《數學藝術》作者：[美] 斯蒂芬·奧內斯譯者：楊大地出版社：重慶大學出版社出版時間：2021年3月頁數：240定價：88元

縱觀歷史，來自各個學科的思想家都給柏拉圖多面體（正多面體） 賦予了近乎神秘的性質。認為它們隱藏著宇宙深處的奧秘。它們看來很簡單，但總給人看不透的感覺;人類花了幾千年的時間去探索多面體。它們，特別是三維的柏拉圖多面體，使我們感到愉悅，同時給我們帶來無窮的困惑。它們對藝術家們也具有天然的吸引力，藝術家們常坐在這些幾何學的基石上面沉思，尋找靈感和神秘。

大眾的數學藝術

數學雕塑家喬治·哈特說，數學是一門觀察模式的科學。模式隨處可見：在音樂中，在照片中，在建筑中都有，水晶的形狀或地球的軌道傾斜也是一種模式。成年人常常要學會用數學來理性地看待世界，但是哈特說，孩子們有一個優(yōu)勢，那就是他們自然而誠實地看待世界。但隨著年齡的增長，他們就會失去這個優(yōu)勢。

哈特經常進行雕塑建筑探索活動，帶領他的觀眾，甚至是幼兒園的兒童，進入數學景觀的各個角落，如拓撲學和立體幾何學。哈特用他的雕塑作品和手工作坊來挑戰(zhàn)數學的教學方式。許多人把數學與痛苦的乘法訓練和死記硬背的幾何證明聯系起來。學生通常不會感覺到這門學科的美妙、優(yōu)雅和神奇的一面。直到進入大學里的數學學習。到那時，往往為時已晚。許多可能成為數學家的人已經選擇了其他的領域。

哈特定期訪問世界各地的中學和大學。當我們訪談的時候，他剛從越南的五所學?；貋?，他在那里作講座，并幫助那里的團隊建造了定制的大型幾何雕塑。在他離開后很長的一段時間里，這些雕塑都將屹立在那里。這些項目把團隊建設和自學數學課結合起來。

在哈特的一生中，他一直在用他在周邊尋找到的材料建造幾何雕塑。他記得他還是個孩子時，第一個作品是一個對稱的奇怪玩意，由許多牙齒制成。他用過刀、叉子、勺子、光盤、軟盤、鉛筆、回形針、畫筆和牙刷等來制作三維藝術品。他的大部分作品來源于柏拉圖多面體，這是由一些二維平面上的多邊形通過邊和頂點連接組成的形體。

柏拉圖多面體

他說：“從某種意義上說，我總是從讓我感興趣的數學開始，并試圖把它變成物理的東西?！?20 世紀 90 年代初，他開始創(chuàng)作雕塑，當時他還是長島石溪大學通信理論與工程專業(yè)的一名教授。一開始雕塑只是一種愛好，他說：“后來，它漸漸變成了一種癡迷?！?999 年，紐約市的沃帕爾畫廊正在展出 M.C. 埃舍爾的作品，布展方同意同時展出哈特的一些作品。他說：“這讓我意識到我是個雕塑家?！?p>

喬治·哈特的雕塑《尚普》，直徑4英尺（約1.2米），安放在佛蒙特州曼徹斯特的博安博頓學院。它的30個相同的組件模仿了一群海怪――尚普蘭湖的傳奇生物。

現在，他有一間家庭工作室，里面裝滿了砂輪和鋸子等工具，還有激光切割機和 3D 打印機。他的工具庫里還包括一些他自己制作的工具，這些工具可以按他的要求固定、彎曲和改變材料，沒有任何現成的設備可以做到。

哈特不僅熱衷于培養(yǎng)下一代對數學的熱情，他還希望他們自己去發(fā)現數學。由于材料成本等因素，他的雕塑制作成本可能高達數萬美元，而公立學校往往沒有預算。在過去的幾年里，他和數學教育家伊麗莎白·希斯菲爾德（Elisabeth Heathfield）一直致力于使雕塑更便宜的項目計劃，讓任課教師可以在課堂預算之內承受，甚至利用可以下載的視頻。該項目被取名為“使數學可視化”。

他還是另一個努力擴大數學吸引力的項目的先驅者。哈特幫助創(chuàng)建了“數學博物館”，這是美國唯一的數學博物館，于 2012 年在紐約市開館。哈特在它的設計和內容上花了五年的時間。自開放以來，超過 50 萬人參觀了這家博物館。

哈特希望“數學博物館”只是數學“正常化”趨勢的開端，他希望數學像我們的語言一樣普及。他和希斯菲爾德設想了一個世界性的數學中心網絡，功能類似于圖書館，作為公共空間，人們可以聚集在網上一起學習和分享有關數學的想法

藝術背后的數學：多面體家族

柏拉圖多面體很特殊，在三維空間只有五種正多面體可以存在。它們包括立方體，它有 6 個正方形面;正四面體，它有 4 個正三角形面;也包括正八面體，它有 8 個正三角形面;正二十面體，它有 20 個正三角形面;最后是正十二面體，有 12 個面，都是正五邊形。

幾千年來，人們一直在贊美、分析、改造這些形體，甚至將它們神圣化。它們確實很特別，因為它們是僅有的五種的正凸多面體。首先，它們的面必須是正多邊形，而且必須是相互全等的。（這意味著它們的大小和形狀是一樣的。）其次，每個頂點有相同數目的面在此相交。

我們稱它們?yōu)榘乩瓐D多面體，是因為希臘天文學家柏拉圖在公元前 360 年左右在其著

作《蒂邁歐篇》（Timaeus）中描述了它們，但希臘人并不是唯一知道它們的人。一些學者認為，在蘇格蘭發(fā)現過一些雕刻過的石頭呈現出柏拉圖多面體的形狀，每一塊都有棒球那么大，這表明一些古老的文化可能至少在柏拉圖之前一千年就已經知道柏拉圖多面體了。

柏拉圖不僅描述了這些多面體，他還非常崇敬它們。他把其中的四個同當時認為構成世界的四大基本元素“火、土、水、氣”聯系起來。正四面體代表“火”;立方體代表“土”;而“水”由正二十面體代表;“氣”則對應于正八面體。對于剩下的正十二面體，柏拉圖在《蒂邁歐篇》上寫道：“神使用正十二面體來安排整個天空星座的秩序。”

在《幾何原本》中，歐幾里得證明了只能有五種柏拉圖多面體，不可能再有多的了。柏拉圖把正多面體和神圣的幾何學聯系起來，但他并不是唯一這樣做的人。 1596年，德國數學家和物理學家約翰尼斯·開普勒發(fā)表了《宇宙奧秘》一書，當年他只有 24 歲。他篤信上帝是按照柏拉圖多面體來建造太陽系的。

當時天文學家只知道六顆行星。開普勒想知道為什么會有六顆行星，為什么它們會以交錯的方式，沿著遞增的軌道繞太陽運行。柏拉圖多面體給了他一個答案。開普勒純粹是憑借著想象力，在沒有任何證據的情況下，將行星軌道和正多面體聯系在一起。

想象一下，你在每個柏拉圖多面體周圍畫上一個外接球面。開普勒指出，通過使用特定（但看起來是隨意的）順序將這些球體和正多面體彼此嵌套在一起，你就可以得出一個幾何構型，在這個幾何構型中，柏拉圖多面體之間的距離和行星軌道之間距離的比例剛好是一樣的。開普勒認為它是一只迷人的碗?！暗厍虻能壍朗呛饬克惺挛锏某叨?它的軌道在一個球面上?？蜃∷能壍狼蛎娴氖且粋€正十二面體，而包圍這個正十二面體的圓球面則是火星

的軌道;再往外面，框住火星軌道球面的是正四面體?！遍_普勒寫道?！澳悻F在知道行星數

目是六個的原因了。”開普勒相信柏拉圖多面體和行星的軌道，以及自然界的所有比例，都是由上帝決定的。

開普勒的研究在許多方面都是出于宗教的追求。但在 2011 年，波士頓大學的天文學家肯尼思·布雷徹指出，將《宇宙奧秘》看成科學研究的一個重要轉折點是出于其他原因。開普勒想知道行星軌道這樣安排的意義，他超越了觀察手段，而大膽使用數學上的因果關系。雖然他調整了他的柏拉圖多面體模型，直到它與行星的軌道大體一致，但這充其量只是一個巧合。

13種阿基米德多面體

幾個世紀以來，數學家們用其他方法來擴充和探索柏拉圖多面體。例如，你可以作星形擴展。你可以選擇正多面體的一個面，然后把它相鄰的面所在平面延展，直到它們相交。對所有的面也都這樣做。

還有其他的多面體家族。有 13 種阿基米德多面體，它們的邊都具有相同的長度，但是由兩種或更多種的正多邊形組成。就像柏拉圖多面體一樣，它們具有高度的對稱性，這使得它們作為研究群論和晶體形狀的人來說很有吸引力。

長期以來，藝術家們一直對這些形體非常入迷，這些形體既是數學的主題，也是藝術的主題。甚至連達·芬奇也愛在筆記本上涂鴉多面體。（達·芬奇對幾何非常感興趣，他推薦了一種描繪多面體的風格，就是只畫它們的邊，這樣才能讓觀察者看透多面體，看到它們頂點是如何連接的。）柏拉圖多面體的魅力持續(xù)了幾個世紀，對哈特這樣的藝術家來說，他們從中找到了詮釋經典的新方法，展示了柏拉圖多面體的永恒。