王新寬, 姚彬彬
(陜西理工大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院, 陜西 漢中 723000)
稀布陣列天線(Sparse antenna array,SAA)是指天線單元在陣列的口徑范圍內(nèi)隨機(jī)分布的一類陣列結(jié)構(gòu)。與單元緊密排列的陣列天線相比,SAA能夠在不明顯降低天線的波束寬度、增益等指標(biāo)情況下,大幅改善天線的旁瓣性能,降低陣列的硬件成本,減輕天線單元之間的互耦效應(yīng)和T/R組件間的散熱問題[1],故具有很好的工程應(yīng)用前景。與之相應(yīng),SAA的設(shè)計及其方向圖綜合算法一直是陣列天線研究中的熱點問題[2]。然而,由于單元數(shù)目、陣列口徑、最小單元間隔等的限制,針對SAA的綜合通常是一個強(qiáng)烈的非線性、多約束問題。為此,以遺傳算法(Genetic algorithm,GA)[3-4]、粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)[5]、差分進(jìn)化算法(Differential evolution,DE)[6-8]等為代表的啟發(fā)式優(yōu)化算法被廣泛采用。
盡管如此,上述算法更多地被應(yīng)用于優(yōu)化稀布直線陣列天線(Sparse linear antenna array,SLAA),以及單元數(shù)較少的稀布平面陣列天線[3](Sparse planar antenna array,SPAA)。當(dāng)SPAA含有較多單元時,采用此類算法通常會面臨較大的計算負(fù)擔(dān),容易收斂到局部最優(yōu)解。以文獻(xiàn)[9]中采用GA優(yōu)化一個185單元的圓口徑陣列為例,所需耗時達(dá)23 h,才獲得了較低副瓣的目標(biāo)。
為了降低SPAA優(yōu)化的復(fù)雜度,可以考慮把SPAA的單元分置在以口徑中心為圓心的一系列同心圓環(huán)上,形成稀布圓平面陣列天線(Sparse circular planar array,SCPA)。這種陣列結(jié)構(gòu)只需考慮同一個圓環(huán)上相鄰單元落點位置的影響,是一個一維約束問題,因此受到了眾多研究者的關(guān)注。典型工作如:文獻(xiàn)[8]利用GA對一些圓口徑稀布陣列,以及具有對稱結(jié)構(gòu)的SCPA進(jìn)行了優(yōu)化;文獻(xiàn)[9]提出了基于修正GA的降維優(yōu)化算法,通過把二維平面陣列的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為虛擬的一維稀布直線陣,有效降低了算法的復(fù)雜度;文獻(xiàn)[10]給出了一種優(yōu)化SCPA的實數(shù)編碼遺傳算法,通過對相鄰圓環(huán)間距的合理設(shè)置并引入旋轉(zhuǎn)角變量,使得單元分布自動滿足最小間隔約束條件且具有很好的隨機(jī)性,實現(xiàn)了單元數(shù)多達(dá)201的SCPA的低副瓣綜合;文獻(xiàn)[11]把多目標(biāo)粒子群(Multi-objective particles swarm optimization,MOPSO)與凸優(yōu)化結(jié)合,利用前者優(yōu)化單元位置,后者優(yōu)化單元權(quán)值,所得SCPA的旁瓣和柵瓣電平值均得到了有效抑制;文獻(xiàn)[12]根據(jù)第一類貝塞爾函數(shù)的特性,提出了降低SCPA旁瓣的確定性準(zhǔn)則,并設(shè)計了一種具有低旁瓣、寬帶特性和大角度掃描功能的SCPA來驗證該準(zhǔn)則的有效性。
本文采用DE算法對含有較多單元的SCPA進(jìn)行方向圖綜合,針對啟發(fā)式算法在優(yōu)化此類問題時運(yùn)算負(fù)擔(dān)大的問題,提出部分密度錐削方案以產(chǎn)生更好的初始單元分布,并通過最小間距約束條件來大幅降低待優(yōu)化單元的數(shù)目,從而加快算法的收斂速度,實現(xiàn)以較小的硬件負(fù)擔(dān),對含有較多單元的SCPA進(jìn)行快速綜合的目標(biāo)。
稀布圓平面陣列天線的模型如圖1所示。
圖1 稀布圓平面陣列結(jié)構(gòu)圖
若SCPA的中心存在一個單元,除此之外另含H個圓環(huán),每個圓環(huán)的半徑、單元數(shù)分別記作rh、Nh(h=1,2,…,H),則其方向圖可表示為
(1)
其中θ和φ分別表示俯仰角與方位角,k為波數(shù),Ih,nexp(jψh,n)代表位于極坐標(biāo)位置(rh,φh,n)的單元激勵,rh和φh,n表示編號為h的圓環(huán)上,第n個單元的極徑和極角。若單元均勻激勵且相位為零,則Ih,n=1,ψh,n=0(h=1,2,…,H;n=1,2,…,Nh)。再令u=sinθcosφ,v=sinθsinφ,式(1)可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>
(2)
上式表明,單元均勻激勵時,SCPA的方向圖僅取決于單元的落點位置[8]。若主瓣指向(θ0,φ0),相應(yīng)在正弦坐標(biāo)系下,有u0=sinθ0cosφ0,v0=sinθ0sinφ0。
為了在單元均勻激勵情況下,降低SCPA的旁瓣電平,第一步,對其初始單元分布采取部分密度錐削策略,這種策略實質(zhì)上是對密度錐削方案的改進(jìn)。當(dāng)單元分布滿足密度錐削方案時,有利于降低陣列的旁瓣電平,而提升陣列中心點附近的單元數(shù)目,是進(jìn)一步降低SCPA旁瓣電平的可行措施。但由于SCPA中心點附近的圓環(huán)半徑很小,在滿足最小間距(弧長間距Δs=λ/2,λ為波長)約束條件下,能夠包含的單元數(shù)目很少,為此,對靠近SCPA中心的幾個圓環(huán),設(shè)置圓環(huán)間距均等于半波長,且每個圓環(huán)均為以Δs為周期的滿陣結(jié)構(gòu)。對處于SCPA外圍的圓環(huán),使圓環(huán)間距從內(nèi)向外逐漸增大且均大于半波長,并以Δs為間隔將這些圓環(huán)分別劃分為一系列柵格點,然后按照填充比(指圓環(huán)上實際填充的單元數(shù)目與該圓環(huán)包含的柵格總數(shù)的比值)依次遞減的方式,把天線單元隨機(jī)分配到這些柵格點上,從而滿足密度錐削的要求,形成有利于低副瓣實現(xiàn)的單元分布形式,這就是部分密度錐削的思想。
第二步,針對初始SCPA的所有圓環(huán),設(shè)置一組(0,2π)間的旋轉(zhuǎn)角變量,利用DE對其進(jìn)行優(yōu)化以降低SCPA的旁瓣電平。
第三步,選取上一步所得SCPA中,同一圓環(huán)上間距大于Δs的單元作為優(yōu)化對象,在滿足最小間距約束條件下,采用DE對這些單元的角位置進(jìn)行優(yōu)化,以進(jìn)一步降低SCPA的旁瓣電平。由于約束條件的限制,待優(yōu)化的單元數(shù)目通常少于單元總數(shù)的一半,使得DE算法的尋優(yōu)空間被大幅度壓縮,促進(jìn)了算法的加速收斂,減輕了算法的運(yùn)算負(fù)擔(dān)。
基于上述算法思想,以一個口徑半徑為R的SCPA綜合為例,對算法的過程進(jìn)行詳細(xì)闡述如下。
2.1.1 陣列口徑的柵格劃分
以口徑中心為圓心,把整個口徑劃分為H個同心圓環(huán),口徑半徑R和H的關(guān)系需滿足
δ=R-H·0.5λ, s.t. 0.5λ≤δ≤1.5λ,
其中δ稱為口徑余量,表示把R截去H段長度均為0.5λ的線段后的剩余量。以陣列中心為圓心,從內(nèi)向外依次劃分出H個圓環(huán),前h0個圓環(huán)的半徑依次取rh=h·0.5λ,h=1,2,…,h0,且h0=int(H/2),int代表向下取整函數(shù)。剩余的(H-h0)個圓環(huán),需滿足相鄰間距從內(nèi)向外依次增大且均大于半波長的條件。為此,把δ隨機(jī)劃分成不等間隔的(H-h0)份,記作ε={ε1,ε2,…,εH-h0},且有
接下來進(jìn)行柵格點劃分,對每個圓環(huán),均從x軸正半軸(如圖2所示)算起,以半波長的弧長間隔進(jìn)行劃分。因此,半徑為rh的圓環(huán)上柵格點數(shù)目為
圖2 SCPA中待優(yōu)化單元的選取方式、移動范圍示意圖
2.1.2 單元分布初始化
ρh0+i=τi+randi·Δτ,i=1,2,…,H-h0。
到此,完成了對初始SCPA的構(gòu)造。圖2以一個口徑半徑為2.5λ、4圓環(huán)劃分的SCPA為例,對前述步驟進(jìn)行了說明?!?”代表空的柵格點,“°”和“·”均代表所在柵格點存在填充單元,圖中編號依次為1th~17th的單元(用符號“·”表示)被選中,作為待優(yōu)化的對象,而符號“°”代表未被選中的單元??梢钥闯觯?個圓環(huán)的半徑依次為0.5λ、1.0λ、1.72λ和2.5λ,內(nèi)部兩個圓環(huán)都被填滿,外部兩個圓環(huán)的填充比分別為0.476和0.387,滿足對SCPA口徑劃分與單元初始化的要求。
從圖2可以看出,不同圓環(huán)上的初始化柵格劃分均以x軸正向為起點,若劃分的起點不同,則可影響到SCPA中的單元分布及其方向圖。因此針對每個圓環(huán),設(shè)置一個(0,2π)間變化的旋轉(zhuǎn)角變量,對包含H個圓環(huán)的SCPA來說,這些變量可記作ξ={ξ1,ξ2,…,ξH}。取適應(yīng)度為陣列的旁瓣電平值,則目標(biāo)函數(shù)為
minSLL=f(ξ1,ξ2,…,ξH),
利用DE進(jìn)行優(yōu)化后,把得到的最佳個體記作ξ0。
2.3.1 待優(yōu)化單元的選取及單元移動范圍的確定
針對上述得到的SCPA,從第h0+1個圓環(huán)算起,以x軸正向為起點,沿逆時針方向,依次選取圓環(huán)上弧長間距大于半波長的單元作為優(yōu)化對象,選取結(jié)束后再進(jìn)入第h0+2個圓環(huán),直到第H個圓環(huán)為止。將所有被選中的單元按照選取順序的先后依次排列并編號,得到待優(yōu)化單元的集合。假定有L個單元被選中,這些單元的初始位置用向量d0={d1,d2,…,dL}表示。規(guī)定這些單元可以在其初始位置附近沿著圓環(huán)移動,但移動后仍需滿足弧長間隔不小于0.5λ的約束條件。據(jù)此,重新定義這些單元的位置向量為χ={χ1,χ2,…,χL},并把其繞圓環(huán)移動范圍的上限(沿逆時針方向移動)記作dmax={d1,max,d2,max,…,dL,max},下限(沿順時針方向移動)記作dmin={d1,min,d2,min,…,dL,min},從而有
dl,min≤χl≤dl,max,l=1,2,…,L。
根據(jù)柵格的填充情況及約束條件,可以確定dmax和dmin的值。以編號分別為(l-1)th、lth,初始位置為dl-1和dl的兩個單元為例,若單元之間存在空的柵格,則這兩個單元可以相向移動,且相向移動的最大距離(均指弧長距離,以下同)相等。即(l-1)th單元逆時針可移動到的最大位置點dl-1,max與其初始位置dl-1之間的差值,和lth單元的初始位置dl與其順時針可移動到的最大位置點dl,min之間的差值相等。并且,為了滿足最小間隔條件,dl,min與dl-1,max之間的差值為0.5λ。公式表示為
通過上述方法,依次確定出每個單元可移動范圍的上、下限,為下一步的位置優(yōu)化做好準(zhǔn)備。圖2用雙箭頭標(biāo)出了所有被選中單元的可移動范圍。
2.3.2 基于DE的單元位置優(yōu)化
固定ξ0,以待優(yōu)化單元的位置向量χ={χ1,χ2,…,χL}作為DE的個體向量,建立如下目標(biāo)函數(shù):
minSLL=f(ξ0,χ1,χ2,…,χL)。
采用DE算法對χ進(jìn)行優(yōu)化后,把得到的最佳結(jié)果保留,這樣就結(jié)束了一次完整的數(shù)值試驗。圖3所示為算法流程圖。
圖3 算法流程圖
在所有數(shù)值試驗中,算法的運(yùn)行次數(shù)均為50次,種群規(guī)模和進(jìn)化代數(shù)均為30,縮放因子和交叉概率分別取0.8和0.9。
為了和已有結(jié)果進(jìn)行對比,考慮SCPA的口徑半徑為5.0λ,單元總數(shù)(用N表示)等于201,圓環(huán)數(shù)目為9個,編號按照從內(nèi)向外的順序依次記為1th~9th。根據(jù)本文算法得到的結(jié)果,1th~4th圓環(huán)的間距為0.5λ,且圓環(huán)上所有的柵格均被填滿,從而在0λ~2.0λ的口徑范圍內(nèi),形成一個單元數(shù)等于61的滿陣結(jié)構(gòu)。剩余5個圓環(huán)的半徑,按照間距逐漸增大的要求,依次等于2.506λ、3.035λ、3.592λ、4.239λ和5.0λ,填充比分別為94.16%、81.03%、67.46%、49.19%和38.71%。圖4(a)給出了所得陣列的單元分布圖。該陣列的旁瓣電平為-24.78 dB,方向性系數(shù)等于28.49 dB。與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相比,旁瓣降低1.84 dB,方向性系數(shù)提升1.11 dB。與文獻(xiàn)[10,13]的結(jié)果相比,陣列的旁瓣電平分別降低約1.04 dB和0.57 dB。圖4(b)給出了算法不同階段得到的適應(yīng)度收斂曲線,可以看出,執(zhí)行完算法的第三步后,個體適應(yīng)度有了明顯降低。
(a) 單元分布 (b) 適應(yīng)度收斂曲線圖4 口徑半徑為5.0λ,201單元填充的SCPA的綜合結(jié)果
類似地,若SCPA的口徑半徑等于4.5λ,填充單元數(shù)為185,利用本算法得到的陣列單元分布及其3D方向圖如圖5所示。該陣列的旁瓣電平等于-25.03 dB,方向性系數(shù)為28.27 dB。與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相比,旁瓣電平降低2.59 dB,方向性系數(shù)增高1.1 dB;與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果相比,旁瓣電平降低約1.29 dB。表1給出了本算法和已有算法的對比結(jié)果,可以看出,本算法可以更有效地應(yīng)用于含有較多單元的稀布圓平面陣列的低副瓣綜合。上述所有數(shù)據(jù)均在硬件環(huán)境為I7-6700處理器、內(nèi)存8 GB的PC上完成,這些算例的運(yùn)行機(jī)時約在6.5~7.5 h之間。
表1 不同算法的對比結(jié)果
由于對初始單元分布采取部分密度錐削的策略,通過預(yù)設(shè)的約束條件,待優(yōu)化的單元數(shù)目僅占單元總數(shù)的一小部分,使得算法兼顧了單元分布的多樣性和快速收斂性,具備較好的全局尋優(yōu)能力。數(shù)值試驗結(jié)果表明,和已有算法相比,采用本算法得到的SCPA,旁瓣電平至少降低了1 dB以上,方向性系數(shù)提升約1.1 dB。類似地,若在初始柵格劃分中,設(shè)定柵格間的弧長間距大于半波長,將進(jìn)一步提高陣列的稀疏率和單元分布的多樣性,有助于獲得更為優(yōu)異的結(jié)果。本算法的思路也可為矩形稀布平面陣列的設(shè)計提供參考。