劉現(xiàn)偉，頡潭成,2，徐彥偉，王亞南

（1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽 471003；2.智能數(shù)控裝備河南省工程實(shí)驗(yàn)室，洛陽 471003）

0 引言

Delta機(jī)器人是一種能夠?qū)崿F(xiàn)高速三自由度平動(dòng)的機(jī)構(gòu)，具有動(dòng)作靈活，運(yùn)行速度快，剛性好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于流水包裝線上，以完成大批量、重復(fù)性的快速分揀工作[1]。

軌跡規(guī)劃的好壞直接影響Delta機(jī)器人在分揀作業(yè)時(shí)的運(yùn)動(dòng)效率、運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。在分揀作業(yè)時(shí)，一般采用門字型軌跡作為拾放操作動(dòng)作，而門字型軌跡在豎直與水平方向上存在直角過渡，在高速運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象。Delta機(jī)器人的軌跡規(guī)劃主要圍繞著如何使運(yùn)動(dòng)軌跡更加平滑、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加平穩(wěn)來進(jìn)行。不同的運(yùn)動(dòng)軌跡、不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都會(huì)影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，合理的軌跡規(guī)劃[2]不僅可以提高運(yùn)動(dòng)效率，縮短運(yùn)動(dòng)周期，而且可以減少振動(dòng)，延長機(jī)構(gòu)的使用壽命。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)Delta機(jī)器人在高速高頻作業(yè)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了廣泛而深入的研究。解則曉[3]等從能量指標(biāo)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)基于Bang-bang運(yùn)動(dòng)規(guī)律的多項(xiàng)式曲線能夠有效降低Delta機(jī)器人的軌跡能耗問題。張祥[4]提出一種基于修正梯形運(yùn)動(dòng)規(guī)律的弧線軌跡規(guī)劃方法，該方法能夠減小直角處的沖擊，使運(yùn)動(dòng)過程更加平滑。解則曉[5]等運(yùn)用高階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)一維位移曲線進(jìn)行規(guī)劃，提出一種基于Lamé曲線的軌跡規(guī)劃方法，該方法能夠有效減少機(jī)械手的殘余振動(dòng)。陳偉堤[6]等采用非對(duì)稱的6次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)門型軌跡進(jìn)行優(yōu)化，可使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。蘇婷婷[7]等提出一種基于多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的畢達(dá)哥拉斯速端曲線的軌跡規(guī)劃方法，可使軌跡平滑且運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。梅江平[8]等提出了一種基于五次非均勻有理B樣條運(yùn)動(dòng)規(guī)律的軌跡規(guī)劃方法，該方法在減小運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械手振動(dòng)和降低電動(dòng)機(jī)功耗等方面優(yōu)勢明顯。上述研究成果多從直角過渡部分優(yōu)化門字型軌跡，對(duì)于合成軌跡研究的相對(duì)較少。

為使Delta機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中，有更好的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和運(yùn)動(dòng)效率，文中運(yùn)用疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)Delta機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃。本文在約束運(yùn)動(dòng)周期的前提下，研究了一種基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡規(guī)劃方法，該方法使Delta機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中，有著較好的運(yùn)動(dòng)特性，能有效減少機(jī)構(gòu)的振動(dòng)現(xiàn)象。

1 運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

運(yùn)動(dòng)軌跡包含兩方面內(nèi)容：一是運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即在一維位移曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移隨時(shí)間的變化規(guī)律；二是運(yùn)動(dòng)軌跡，即運(yùn)動(dòng)軌跡在三維笛卡爾坐標(biāo)空間中的形狀。

1.1 運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)劃

常用的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有S型加減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律[9]、多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律[10]、擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律[11]等。文中對(duì)擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行改造：將兩條擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線進(jìn)行疊加，形成新的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線光滑、連續(xù)可導(dǎo)，具有較好的加減速運(yùn)動(dòng)效率，運(yùn)動(dòng)過程中不存在剛性沖擊和柔性沖擊。設(shè)平面內(nèi)一條擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移曲線為s（τ），則其公式為，

式(1)中，τ∈[0，T]，T為運(yùn)動(dòng)周期。

設(shè)兩條擺線位移曲線為：s1（τ），s2（τ）。

式(2)，式(3)中，m，n為放大系數(shù)，τ∈[0，T]，T為運(yùn)動(dòng)周期。對(duì)式(2)，式(3)求導(dǎo)，可得到速度、加速度、躍度公式。

設(shè)定疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s（τ），則：

由加減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在T/2時(shí)刻，速度達(dá)到最大值M，并且在（0，T/2]區(qū)間內(nèi)，速度曲線函數(shù)單調(diào)有界，加速度曲線函數(shù)值恒大于等于0，則：

由速度曲線加減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要求運(yùn)動(dòng)過程中要有較高的運(yùn)動(dòng)效率，需速度曲線形狀盡可能的接近“梯形”。則有式(5)、式(6)可以推出：在T/2時(shí)刻，躍度曲線函數(shù)值為0。即：

由式(7)求得：m=8n。當(dāng)m=8n時(shí)，疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的速度曲線盡可能的接近“梯形”，如圖1所示。

圖1 疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律速度曲線

多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律常用于軌跡規(guī)劃，本文運(yùn)用3-4-5次多項(xiàng)式作為對(duì)比，其歸一化后的公式為：

式中，τ∈[0，T]，T為運(yùn)動(dòng)周期。

為分析疊加擺線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行歸一化后對(duì)比分析，得：位移曲線圖，如圖2所示。速度曲線圖，如圖3所示。加速度曲線圖，如圖4所示。躍度曲線圖，如圖5所示。

圖2 位移曲線圖

圖3 速度曲線圖

圖4 加速度曲線圖

圖5 躍度曲線圖

由圖3速度曲線圖可得，疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的速度峰值最小，擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的速度峰值最大；由圖4加速度曲線可得，疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的加減速運(yùn)動(dòng)效率較高，擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的加減速運(yùn)動(dòng)效率較低；由圖5躍度曲線可得，疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的躍度峰值最大，但和3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的躍度峰值相比相差不大。綜合分析得，疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的速度峰值小，加減速運(yùn)動(dòng)效率較高。

1.2 運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃

為完成拾放操作任務(wù)，需確定機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵點(diǎn)：起始點(diǎn)、末端點(diǎn)和避障最高點(diǎn)。在確定軌跡關(guān)鍵點(diǎn)后，運(yùn)用合成運(yùn)動(dòng)，在豎直方向與水平方向形成合成軌跡。在水平方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為運(yùn)動(dòng)周期T；在豎直方向上，上升階段與下降階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為T/2。由合成運(yùn)動(dòng)得到，3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律形成的合成軌跡和疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律形成的合成軌跡，如圖6所示。

圖6 合成軌跡圖

2 仿真與分析

仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)：起始點(diǎn)（-141.36，0，-400），避障最高點(diǎn)（0，0，-310），末端點(diǎn)（141.36，0，-310）。用MATLAB軟件中SimMechanics模塊對(duì)基于3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡和基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡進(jìn)行了仿真對(duì)比分析，得到機(jī)器人末端的軌跡曲線，如圖6所示。該Delta機(jī)器人的特性參數(shù)：靜平臺(tái)半徑為43.30mm；動(dòng)平臺(tái)半徑為36.18mm,質(zhì)量為0.053kg；主動(dòng)臂長度為180mm，質(zhì)量為0.122kg；從動(dòng)臂長度為350mm，質(zhì)量為0.061kg。

2.1 關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間軌跡運(yùn)動(dòng)特性

通過仿真，得到了Delta機(jī)器人在關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間中的運(yùn)動(dòng)特性曲線。在基于3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡下，角位移曲線如圖7(a)所示，角速度曲線如圖8(a)所示，角加速度如圖9(a)所示。在基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡下，角位移曲線如圖7(b)所示，角速度曲線如圖8(b)所示，角加速度如圖9(b)所示。

圖7 角位移曲線

圖8 角速度曲線

圖9 角加速度曲線

由圖7角位移曲線得，多項(xiàng)式合成軌跡與疊加擺線合成軌跡的角位移曲線均相對(duì)平滑、自然，無劇烈波動(dòng)現(xiàn)象，無較大區(qū)別。由圖8角速度曲線得，多項(xiàng)式合成軌跡的角速度的峰值與疊加擺線合成軌跡的角速度峰值相差不大，但從兩圖峰值處曲線走勢來看，疊加擺線合成軌跡的速度曲線峰值處變化較為平緩。由圖9角加速度曲線得，多項(xiàng)式合成軌跡的正向角加速度的峰值與疊加擺線合成軌跡的正向角加速度峰值相差不大，但疊加擺線合成軌跡的負(fù)向角加速度峰值比多項(xiàng)式合成軌跡的大，從加減速運(yùn)動(dòng)效率來看，疊加擺線合成軌跡的加減速運(yùn)動(dòng)過程較快，有著較高的運(yùn)動(dòng)效率。將圖8、圖9中的數(shù)據(jù)整理為表1，由表1電機(jī)狀態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)比可得，疊加擺線合成軌跡的1、2軸角速度峰值均比多項(xiàng)式合成軌跡的角速度峰值??；3軸的角速度峰值比多項(xiàng)式合成軌跡的大，但相差不大。由角加速度數(shù)據(jù)得，疊加擺線1軸的角加速度峰值比多項(xiàng)式的角加速度峰值大；2、3軸的角加速度峰值比多項(xiàng)式的小，但相差不大。由圖7～圖9和表1整體分析可得：基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡與多項(xiàng)式合成軌跡相比，在關(guān)節(jié)空間中，其角速度峰值降低，加速度峰值增加，具有較高的加減速運(yùn)動(dòng)效率。

表1 電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)比

2.2 直角坐標(biāo)空間軌跡運(yùn)動(dòng)特性

由仿真得到Delta機(jī)器人在直角坐標(biāo)空間中的運(yùn)動(dòng)特性曲線，在基于3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡下，其末端速度、加速度曲線，如圖10(a)、圖11(a)所示。在基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡下，其末端速度、加速度曲線，如圖10(b)、圖11(b)所示。

圖10 末端速度曲線

由圖10末端速度曲線得，多項(xiàng)式合成軌跡與疊加擺線合成軌跡的速度曲線均相對(duì)平滑、自然。但疊加擺線合成軌跡的末端速度曲線形狀更接近“梯形”，并且其速度峰值大大降低。由圖11末端加速度曲線得，疊加擺線合成軌跡的末端加速度峰值比多項(xiàng)式合成軌跡的加速度峰值大，加減速過程較快，運(yùn)動(dòng)效率高。將圖10、圖11中的數(shù)據(jù)整理為表2，由表2末端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可得，在x軸和z軸方向上，疊加擺線合成軌跡的末端速度峰值與多項(xiàng)式合成軌跡的相比，減少了14.67%。對(duì)比表2中的末端加速度峰值，在x軸與z軸方向上，疊加擺線合成軌跡的末端加速度峰值比多項(xiàng)式合成軌跡的大?？傮w來說，基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡，末端速度峰值降低，加減速過程較快，運(yùn)動(dòng)較平穩(wěn)。

表2 末端運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)比

圖11 末端加速度曲線

3 樣機(jī)試驗(yàn)

為驗(yàn)證文中所規(guī)劃的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的實(shí)際運(yùn)動(dòng)特性，搭建了如圖12所示的Delta機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并進(jìn)行驗(yàn)證分析。機(jī)器人控制器選用PMAC系列中的Turbo PMAC2-Eth-Lite控制器（又稱“Clipper”），驅(qū)動(dòng)器型號(hào)為A-SV15，伺服電機(jī)型號(hào)為60ST-M01930，減速機(jī)型號(hào)為PLX60-5，減速比為5:1。主動(dòng)臂及動(dòng)平臺(tái)材料為鋁合金，從動(dòng)臂材料為碳纖維。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)用PMAC卡中的DPRAM數(shù)據(jù)采集緩沖區(qū)，采集的數(shù)據(jù)為2500線增量式編碼器所反饋的實(shí)際脈沖數(shù)，采樣頻率為112.5Hz。

圖12 delta機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

通過樣機(jī)試驗(yàn)，采集電機(jī)運(yùn)動(dòng)過程中的實(shí)際脈沖數(shù)據(jù)，并將其轉(zhuǎn)化為角度值，得到疊加擺線合成軌跡與多項(xiàng)式合成軌跡的關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間曲線，如圖13～圖15所示。與仿真所得的關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間曲線對(duì)比，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論基本相符。在試驗(yàn)過程中，疊加擺線合成軌跡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比多項(xiàng)式合成軌跡更加平穩(wěn)。

圖13 角位移曲線

圖14 角速度曲線

圖15 角加速度曲線

4 結(jié)語

利用疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)劃了Delta并聯(lián)機(jī)器人的分揀操作軌跡，在約束分揀操作周期的前提下，分析了關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間與直角空間的運(yùn)動(dòng)特性曲線。研究結(jié)果表明：1）基于疊加擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡與基于3-4-5次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的合成軌跡相比，疊加擺線合成軌跡運(yùn)動(dòng)更平穩(wěn)，運(yùn)動(dòng)特性曲線具有更好的柔順性。2）疊加擺線合成軌跡具有更高的加減速運(yùn)動(dòng)效率，且加減速運(yùn)動(dòng)曲線光滑、自然。3）疊加擺線合成軌跡在關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間中與直角坐標(biāo)空間的速度峰值均有所降低，其中直角坐標(biāo)空間中速度峰值降低14.67%，更有利于減小運(yùn)動(dòng)過程中振動(dòng)現(xiàn)象。