文|於方婷

《歸一問(wèn)題》是浙教版三年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“每份數(shù)”“份數(shù)”“總數(shù)”三者之間關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。這一內(nèi)容從直觀的天平圖著手，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀圖示中抽象出數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，在不同情境中概括出共同的模型，初步感知?dú)w一問(wèn)題的解決方法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、借助天平直觀，初步感知?dú)w一問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)

1.求包裹a有多重。

師：我們今天的學(xué)習(xí)從簡(jiǎn)單的天平開(kāi)始。

師：每個(gè)小正方體一樣重，包裹a有多重？

生：包裹a和三個(gè)小正方體一樣重。

師：你能補(bǔ)充一個(gè)條件，幫助我們求出包裹a具體有多重嗎？

生：如果知道一個(gè)小正方體有多重，就能求出包裹a具體有多重了。

師：那如果我補(bǔ)充的條件是這樣的——你也能解答嗎？（如下圖）

生：160÷2×3=240g。

師：你是怎么想的？

生：兩個(gè)小正方體是160g，所以一個(gè)小正方體是160÷2=80g，包裹a相當(dāng)于三個(gè)小正方體的質(zhì)量，再乘以3就可以了。

生：也可以從下面的天平圖開(kāi)始想，包裹a和三個(gè)小正方體一樣重，要先知道一個(gè)小正方體有多重，再根據(jù)上面的天平圖可以求出一個(gè)小正方體的質(zhì)量是160÷2=80g，乘以3求出三個(gè)小正方體的質(zhì)量，就是包裹a的質(zhì)量。

師：剛才這兩種想法都是要先算什么？

生：都是先求出一個(gè)小正方體有多重。

師：哪個(gè)算式是先求一個(gè)小正方體有多重的？

生：160÷2。

【設(shè)計(jì)意圖：在簡(jiǎn)單的天平圖的引導(dǎo)下，通過(guò)“包裹a有多重？”“要求包裹a具體有多重，需要補(bǔ)充什么條件？”這兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生明確要求包裹a具體有多重，需要知道一個(gè)小正方體表示多少，再乘以小正方體的個(gè)數(shù)就可以了?！?/p>

2.求包裹b有多重。

師：下面圖中的每個(gè)小正方體也是一樣重的，你知道包裹b有多重嗎？

生：400÷5×4=320g。

師：你是怎么想的？

生：400÷5先求出一個(gè)小正方體的質(zhì)量，再乘以4，求出四個(gè)小正方體的質(zhì)量。

師：他先算什么？

生：一個(gè)小正方體有多重。

師：哪個(gè)算式是先求一個(gè)小正方體有多重的？

生：400÷5。

師：為什么要乘以4？

生：因?yàn)榘黚是四個(gè)小正方體那么重。

3.比較解題思路。

師：觀察這兩題的解題思路，它們有什么相同的地方？

生：都是先求出一個(gè)小正方體的質(zhì)量，（板書(shū)）再求這樣的幾個(gè)小正方體的質(zhì)量。

【設(shè)計(jì)意圖：在直觀圖示的導(dǎo)引下，結(jié)合具體的解題經(jīng)歷，學(xué)生充分體會(huì)到，解決這兩道題時(shí)，都是先解決“一個(gè)小正方體多重”的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)比歸納，突出“一個(gè)小正方體多重”這個(gè)“一份數(shù)”，初步感知?dú)w一問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)?！?/p>

二、利用圖形直觀，構(gòu)建歸一問(wèn)題的模型

1.出示方格圖。

師：要求下面整個(gè)圖形表示多少，你能解決嗎？

生：這題沒(méi)有辦法做，沒(méi)有條件。

師：你覺(jué)得需要補(bǔ)充什么條件？

生：一個(gè)小正方形表示多少?

生：告訴我們涂色部分是多少也可以。

生：空白部分表示多少？

課件出示完整題目：涂色部分是150。求整個(gè)圖形表示多少？

2.學(xué)生獨(dú)立嘗試。

3.指名匯報(bào)。

【設(shè)計(jì)意圖：直接出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)充條件，從直接想知道“一個(gè)正方形表示多少”逐步拓展到“涂色部分表示多少”“空白部分表示多少”，表明學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以從已知“一”擴(kuò)展到主動(dòng)來(lái)“歸一”，雖然補(bǔ)充的條件不同，但都需要先求出每個(gè)正方形是多少，凸顯出“一”的重要性和必要性?！?/p>

4.比較三個(gè)例題的解題思路。

數(shù)學(xué)信息2個(gè)重160g5個(gè)重400g5個(gè)表示150問(wèn)題包裹a（3個(gè)多重）包裹b（4個(gè)多重）整個(gè)圖形（18個(gè)表示多少）列式160÷2×3=240g400÷5×4=320g150÷5×18=540images/BZ_17_1525_349_1568_391.pngimages/BZ_17_1792_349_1835_391.pngimages/BZ_17_1545_480_1587_522.pngimages/BZ_17_1815_480_1857_522.pngimages/BZ_17_2064_352_2106_394.pngimages/BZ_17_2071_481_2112_523.png

師：仔細(xì)觀察我們解決的這三道題目。你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：都要先求出其中的一份是多少。

師：求出其中一份之后呢？

生：有這樣的幾份就乘以幾，再乘以所求的份數(shù)。

小結(jié)：通過(guò)除法，我們求出一份是多少，再乘以份數(shù)，就能求出總數(shù)。

5.構(gòu)建歸一問(wèn)題的模型Ⅰ。

師：那你能用一個(gè)算式來(lái)表示其中這種關(guān)系嗎？

生：□÷△×○。

師：誰(shuí)能看明白？

生：□÷△就相當(dāng)于例1中的“160÷2”，求的是一個(gè)小正方體的重量，○指的是三個(gè)。

生：□÷△指的是總數(shù)除以份數(shù)，求的是其中的一份，○指新要求的份數(shù)。

小結(jié)：像這樣先求其中一份是多少的，我們稱為歸一問(wèn)題，可以用“□÷△×○”的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來(lái)解決。

【設(shè)計(jì)意圖：表格歸納，溝通天平圖和幾何直觀圖之間的聯(lián)系，突出“歸一”的思想，構(gòu)建解決正歸一問(wèn)題的模型，并用圖形算式□÷△×○表征模型?！?/p>

6.構(gòu)建歸一問(wèn)題的模型Ⅱ。

師：回到格子圖，如果要表示210，要畫幾個(gè)格子？

生：210÷（150÷5）=7（個(gè)）。

師：你是怎么想的？

生1：150÷5先求出一個(gè)小正方形表示30，再用210除以30，求出需要畫7個(gè)格子。

師：第一步也是先求什么？

生2：先求一個(gè)小正方形表示多少。

生3：也可以說(shuō)先求出其中一份是多少。

師：為什么現(xiàn)在要210除以這樣一份的量？

生4：因?yàn)橐嫀讉€(gè)格子，就是要求210里面有幾個(gè)30，所以要用210÷30。

師：那它是歸一問(wèn)題嗎？

生5：我覺(jué)得它不是歸一問(wèn)題，前面的歸一問(wèn)題是先求出其中一份的量，再乘以份數(shù)，求總數(shù)，而這一題并不是。

生6：我覺(jué)得它是歸一問(wèn)題。歸一的意思是要先求其中的一份，它也是先求出其中一份的量，所以它也是歸一問(wèn)題，只是它和前面的不一樣，前面的是已知份數(shù)，求總數(shù)；現(xiàn)在是已知總數(shù)，求份數(shù)。

師：我同意生6的意見(jiàn)。這個(gè)題目也是先求出其中的一份是多少，所以它也是歸一問(wèn)題。它可以用□÷△×○這樣的結(jié)構(gòu)來(lái)表示嗎？

生：不能。

師：那可以怎樣修改？

生7：☆÷（□÷△）。

小結(jié)：歸一問(wèn)題可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）兩種圖形算式來(lái)解決，它們都是先求出其中的一份，第Ⅰ種結(jié)構(gòu)是已知份數(shù)求總數(shù)，第Ⅱ種結(jié)構(gòu)是已知總數(shù)求份數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生初步建立正歸一的直觀模型基礎(chǔ)上，通過(guò)幾何直觀提出反歸一的問(wèn)題，在正反歸一問(wèn)題的比較中，進(jìn)一步突出歸一的基本特征，并且構(gòu)建反歸一問(wèn)題的模型，用圖形算式☆÷（□÷△）來(lái)表示?！?/p>

三、結(jié)合生活情境，溝通圖形、具體數(shù)量之間的關(guān)系

1.尋找生活中的歸一問(wèn)題。

師：我們已經(jīng)解決了圖形中的歸一問(wèn)題，其實(shí)在我們的生活中也有許多歸一問(wèn)題。

要求：獨(dú)立列式計(jì)算。完成后思考：這是歸一問(wèn)題嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由。

（1）下圖的杯子內(nèi)已注入600毫升水，還要注入多少毫升水才能到達(dá)頂格？

（2）做蛋糕時(shí)放面粉和雞蛋是有講究的。一般來(lái)說(shuō)，4個(gè)雞蛋搭配100克面粉口感最好，按照這樣的配方，500克面粉應(yīng)搭配多少個(gè)雞蛋？

2.學(xué)生完成后，分小組交流。

師：同學(xué)們基本已經(jīng)完成，現(xiàn)在請(qǐng)四人小組內(nèi)部討論一下，每人選一題說(shuō)一說(shuō)你所列算式的意思，并且說(shuō)一說(shuō)它是歸一問(wèn)題嗎？為什么？

3.集體交流第（1）題。

生：600÷5×3=360（毫升），600÷5先求出一小格是120毫升，再求出三格是360毫升。這里先求出其中一格是120毫升，所以這是歸一問(wèn)題。

4.集體交流第（2）題。

方法一：500÷（100÷4）=20（個(gè)）。

方法二：500÷100×4=20（個(gè)）。

小結(jié)：方法一是用歸一的思路解決的，先求出其中的1個(gè)雞蛋需要搭配25克面粉；方法二是把100克看成一份，500里有幾個(gè)100就需要幾個(gè)4，也是好辦法。

【設(shè)計(jì)意圖：解決同一問(wèn)題有不同的方法，可以用反歸一或倍比方法求解。在對(duì)比反歸一和倍比方法時(shí)，學(xué)生能深化“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)，這是對(duì)歸一內(nèi)涵的拓展?！?/p>

四、課堂小結(jié)

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么？

生：我們今天學(xué)習(xí)了歸一問(wèn)題，可以用□÷△×○或者☆÷（□÷△）兩種圖形算式來(lái)解決。

師：那你能自己編一編題目嗎？可以是用□÷△×○這樣的結(jié)構(gòu)解決，也可以是用☆÷（□÷△）這樣的結(jié)構(gòu)解決的。

生：我有320元，2個(gè)皮球需要160元，我可以買幾個(gè)這樣的皮球？

生：李師傅2小時(shí)能加工60個(gè)零件，8小時(shí)能加工多少個(gè)零件？

【設(shè)計(jì)意圖：放手讓學(xué)生自主編寫歸一問(wèn)題，在對(duì)基本的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行各種情境變式的過(guò)程中，進(jìn)一步把握基本結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和價(jià)值?！?/p>