表3 微夾持器的耦合誤差仿真結果

由表3可知，當微夾持器的輸入位移為0～0.10 mm時，其耦合誤差率均小于0.80%。因此，可以認為微夾持器完全平行輸出，這也證明微夾持器具有良好的平行輸出性能。

3 微夾持器結構參數靈敏度分析

微夾持器的放大倍率(Ramp)是靜態(tài)性能的表征，其固有頻率(f)是動態(tài)性能的表征。若要設計滿足性能要求的微夾持器，需要對微夾持器進行尺寸優(yōu)化以提升Ramp和f。由式(6)、(19)和(23)可知，僅憑公式難以精確定性地分析各結構參數對Ramp和f的影響，故有必要確定各結構參數與Ramp和f的靈敏度關系，為微夾持器的尺寸優(yōu)化提供依據。

同樣采用AL 7075作為微夾持器的材料，由圖3和4可知，對微夾持器的Ramp和f有影響的主要因素包括lr、α、l1、l2、l3、b、r和t。基于所推導Ramp和f的理論模型，利用MATLAB軟件，通過編寫分析程序，可以得到各結構參數對Ramp和f的影響如圖15(a)～(h)所示。

(a) 放大倍率和固有頻率與lr的關系曲線

(b) 放大倍率和固有頻率與α的關系曲線

(c) 放大倍率和固有頻率與l1的關系曲線

(d) 放大倍率和固有頻率與l2的關系曲線

(e) 放大倍率和固有頻率與l3的關系曲線

(f) 放大倍率和固有頻率與b關系曲線

(g) 放大倍率和固有頻率與r關系曲線

(h) 放大倍率和固有頻率與t關系曲線

由圖15分析可知：

(1)Ramp與lr呈小幅度曲線遞增且靈敏度不是很明顯，而f與lr呈小幅度曲線遞減；

(2)Ramp與α呈曲線遞減且減幅逐漸減小，而f與α呈小幅度曲線遞減；

(3)Ramp與l1呈曲線遞減，且減幅很大，而f與l1呈小幅度曲線遞增；

(4)Ramp與l2呈曲線遞增，且增幅很大，f與l2呈曲線遞減；

(5)Ramp與l3靈敏度不明顯，而f與l3呈小幅度曲線遞減；

(6)Ramp與b靈敏度不明顯，而f與b呈曲線遞增，且增幅很大；

(7)Ramp與r靈敏度不明顯，而f與r呈曲線遞減；

(8)Ramp與t靈敏度不明顯，而f與t呈曲線遞增，且增幅很大。

比較圖15可以發(fā)現：l1、l2和α對Ramp的影響靈敏度較大，lr、l3、b、r和t對Ramp無明顯影響；b和t對f的影響靈敏度較大，lr、α、l2、l3和r對f的影響次之，l1對f無明顯影響。

4 微夾持器優(yōu)化模型

4.1 設計變量確定

基于上述分析可知，影響微夾持器的Ramp的主要結構參數有α、l1和l2，影響f的主要結構參數有l(wèi)r、α、l2、l3、b、r和t，故取優(yōu)化模型的設計變量為

X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T=

[lr，α，l1，l2，l3，b，r，t]T

(27)

4.2 目標函數建立

優(yōu)化微夾持器時，應當盡量同時增大微夾持器的Ramp和f。上述兩個優(yōu)化目標可以表示為

(28)

為了解決上述兩個優(yōu)化目標間的不可共度性和矛盾性[26]，基于統一目標函數法，將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題，其目標函數為

(29)

式中：w1、w2為本征權，反映了各子優(yōu)化目標的重要程度，且w1+w2=1；β1、β2為校正權，用于調整各子優(yōu)化目標的數量級和量綱。

β1、β2取單一優(yōu)化目標f1(X)和f2(X)在優(yōu)化模型中的極值，即

β1=f1(X)min，β2=f2(X)min

(30)

4.3 約束條件設定

尺寸邊界約束如式(31)所示。

XL≤X≤XU

(31)

式中：XL和XU分別為設計變量X的上、下限值。

直圓型柔性鉸鏈Hk易出現應力集中現象，需校核其最大彎曲正應力(σmax)。由此可得應力強度約束如式(32)所示。

(32)

式中：Ak為柔性鉸鏈最薄處的橫截面積；Wk為抗彎截面系數；[σ]為許用正應力。

4.4 優(yōu)化算例分析及比較

為驗證上述優(yōu)化模型的有效性，根據文獻[14]中微夾持器各結構尺寸，定義優(yōu)化前的微夾持器的尺寸值：lr=32.25 mm，α=0.125 rad，l1=35 mm，l2=70 mm，l3=40 mm，b=10 mm，r=5 mm，t=0.5 mm。定義優(yōu)化模型的設計變量范圍為

XL=[25， 0.088， 25， 65， 35， 8， 4， 0.4]T，XU=[35， 0.698， 35， 80， 45， 12， 6， 0.6]T

(33)

Ramp和f在優(yōu)化模型中的重要性相同，因此取本征權系數w1=w2=0.5。基于優(yōu)化模型中設計變量上、下限值和約束條件，求得校正權系數β1=0.038 0，β2=0.014 8。利用基于罰函數的粒子群算法[27]對微夾持器的結構參數進行優(yōu)化，得到優(yōu)化后的結構參數。優(yōu)化后設計變量的具體值為

X=[28.1， 0.088， 35， 76.2， 36.6， 12， 6， 0.6]T

(34)

優(yōu)化前后微夾持器的放大倍率與固有頻率如表4所示。由表4可知，優(yōu)化后微夾持器的放大倍率和固有頻率均有較大提升，優(yōu)化結果與預期相符。

表4 優(yōu)化前后的微夾持器性能對比

5 結 語

(1) 設計一種能夠實現行程放大和末端平行輸出的壓電驅動微夾持器，并基于偽剛體模型法建立了微夾持器放大倍率、輸入剛度和固有頻率的理論模型。

(2) 通過有限元實例驗證所推導微夾持器理論模型的正確性，仿真結果表明，微夾持器具有良好的平行輸出性能且有效解決壓電陶瓷輸出行程有限的問題，結構設計具備有效性。

(3) 分析微夾持器的主要結構參數對其性能的影響靈敏度，并基于靈敏度分析結果，建立微夾持器的參數優(yōu)化模型，并采用統一目標函數法對微夾持器的各結構參數進行多目標加權優(yōu)化。優(yōu)化結果表明，微夾持器的放大倍率提升了47.01%，固有頻率提升了36.02%，優(yōu)化模型具備可行性。