焦 媛，靳海娟，張秀鋒

（長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長(zhǎng)治 046011）

生態(tài)學(xué)和生物數(shù)學(xué)在人口預(yù)測(cè)、保護(hù)珍稀物種、生物資源的開(kāi)發(fā)與利用方面有很重要的研究?jī)r(jià)值，而生物種群中最常見(jiàn)的捕食系統(tǒng)因此也具有普遍的存在性和重要性。最常用的兩個(gè)物種的Leslie-Gower捕食模型：

再通過(guò)加入環(huán)境或人為對(duì)被捕食者的保護(hù)mx來(lái)拓展模型(2),改進(jìn)的模型為：

考慮到環(huán)境中的隨機(jī)波動(dòng)的影響，在系統(tǒng)(3)的每一個(gè)方程中都引入高斯白噪聲來(lái)模擬環(huán)境影響[1-3],再假設(shè)環(huán)境的波動(dòng)主要體現(xiàn)在捕食者和被捕食者的物種數(shù)量增長(zhǎng)率的波動(dòng),，這里的均表示相互獨(dú)立的布朗噪聲,α 和β代表的是各物種增長(zhǎng)率受到的白噪聲的強(qiáng)度,接著對(duì)應(yīng)于確定性模型系統(tǒng)(3),則隨機(jī)系統(tǒng)有以下形式：

由于系統(tǒng)受到環(huán)境或自然界中會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)機(jī)制發(fā)生巨大變化的情形。例如：地震、環(huán)境驟變、極端天氣等造成的影響，所以仍需進(jìn)一步的研究。要考慮狀態(tài)機(jī)制的轉(zhuǎn)變導(dǎo)致物種結(jié)構(gòu)的改變,引入馬爾可夫鏈,設(shè)γ(t)，t ≥0 是在概率空間中的一個(gè)右連續(xù)的馬爾可夫鏈,在一個(gè)有限的狀態(tài)空間S={1,2,…,N} 中取值的以及它的發(fā)生器Γ=(ξij)N×N則有以下

假設(shè)馬爾可夫鏈γ(·)是獨(dú)立于布朗運(yùn)動(dòng)B(·)。也可以任意修改初始值γ(0)=i0∈S，所以可以得到對(duì)于任意的馬爾可夫鏈?zhǔn)枪潭ǖ?。眾所周?幾乎所有γ(·)的樣本路徑都是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù),在區(qū)間R:=[0,∞)的任何有限的子區(qū)間內(nèi)都是有有限個(gè)樣本跳躍。

由系統(tǒng)(5) 描述的捕食模型的活動(dòng)機(jī)制可以解釋為如下方程。假設(shè)最初的值為γ(0)=i ∈M，那么模型(5)滿足

一直到γ(t)跳轉(zhuǎn)到另一個(gè)狀態(tài)才會(huì)改變。當(dāng)跳轉(zhuǎn)到新的狀態(tài)稱之為j ∈M之后,模型將變?yōu)?/p>

運(yùn)用伊藤公式和解隨機(jī)微分方程的方法,來(lái)證明隨機(jī)系統(tǒng)的全局正解的存在性和唯一性以及物種數(shù)量的有界性；再利用馬爾可夫鏈的遍歷理論和鞅的強(qiáng)大數(shù)定律研究以及證明其物種的滅絕性和持久性。

1 全局正解的存在性和唯一性

定理1給定初值(X(0),Y(0))∈,系統(tǒng)(4) 在t ≥0上有唯一解(X(t),Y(t)),在上的概率為1。

證明在系統(tǒng)(4)中,引入新的變量U(t)=ln X(t)和W(t)=ln Y(t)并且應(yīng)用伊藤公式,得到如下轉(zhuǎn)換系統(tǒng)：

系統(tǒng)具有初始值為U(0)=ln X(0)，W(0)=ln Y(0)。顯然地，式(6)的系數(shù)滿足局部的利普希茲條件；因此，方程存在一個(gè)唯一的局部解(U(t),W(t))t ∈[0,τe)，這里的τe代表的是數(shù)量激增時(shí)間[4]，最后得到X(t)=eU(t)，Y(t)=eW(t)是系統(tǒng)(4)基于正初始條件下的唯一的局部解。只需要證明得τe=∞即可。

通過(guò)隨機(jī)方程的比較定理[3],可以得到當(dāng)時(shí)t ∈[0,τe)時(shí)X(t)≤φ(t)，Y(t)≤ψ(t)。

假設(shè)有τe＜∞,那么則就有存在一個(gè)T ＞0 有不等式P(τe＜T)＞0 成立而且令ω ∈(τe＜T)。從文獻(xiàn)[3]中的定理A2,有

因此

這個(gè)與已知的條件是矛盾的,所以有τe=∞。

2 有界性

定理2給任意初值(X(0),Y(0))∈，系統(tǒng)(4)的解X(t),Y(t)，均有以下性質(zhì)：

(i)對(duì)于任意給定的正常數(shù)p,有

(ii)如果對(duì)于任意的ε ＞0,對(duì)于任何的初始數(shù)據(jù)(X(0),Y(0))∈均存在一個(gè)常數(shù),且有

系統(tǒng)(4)的解則稱為隨機(jī)有界的。

證明(i)由于伊藤公式,可以得到

接著對(duì)方程的兩邊做積分有

再利用隨機(jī)積分[5-6]的性質(zhì),可得

考慮不等式(9),可以得到

關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)為

由伊藤公式,可以得到

重新排列方程(10),可以得到

這里的Cp在式(8)中被定義以及

因?yàn)橛?/p>

3 滅絕性和持久性

關(guān)于加入馬爾可夫鏈系統(tǒng)(5)的性質(zhì),當(dāng)狀態(tài)機(jī)制發(fā)生轉(zhuǎn)變系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性。

定理3(i)若＜0,在捕食者滅絕的情況下,被捕食者的數(shù)量短期內(nèi)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)依概率收斂于1,即為

證明(i)由于伊藤公式,我們化簡(jiǎn)系統(tǒng)(5)的第一個(gè)方程得

對(duì)上式兩邊做積分,可以得到

再通過(guò)馬爾可夫鏈的遍歷理論以及鞅的強(qiáng)大數(shù)定律,可以分別得到以下等式

(ii)類似于(i)的證明，運(yùn)用伊藤公式化簡(jiǎn)系統(tǒng)(5)的第二個(gè)方程，得到關(guān)于ln Y(t)的等式。

證明得余下部分與(i)的證明相似故省略。

4 結(jié)語(yǔ)

主要研究了在隨機(jī)擾動(dòng)和狀態(tài)轉(zhuǎn)變下,帶有食餌避難響應(yīng)的Leslie-Gower 捕食系統(tǒng).分別研究并證明系統(tǒng)的全局正解的存在唯一性以及物種數(shù)量的有界性,表明此系統(tǒng)是符合生物生態(tài)學(xué)的,具有可研究性.證明物種的滅絕性和持久性,表明在環(huán)境擾動(dòng)和狀態(tài)突變的情況下,只要物種保持在一定數(shù)量狀態(tài),那么最終一定會(huì)趨于穩(wěn)定。