曹智梅

（廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東韶關(guān) 512126）

0 引言

普通數(shù)控機(jī)床具備直線和圓弧插補(bǔ)功能。對于非圓曲線的加工，通常是在曲線上取若干個點(diǎn)，在保證插補(bǔ)誤差的前提下，兩相鄰點(diǎn)間采用直線的方式進(jìn)行插補(bǔ)，這種插補(bǔ)計算方便，數(shù)學(xué)處理簡單，但所得的逼近點(diǎn)數(shù)量較多，逼近線段較短，且各直線段連接處存在尖角，影響零件的加工質(zhì)量。隨著科技的進(jìn)步，數(shù)控系統(tǒng)計算能力的增強(qiáng)，社會對數(shù)控加工產(chǎn)品的質(zhì)量要求越來越高，圓弧插補(bǔ)得到了更廣泛的應(yīng)用。

圓弧插補(bǔ)就是在插補(bǔ)誤差允許的范圍內(nèi)，用無數(shù)條微小的圓弧段來替代非圓曲線。采用微小圓弧段進(jìn)給時，要解決各段圓弧尺寸的計算，以及圓弧順逆的判斷，以便使用系統(tǒng)已有的G02/G03指令來加工。與直線插補(bǔ)相比，圓弧插補(bǔ)能減少插補(bǔ)的段落數(shù)，提高插補(bǔ)質(zhì)量。

采用圓弧段逼近曲線，目前常采用的方法有三點(diǎn)圓法、曲率圓法、相切圓法［1］等。其中曲率圓法的本質(zhì)是二點(diǎn)圓法，其計算過程中涉及到四次方程的求解，計算復(fù)雜。而相切圓法雖然加工出的零件表面質(zhì)量好，但整個計算過程非常復(fù)雜，同時要將曲線的拐點(diǎn)作為計算單元的分割點(diǎn)，增加了數(shù)控編程的難度。

三點(diǎn)圓法是在非圓曲線上按一定規(guī)律取3個已知點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)定圓的原理計算圓弧的基本尺寸，再通過控制最大插補(bǔ)誤差來修正插補(bǔ)點(diǎn)的位置。本文對傳統(tǒng)三點(diǎn)圓法進(jìn)行了改進(jìn)，以參數(shù)中間點(diǎn)替代極值點(diǎn)［2］，簡化三點(diǎn)圓法插補(bǔ)誤差計算，在滿足加工質(zhì)量的前提下，其計算過程簡便，插補(bǔ)效率高。

1 圓弧計算及順逆判斷

1.1 圓弧計算

三點(diǎn)圓弧計算如圖1所示。

圖1 三點(diǎn)圓弧計算

已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）為圓上的三點(diǎn)，假設(shè)圓心坐標(biāo)O（x0，y0），圓弧半徑為R，如圖1所示，則根據(jù)圓的特性可知，AO=BO=CO=R。則有：

分別將3個方程式展開：

將方程兩兩相減，并令：

若D=0則：

即A、B、C三點(diǎn)共線或有兩個點(diǎn)重合或三點(diǎn)重合。

當(dāng)D≠0可解得：

1.2 圓弧順逆判斷方法

在數(shù)控機(jī)床中要編寫通過三點(diǎn)的圓弧程序，除了要計算圓弧的圓心坐標(biāo)和半徑，還必須判斷出圓弧是順時針還是逆時針，從而決定程序中采用G02還是G03。順（逆）時針圓弧如圖2所示。圖2（a）～（b）的兩段圓弧均通過A、B、C三點(diǎn)，其中A為圓弧的起點(diǎn)，B為圓弧的中點(diǎn)，C為圓弧的終點(diǎn)。

圖2 順（逆）時針圓弧

可以很直觀地看出，對于圖2（a），當(dāng)點(diǎn)A繞著圓心經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C，即AO經(jīng)過BO到達(dá)CO時，其旋轉(zhuǎn)的方向與時鐘的轉(zhuǎn)動方向相同，即為順時針圓弧，同理，對于圖2（b）則為逆時針圓弧。

在進(jìn)行程序編程時，由于在曲線上選用的三點(diǎn)是在動態(tài)變化的，無法采用這種直觀的方法進(jìn)行圓弧順逆的判斷，必須要找到一個條件來判斷，而且這個條件是可以用公式進(jìn)行量化，通過量化的結(jié)果進(jìn)行判斷，并且判斷的結(jié)果是唯一。

李柯等［3］介紹了采用角度的正切來判斷圓弧順逆，這種方法沒有考慮到角度正切無意思的情況，且整個判斷過程復(fù)雜，計算難度大。與之相比，利用向量叉積來判斷圓弧的順逆是一個比較好的選擇。

1.3 向量叉積含義

兩個向量的叉積為一個新的向量。根據(jù)定義，兩個向量的叉積大小等于這兩個向量組成的平行四邊形的面積，其方向垂直于兩個向量所決定的平面，其指向按右手定則從第一個向量轉(zhuǎn)向第二個向量。當(dāng)向量叉積為負(fù)時，表示從第一個向量旋轉(zhuǎn)到第二個向量是順時針；當(dāng)向量叉積為正時，表示從第一個向量旋轉(zhuǎn)到第二個向量是逆時針。

向量的叉積對圓弧的順逆判斷有一個很好的提示，如圖3所示。圖中，三點(diǎn)圓弧中的起點(diǎn)A和中點(diǎn)B兩點(diǎn)構(gòu)成的向，起點(diǎn)A和終點(diǎn)C兩點(diǎn)構(gòu)成的向量對于圖3（a），按右手定則，向量的指向?yàn)榇怪庇诋?dāng)前平面指向屏幕內(nèi)部，即向量叉積為負(fù)值，對照圖2可知，此時圓弧為順時針；對于圖3（b），按右手定則，向量的指向?yàn)榇怪庇诋?dāng)前平面指向屏幕外部，即向量叉積為正值，對照圖2可知，此時圓弧為逆時針。

圖3 向量叉積的正負(fù)

1.4 圓弧順逆判斷條件

已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x1，y1）三點(diǎn)，則向=（x2-x1，y2-x1），=（x3-x1，y3-x1），向和向的叉積為2×2的行列式，則：

利用右手法則進(jìn)行判斷：

2 三點(diǎn)圓法插補(bǔ)誤差計算

插補(bǔ)算法的原理就是通過控制最大插補(bǔ)誤差來完成插補(bǔ)點(diǎn)的篩選，所以插補(bǔ)誤差的計算是整個插補(bǔ)算法的核心［4］。

2.1 兩點(diǎn)間的距離公式

若已知A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離d可用公式表達(dá)為

2.2 插補(bǔ)誤差算法原理

插補(bǔ)誤差算法原理如圖4所示。

圖4 插補(bǔ)誤差算法原理

在要加工的曲線f（x）上依次取三點(diǎn)A、B、C，過三點(diǎn)作圓弧，圓弧的圓心為點(diǎn)O，圓弧的半徑為R，則AO=BO=CO=R。設(shè)P為曲線上從A到C間的任意一點(diǎn)，P到點(diǎn)O的距離為d，即d=PO。則曲線f（x）在AC間的插補(bǔ)誤差δ可表示為δ=|d-R|，最大誤差為：

式中：最大誤差δmax即為插補(bǔ)誤差。若在式中，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)已知，則R為常數(shù)，求δmax則轉(zhuǎn)化為求d的極值，即點(diǎn)P到點(diǎn)O的極值距離，由于點(diǎn)P為曲線上AC間的任意一點(diǎn)，求的極值即為求點(diǎn)O到曲線f（x）（x∈［x1，x3］）的最大（或最短）距離。

2.3 點(diǎn)到曲線極值距離的求解

求點(diǎn)到曲線的極值距離，就是求點(diǎn)到曲線的最大（或最短）距離?？刹捎枚瘮?shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，再比較邊界點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這些點(diǎn)也就是要找的極值點(diǎn)。

這種計算點(diǎn)到曲線極值距離的方法雖然比較精確，但計算過程較復(fù)雜，涉及到格朗日函數(shù)的構(gòu)建以及偏導(dǎo)數(shù)的求解，且對于若干段微小圓弧插補(bǔ)來說，此種方法也不便采用。

2.4 插補(bǔ)誤差簡化算法（一級簡化）

求解點(diǎn)到曲線的極值距離相對復(fù)雜。換一種思路，如果將該段曲線離散點(diǎn)的數(shù)量取成有限點(diǎn)，求各離散點(diǎn)到圓心的距離，并找出各距離中的極值，由于此段圓弧是微小段，所取點(diǎn)的數(shù)量不必多，甚至僅取少數(shù)幾個點(diǎn)即可滿足誤差精度計算要求。

圖5 插補(bǔ)誤差簡化算法

插補(bǔ)誤差簡化算法如圖5所示。在曲線f（x）上，依次取A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，y3）。由于所取的三點(diǎn)A、B、C既在圓弧上，又在曲線上，因此該三點(diǎn)對應(yīng)的插補(bǔ)誤差為0，誤差的極值點(diǎn)在AB間，或BC間。為求極值，將AB間和BC間分別將參數(shù)進(jìn)行n等分，即AB間和BC間各取n-1個點(diǎn)，AB間每相鄰的兩個點(diǎn)間的參數(shù)增量為間每相鄰的兩個點(diǎn)間的參數(shù)增量為，設(shè)AB段中的第i個點(diǎn)為Hi，則Hi（xhi，yhi）坐標(biāo)為：

設(shè)BC段中的第i個點(diǎn)為Ki，則Ki（xki，yki）坐標(biāo)為：

則點(diǎn)Hi和Ki到圓弧圓心點(diǎn)O（x0，y0）的距離分別為：

當(dāng)i的取值從1到n-1時，計算每個對應(yīng)的點(diǎn)Hi和Ki到圓心的距離，找出其極值點(diǎn)，即求出插補(bǔ)誤差δh和δk，若整個圓弧段的允許插補(bǔ)誤差為δ允，則：

設(shè)曲線f（x）的允許插補(bǔ)誤差為δ允，通過比較δh、δk、δ允三者的大小，可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)自適應(yīng)的插補(bǔ)算法。當(dāng)時δh≤δ允且δk≤δ允，直接進(jìn)入下一段圓弧的插補(bǔ)，否則減少A、B、C三點(diǎn)間的參數(shù)增量，重新計算。

2.5 插補(bǔ)誤差的實(shí)用簡化算法（二級簡化）

上述求δh和δk計算中，分別將AB和BC進(jìn)行參數(shù)n等分（n≥2），n取得越大，則計算精度越高，但帶來的問題是計算量成幾何級數(shù)增加。

圖6 插補(bǔ)誤差實(shí)用簡化算法

在實(shí)際加工中，為了簡化計算，可以將n取最小值2（此時i=1）。如圖6所示，此時僅在AB和BC段分別進(jìn)行參數(shù)二等分，即在AB和BC兩段各取一個參數(shù)中間點(diǎn)H1和K1，并將H1和K1作為誤差的極值點(diǎn)。分別用兩點(diǎn)間的距離公式計算H1和K1到圓心的距離dh1和dk1，此時δh=|dh1-R|，δk=|dk1-R|。

3 三點(diǎn)圓法參數(shù)自適應(yīng)插

3.1 插補(bǔ)算法的參數(shù)表達(dá)

與一般的曲線方程相比，參數(shù)方程具有更好的計算特性，為了方便計算，通常要將曲線方程y=f（x）改寫成參數(shù)方程的形式，即：

在曲線上依次取A、B、C三點(diǎn)，若A、B、C點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3，為了計算方便，令，即三點(diǎn)按等參數(shù)Δt的方式進(jìn)行選取。

AB和BC段的參數(shù)中間點(diǎn)H1、K1對應(yīng)的參數(shù)分別為：

求出H1和K1兩點(diǎn)的參數(shù)就可以求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)：

通過兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計算點(diǎn)到圓心的距離，并計算δh和δk，比較δh、δk和δ允三者的大小關(guān)系。當(dāng)δh、δk在允許的誤差范圍內(nèi)時，繼續(xù)進(jìn)行下一段圓弧的插補(bǔ)；當(dāng)δh、δk不同時滿足插補(bǔ)誤差條件時，則重新取點(diǎn)進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，直至圓弧插補(bǔ)滿足誤差條件為止。

3.2 算法流程框圖

在設(shè)計算法流程框圖時，把參數(shù)作為變量，通過控制插補(bǔ)誤差來修正插補(bǔ)參數(shù)，通過參數(shù)的改變來不斷重新選取插補(bǔ)點(diǎn)，直至插補(bǔ)結(jié)束。

首先按等參數(shù)Δt的方式在曲線上取A、B、C三點(diǎn)，并計算三點(diǎn)的坐標(biāo)。

再接下來，計算圓弧的圓心坐標(biāo)O（x0，y0），圓弧的半徑R，計算參數(shù)中間點(diǎn)H1和K1的坐標(biāo)，計算H1和K1到圓心的距離以及δh和δk。

圖7 三點(diǎn)圓法插補(bǔ)算法流程

比較δh、δk和δ允三者的大小關(guān)系。當(dāng)δh≤δ允和δk≤δ允同時滿足時，繼續(xù)進(jìn)行下一段圓弧的插補(bǔ)；不同時滿足時，減少參數(shù)增量Δt，重新取A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，直至滿足誤差許可條件為止。圖7所示為三點(diǎn)圓法插補(bǔ)算法流程。

4 插補(bǔ)應(yīng)用實(shí)例

4.1 加工橢圓曲線

橢圓曲線在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，數(shù)控考證和數(shù)控大賽中常有涉及。若要加工的橢圓曲線方程為為方便各點(diǎn)的坐標(biāo)計算，將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程：。設(shè)加工的起點(diǎn)為（50，0），根據(jù)三點(diǎn)圓法參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法原理，編寫宏程序O0001［5］，如表1所示。

表1 宏程序O0001

續(xù)表

4.2 插補(bǔ)算法分析

為了更好地分析插補(bǔ)算法效果，將程序O0001導(dǎo)入數(shù)控仿真軟件進(jìn)行驗(yàn)證。由于橢圓為軸對稱圖形，故只驗(yàn)證t∈［0，90］的區(qū)間，即第一象限。其驗(yàn)證的加工軌跡如圖6所示。

在進(jìn)行編程時，只控制了最大插補(bǔ)誤差，而沒有限制最小插補(bǔ)誤差，所以在實(shí)際加工中，參數(shù)增量的選取對插補(bǔ)過程有著一定的影響。在程序O0001中，分別增加3個變量，一個計算插補(bǔ)的圓弧段數(shù)，一個計算最大插補(bǔ)誤差，一個計算最小插補(bǔ)誤差，并將3個變量最終以坐標(biāo)的形式輸出。在進(jìn)行插補(bǔ)時，初始設(shè)置的參數(shù)增量會對插補(bǔ)計算產(chǎn)生影響。表2所示為對Δt=2、Δt=4、Δt=6、Δt=10、Δt=12參數(shù)增量情況進(jìn)行的誤差統(tǒng)計。

圖6 第一象限橢圓仿真加工軌跡

表2 參數(shù)增量對插補(bǔ)的影響

從表2可以看出，隨著參數(shù)增量的增加，插補(bǔ)所需要的圓弧段逐漸減少，最終趨于恒定，當(dāng)插補(bǔ)參數(shù)增量較小時，其最大插補(bǔ)誤差小于允許誤差，其插補(bǔ)的圓弧段數(shù)量增多，插補(bǔ)質(zhì)量相對較好，但插補(bǔ)時間較長。

當(dāng)參數(shù)增量的增加時，最大插補(bǔ)誤差也增大，最終趨于恒定值0.005（插補(bǔ)允許誤差，由程序來控制），所以也可以看出，參數(shù)增量的改變不會改變最大插補(bǔ)誤差，從而也驗(yàn)證了該算法的正確性。但最小插補(bǔ)誤差也始終小于最大插補(bǔ)誤差，所以整個插補(bǔ)范圍內(nèi)都滿足插補(bǔ)誤差要求。當(dāng)然，合理選擇參數(shù)增量的大小可以減少插補(bǔ)圓弧段數(shù)，減少插補(bǔ)時間，提高插補(bǔ)效率。

將程序輸入數(shù)控機(jī)床進(jìn)行加工，加工出的產(chǎn)品也滿足插補(bǔ)誤差條件，進(jìn)一步驗(yàn)證了算法正確性。

5 結(jié)束語

本文在研究圓弧插補(bǔ)的基礎(chǔ)上，提出三點(diǎn)圓法參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法，主要研究工作有：

（1）已知圓弧上的三點(diǎn)，計算出圓弧圓心的坐標(biāo)和圓弧半徑，并分析出三點(diǎn)共線的情形；

（2）利用向量的叉積來判斷圓弧的順逆，并推導(dǎo)出判別公式，該判別方法簡單，通用性強(qiáng)；

（3）分析三點(diǎn)圓法插補(bǔ)的誤差計算原理，以參數(shù)中間點(diǎn)替代極值點(diǎn)來計算插補(bǔ)誤差，簡化計算過程，在插補(bǔ)過程中，合理選擇參數(shù)增量的大小，可以提高插補(bǔ)效率；

（4）提出三點(diǎn)圓法參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法，給出了算法的插補(bǔ)原理和算法流程圖，該算法能應(yīng)用于拋物線、雙曲線、正弦曲線、橢圓等多種非圓曲線，通用性強(qiáng)，與文獻(xiàn)［6］的方法相比，具有更好的算法優(yōu)勢；

（5）以橢圓曲線的加工為例，給出了三點(diǎn)圓法參數(shù)自適應(yīng)插補(bǔ)算法的完整程序，并在仿真軟件和機(jī)床上驗(yàn)證了算法的正確性和適用性。