李偉杰

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng)110136)

壁板是各類飛行器上重要的結(jié)構(gòu)單元,壁板系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)于飛行器安全極為重要。氣流速度、支撐方式、材料屬性等都會(huì)影響壁板振動(dòng)特性。國(guó)內(nèi)楊智春等人對(duì)壁板的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,分析了壁板發(fā)生屈曲、顫振、混沌運(yùn)動(dòng)、空間混沌等特性的條件[1-4]。研究超音速氣流作用下壁板的穩(wěn)定性有助于找到設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響,對(duì)飛行器設(shè)計(jì)起到一定的指導(dǎo)作用。本文依據(jù)超音速氣流作用下壁板橫向振動(dòng)微分方程為基礎(chǔ),利用分岔理論分析了壁板穩(wěn)定性問(wèn)題,并分別對(duì)各穩(wěn)定點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)討論,最后利用數(shù)值模擬進(jìn)驗(yàn)證了理論的正確性。

1 控制方程

利用活塞理論、Von Karman 大變形理論、Hamilton 原理對(duì)超音速氣流作用下的壁板進(jìn)行力學(xué)建模,經(jīng)推導(dǎo)可得壁板系統(tǒng)的的橫向運(yùn)動(dòng)微分方程為:

為幾何非線性效應(yīng)引起的附加面內(nèi)力,Pa為氣動(dòng)力。

應(yīng)用Galerkin 方法進(jìn)行兩階離散化得到:

式中,N 為內(nèi)力系數(shù),μ 為動(dòng)壓系數(shù),參數(shù)變化時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性會(huì)隨著發(fā)生變化,首先取:

則根據(jù)羅斯- 霍維茲判據(jù)可分析壁板系統(tǒng)的靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)Hopf 分岔情況。

2 靜態(tài)分岔

由式(5)和(8)可得,恒有r1＞0；當(dāng)N＞-17π2/5,r2＞0,r3＞0；當(dāng)N、μ 滿足

只有一個(gè)平衡點(diǎn)Q1。而當(dāng)不滿足條件(10)時(shí),壁板系統(tǒng)發(fā)生靜態(tài)分岔,平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加,Q2.3、Q4.5兩者都存在或存在其中之一。由式(6),當(dāng):

通過(guò)矩陣A 的特征值計(jì)算,可以判斷新平衡點(diǎn)Q2.3、Q4.5的類型和穩(wěn)定性。

3 動(dòng)態(tài)Hopf 分岔

當(dāng)參數(shù)N、μ 滿足下式時(shí),

系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)Q1；而當(dāng)不滿足式(15)時(shí),Q1變?yōu)椴环€(wěn)定,平衡點(diǎn)沒(méi)有增加,系統(tǒng)發(fā)生動(dòng)態(tài)Hopf 分岔。

圖1 為壁板系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域圖,其中N1=-N/π2。隨著參數(shù)穿越各條邊界,平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著發(fā)生變化,壁板將發(fā)生屈曲或顫振。

圖1 壁板穩(wěn)定性區(qū)域圖

4 算例分析

取ρr=0.03,Ma=2,利用Runge-Kutta 方法分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分岔情況,并進(jìn)行數(shù)值模擬。

分別計(jì)算了各參數(shù)區(qū)域內(nèi)零平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,表1 給出了Q1平衡點(diǎn)在各參數(shù)區(qū)域的穩(wěn)定性分析。

結(jié)合圖1 和表1,通過(guò)計(jì)算分析可得:

表1 Q1 平衡點(diǎn)在各參數(shù)區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定性分析

在1 區(qū)內(nèi),系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定的零平衡點(diǎn)Q1,無(wú)論初值大小,在相平面圖上相軌跡都趨于平衡點(diǎn)；當(dāng)參數(shù)從1 區(qū)進(jìn)入2 區(qū)時(shí)仍然只有平衡點(diǎn)Q1,但變?yōu)椴环€(wěn)定,發(fā)生Hopf 分岔；當(dāng)參數(shù)從1 區(qū)進(jìn)入3 區(qū)時(shí),Q1向某一方向失穩(wěn),產(chǎn)生了兩個(gè)不穩(wěn)定的新平衡點(diǎn),壁板發(fā)生了屈曲變形；當(dāng)參數(shù)從3 區(qū)進(jìn)入4 區(qū)時(shí),Q1又向另外一個(gè)方向失穩(wěn),新平衡點(diǎn)Q4.5出現(xiàn),壁板仍然只是發(fā)生靜態(tài)變形；當(dāng)參數(shù)從3 區(qū)進(jìn)入5 區(qū)時(shí),Q1重新穩(wěn)定,同時(shí)還產(chǎn)生兩個(gè)新的不穩(wěn)定平衡點(diǎn),壁板仍是屈曲變形。

5 結(jié)論

在本文中,推導(dǎo)得到了超音速氣流作用下的壁板橫向運(yùn)動(dòng)振動(dòng)微分方程,利用羅斯- 霍維茲判據(jù)研究分析了壁板系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔問(wèn)題,得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域圖,發(fā)現(xiàn)在某些參數(shù)區(qū)域內(nèi)有多個(gè)平衡點(diǎn)共存,分別對(duì)各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,并利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論機(jī)理的正確性。