李 暢，賀景瑞，李 懋，賴 鵬

（中國人民解放軍63795部隊(duì)，北京100089）

1 引言

太陽、地球和衛(wèi)星，三者在太空中依據(jù)其軌道運(yùn)行規(guī)律不停變換相對位置關(guān)系。在某些特殊時(shí)間和條件下，衛(wèi)星處于地球相對太陽背面，從而受地球遮擋無法接收太陽光，此類現(xiàn)象叫做“地影”[1-2]，如圖1所示。

圖1 地影示意圖

作為天體運(yùn)動不可避免的現(xiàn)象，“地影”的覆蓋范圍相當(dāng)廣泛，包括地球同步靜止軌道衛(wèi)星、太陽同步軌道衛(wèi)星等各類型衛(wèi)星基本上都會面臨地影約束。例如GEO衛(wèi)星地影期出現(xiàn)在星下點(diǎn)當(dāng)?shù)卮悍帧⑶锓智昂?，每期延續(xù)天數(shù)約46 d，單次最長地影時(shí)長約72 min[3]。由于“地影”期間太陽光被地球遮擋，在缺失陽光這一太空中最重要的自然能量來源后，航天器在軌健康運(yùn)行管理將面臨嚴(yán)峻考驗(yàn)[4]。

首先，地影期間航天器無法接收太陽光，部分賴以依靠陽光工作的部件將失去效能。如太陽帆板無法采集能量進(jìn)行光電轉(zhuǎn)換，衛(wèi)星系統(tǒng)只能通過星載蓄電池進(jìn)行放電供電。同時(shí)，太陽敏感器也將無法正常開展工作[5]。其次，在無光照條件下，航天器表面溫度將會出現(xiàn)驟降，這對衛(wèi)星熱控防護(hù)提出了較高要求。此外，缺乏太陽光直射意味著衛(wèi)星受到太陽光壓攝動影響消失，將會引起航天器不同程度姿態(tài)和軌道變化[6-7]。因此衛(wèi)星地影精確預(yù)報(bào)對在軌航天器長期安全運(yùn)行和工作效能充分發(fā)揮具有重要意義，同時(shí)其特征規(guī)律也可對衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)提供參考和建議，加快新技術(shù)、新方法研究應(yīng)用[8]，如智能充放電管理、零部件溫度余量設(shè)計(jì)等。

綜上所述，本文將從模型分類、判定標(biāo)準(zhǔn)、計(jì)算方法、總結(jié)與展望等方面對“地影”問題進(jìn)行分析，行文思路如圖2所示。

圖2 文章結(jié)構(gòu)圖

2 地影模型

1957-10-04，世界第一顆人造衛(wèi)星——人造地球衛(wèi)星1號發(fā)射升空。緊隨其后，1958年太陽能電池陣開始應(yīng)用于衛(wèi)星供電[9]，對其有重要影響的地影問題研究迅速展開。目前，較為通用的地影模型有兩種，分別是柱形地影模型和錐形地影模型，二者關(guān)鍵區(qū)別在于是否將太陽視為點(diǎn)光源[10]。下面對這兩種模型進(jìn)行詳細(xì)闡述。

2.1 柱形地影模型

在柱形地影模型中，太陽作為非點(diǎn)光源存在，即將太陽光視作平行光束。受地球阻擋，在其后方形成“圓柱形”的陰影區(qū)域，因此稱為柱形地影模型，當(dāng)衛(wèi)星飛行至該區(qū)域時(shí)即進(jìn)入地影期。在此模型中，衛(wèi)星狀態(tài)分為有光照和無光照兩種，如圖3所示。

柱形模型認(rèn)為太陽、地球間距離足夠遠(yuǎn)、太陽半徑足夠大，可抵消太陽光在傳播過程中產(chǎn)生的方向畸變。從數(shù)值來看，相對于太陽半徑（6.963×105km）和地球半徑（6.371×104km），日地距離（1.5×108km）已超出二者三四個數(shù)量級?；诖?，部分學(xué)者認(rèn)為即便是高軌衛(wèi)星在定軌弧段不太長時(shí)，采用圓柱形地影模型仍可以將精度保持在米級范圍[11]。

圖3 柱形地影模型

2.2 錐形地影模型

然而，隨著各類工程應(yīng)用對衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的要求越來越高，柱形地影模型中太陽光為平行光束前提已無法被輕易忽視。研究指出柱形模型僅適用于低軌衛(wèi)星陰影計(jì)算，對于高軌衛(wèi)星計(jì)算誤差將越來越大[12]，時(shí)間相差甚至達(dá)1 min以上[13]。因此，需精確考慮太陽光傳播實(shí)際情況、太陽和地球半徑及日地距離，錐形地影模型應(yīng)運(yùn)而生，如圖4所示。太陽光與地球形成的陰影區(qū)如同圓錐形狀，故稱為錐形地影模型。該模型將衛(wèi)星所處區(qū)域分為四類，分別是全影區(qū)（完全無光照）、半影區(qū)（部分光照）、光照區(qū)（完全無遮擋）和偽影區(qū)。其中，偽影區(qū)因距地球過遠(yuǎn)，通常不作考慮。

2.3 常見判定條件

在兩種模型描述地影問題的幾何關(guān)系基礎(chǔ)上，眾多研究學(xué)者利用不同的陰影區(qū)物理量標(biāo)準(zhǔn)得到了不同的判定條件和約束方程，這些物理量標(biāo)準(zhǔn)主要有日衛(wèi)地心夾角、影錐投影半徑和影錐特征角等[14-15]。下面對這些判定方法進(jìn)行闡述。

圖4 錐形地影模型

2.3.1 日衛(wèi)地心夾角

日衛(wèi)地心夾角判定標(biāo)準(zhǔn)通常用于相對簡單的柱形地影模型。在圖3中，RS1表示太陽地心矢量，RS2表示衛(wèi)星地心矢量，RE表示地球半徑。根據(jù)相對位置關(guān)系可得衛(wèi)星處于陰影期的限制條件[16]：衛(wèi)星和太陽地心矢量夾角β大于90°，且衛(wèi)星處于地影陰影柱范圍之內(nèi)。公式如下：

2.3.2 影錐投影半徑

如圖4所示，設(shè)定L為衛(wèi)星在陰影軸（即日地連線）上的垂直高度，L1為本影邊界在陰影軸上的垂直高度，L2為半影邊界在陰影軸上的垂直高度。C1和C2分別為衛(wèi)星至前照點(diǎn)A1、后照點(diǎn)A2在陰影軸上的距離。通過計(jì)算各參數(shù)值并比較各參數(shù)之間的大?。ㄈ绫?所示），可確定衛(wèi)星所處區(qū)域的光照條件。

表1 衛(wèi)星光照條件判定

2.3.3 影錐特征角

影錐特征角的定義為，以A1為頂點(diǎn)的半影圓錐和以A2為頂點(diǎn)的本影圓錐的半錐角，分別用α和β表示，易知本影圓錐嵌套于半影圓錐中。在地球周年繞日運(yùn)動中，日地距離變化范圍為1.47×108～1.52×108km，β變化范圍分別為0.264 8°～0.273 8°和0.260 0°～0.268 8°，變化率分別為5.707 8×10-10°/s和5.580 9×10-10°/s，可知二者變化均極小，可視為常數(shù)[17]。

此方法判定思路為，首先計(jì)算出衛(wèi)星至A1、A2點(diǎn)與陰影軸的夾角，分別用ζ和η表示[18]，計(jì)算方法見公式（1）。衛(wèi)星若處于陰影中，則滿足ζ＜α、η＜β，同時(shí)滿足衛(wèi)星在地表之上的距離限定條件。

不難看出，本判定標(biāo)準(zhǔn)與影錐投影半徑判定標(biāo)準(zhǔn)本質(zhì)相同，都是出于本影、半影錐形角來限定地影邊界，不同的是后者應(yīng)用長度來代替角度進(jìn)行判定。對于上述兩種判定條件，謝文杰等進(jìn)行了仿真和驗(yàn)證，結(jié)果證明相較于影錐投影半徑判定法，影錐特征角的計(jì)算精度和計(jì)算效率明顯提升[17]。影錐角條件判定如圖2所示。

表2 影錐角條件判定

3 計(jì)算方法

在根據(jù)地影模型得到不同判定標(biāo)準(zhǔn)和約束方程后，如何精確求解方程的同時(shí)又保證計(jì)算效率，成為了諸多學(xué)者研究的重點(diǎn)。在計(jì)算方法方面，主要分為天體視半徑計(jì)算法和軌道根數(shù)計(jì)算法兩種。

3.1 天體視半徑法

太陽遮擋示意圖（衛(wèi)星視角）如圖5所示。此方法基于衛(wèi)星視角，計(jì)算此視角下未受遮擋的太陽視面積，通過與標(biāo)準(zhǔn)太陽視面積比較判斷衛(wèi)星是否處于地影期。具體計(jì)算方法為，設(shè)計(jì)算地球視半徑為a，太陽視半徑為b，兩天體中心點(diǎn)視距離為c。則太陽視面積（未受遮擋區(qū)域）計(jì)算公式為：

由公式（2）易知當(dāng)S=πb2時(shí)，衛(wèi)星處于完全光照時(shí)期；當(dāng)0＜S＜πb2時(shí)，衛(wèi)星被部分遮擋；當(dāng)S=0時(shí)，衛(wèi)星則處于陰影區(qū)[19]。然而此種方法存在精度較低問題，原因?yàn)樘柧嚯x地球、衛(wèi)星較遠(yuǎn)，導(dǎo)致衛(wèi)星視角下太陽角半徑很小，經(jīng)計(jì)算視半徑約為相對的計(jì)算誤差較大，因此不適用于高精度計(jì)算[13]。

圖5 太陽遮擋示意圖（衛(wèi)星視角）

3.2 軌道根數(shù)法

顧名思義，軌道根數(shù)法利用衛(wèi)星軌道六根數(shù)、衛(wèi)星運(yùn)動方程以及地影判定條件進(jìn)行求解，主要分為解析法和數(shù)值法。

3.2.1 解析法

求解地影進(jìn)/出時(shí)間本質(zhì)上是解方程問題，聯(lián)立衛(wèi)星運(yùn)動方程和陰影約束方程（公式3），可得到一個一元四次方程，如公式（4）所示：

式中Ci包含三角函數(shù)和實(shí)時(shí)變化的日地距離、地心至A1和A2距離等復(fù)雜項(xiàng)，因此得到精確的方程解析解幾乎不可能。張世杰等通過簡化上述方程中的變化小量，得到實(shí)系數(shù)四元方程及近似解，然而卻導(dǎo)致精度下降[20]。這也是解析法面臨的主要困難。

3.2.2 數(shù)值法

部分學(xué)者研究表明，對于受攝軌道的動力學(xué)方程，數(shù)值方法求解是唯一途徑[21]。相比于解析法，數(shù)值法可以解決四次方程精確求解問題，能夠充分利用衛(wèi)星高精度定軌參數(shù)，將地影計(jì)算精度保持在同等水平。然而數(shù)值法也存在一些缺陷：因涉及到大量數(shù)值積分運(yùn)算導(dǎo)致計(jì)算量較大，不適合長時(shí)間大跨度地影規(guī)律統(tǒng)計(jì)和計(jì)算[22]，需要適當(dāng)增加積分步長，而積分步長增加后往往導(dǎo)致精度下降；由于光壓攝動在邊界突然消失或出現(xiàn)，導(dǎo)致數(shù)值法在地影邊界計(jì)算時(shí)存在“間斷”問題[23]。

公式（5）為衛(wèi)星運(yùn)動基本方程，其中v為蝕因子，ρs為光壓強(qiáng)度。衛(wèi)星處于地影中時(shí)取0、地影外取1。由于v的非連續(xù)性，在進(jìn)出地影時(shí)公式（5）的右函數(shù)會出現(xiàn)間斷，導(dǎo)致誤差增大，從而影響計(jì)算精度。

針對數(shù)值法存在問題，王歆和劉林展開計(jì)算并驗(yàn)證了間斷對計(jì)算的影響程度，并對單步法和多步法進(jìn)行算法改進(jìn)和驗(yàn)證；賈向華等提出了一種變步長的積分?jǐn)?shù)值方法，在陰影預(yù)報(bào)時(shí)逐步減小計(jì)算步長，同時(shí)保證了計(jì)算精度和計(jì)算效率[10]。陳劉成通過應(yīng)用改進(jìn)Encke積分方法，調(diào)整積分步長和節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)單步法誤差在厘米級下；通過選擇合適的積分步長，可將多步法對柱形地影模型和錐形地影模型跨邊界帶來的積分誤差雙雙控制在厘米級下[23]。

4 總結(jié)與展望

通過對比兩種地影模型可知，柱形地影模型代表著一種簡化、近似的方法，判定條件和計(jì)算方法簡單，適用于中低軌衛(wèi)星地影的快速計(jì)算；而錐形地影模型能夠更加真實(shí)地反映太陽、地球、衛(wèi)星三者實(shí)際情況，完善了限制條件導(dǎo)致計(jì)算量加大，能夠覆蓋各軌道衛(wèi)星計(jì)算需求，已成為高精度陰影預(yù)報(bào)的不二選擇。模型對比如表3所示。

基于上述研究進(jìn)展，如今衛(wèi)星地影預(yù)報(bào)已達(dá)到了相當(dāng)精確的程度，可滿足地影期間衛(wèi)星電源系統(tǒng)、姿軌控系統(tǒng)、熱控系統(tǒng)及重要器件防護(hù)對時(shí)間精確度的要求，相關(guān)應(yīng)對措施及設(shè)計(jì)研究進(jìn)展已頗具成效。崔波等針對高軌衛(wèi)星的鋰離子蓄電池組自主管理系統(tǒng)，充分考慮地影期影響，設(shè)計(jì)了分模式管理方法并進(jìn)行了實(shí)際驗(yàn)證[24]；吳文瑞等結(jié)合地影模型，對太陽同步軌道熱控分系統(tǒng)進(jìn)行了分析與優(yōu)化[25]；嚴(yán)靈杰通過分析地影等干擾因素，完善了光電跟蹤系統(tǒng)的位置預(yù)測算法[26]。未來將以星上自主解算、自主判斷、自我管理等方向?yàn)槟繕?biāo)，提高星上運(yùn)算能力，增強(qiáng)衛(wèi)星抗地影能力和智能化運(yùn)行管理發(fā)展。

表3 模型對比