付 偉 唐 謙

(重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院 重慶 401120)

0 引 言

“中國(guó)制造2025”主攻方向是全面推進(jìn)智能制造[1]，這必然離不開(kāi)信息化和工業(yè)化的深度融合。智能制造的條件和基礎(chǔ)是工業(yè)云，因此工業(yè)控制必將進(jìn)入云控制時(shí)代。當(dāng)前，云控制系統(tǒng)(Cloud control system,CCS)的研究和應(yīng)用還存在許多挑戰(zhàn)。將工業(yè)云接入生產(chǎn)過(guò)程，這對(duì)于網(wǎng)絡(luò)時(shí)延、故障、性能及計(jì)算力都提出了非常高的要求。CCS是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked control system,NCS)的進(jìn)一步擴(kuò)展[2]。因此，對(duì)NCS時(shí)延、錯(cuò)序、性能及穩(wěn)定性的研究是云控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論，也是構(gòu)建工業(yè)云平臺(tái)的核心，具有非常重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程是復(fù)雜多變的，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)連接的控制系統(tǒng)往往無(wú)法建模。隨著通信技術(shù)、物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的海量數(shù)據(jù)能夠獲取并存儲(chǔ)。從數(shù)據(jù)角度出發(fā)，利用各種智能算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)自主控制，是該研究領(lǐng)域的趨勢(shì)，很多學(xué)者為此做了大量工作。Pang等[3]針對(duì)存在丟包和測(cè)量噪聲的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法并設(shè)計(jì)相應(yīng)控制器。Dins等[4]提出了一種基于數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)混合驅(qū)動(dòng)控制方法，設(shè)計(jì)出基于數(shù)據(jù)的無(wú)模型自適應(yīng)控制器(PMFAC)以補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，并在理論上證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Siddiqui等[5]提出一種具有級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的時(shí)間刻度分離滑模控制和模型預(yù)測(cè)控制器，并采用子空間辨識(shí)實(shí)現(xiàn)飛行控制系統(tǒng)的閉環(huán)。目前，子空間方法已在各行業(yè)實(shí)際系統(tǒng)中得到了應(yīng)用[6-12]，并取得了良好的效果。盡管子空間方法理論得到了很大發(fā)展和應(yīng)用,但在一些基本問(wèn)題上還沒(méi)有形成較系統(tǒng)和完備的理論，如系統(tǒng)穩(wěn)定性及估計(jì)誤差的收斂性等問(wèn)題。特別是針對(duì)NCS的子空間方法的研究還不多。文獻(xiàn)[13-14]將子空間方法應(yīng)用到NCS系統(tǒng)并設(shè)計(jì)相應(yīng)控制器，但由于假設(shè)系統(tǒng)輸入與噪聲不相關(guān)，導(dǎo)致了估計(jì)的偏差性，使控制器不能滿(mǎn)足系統(tǒng)性能要求。為此，本文考慮NCS閉環(huán)運(yùn)行特點(diǎn)，構(gòu)造閉環(huán)子空間方法以克服估計(jì)的有偏性，然后根據(jù)辨識(shí)的系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器主動(dòng)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)時(shí)延的影響。同時(shí)考慮系統(tǒng)實(shí)時(shí)性，采用一種簡(jiǎn)單的參數(shù)矩陣更新方法替代復(fù)雜的矩陣LQ分解，從而減小最優(yōu)多步控制量的在線遞推計(jì)算量，最后通過(guò)仿真對(duì)控制算法進(jìn)行有效性驗(yàn)證。

1 問(wèn)題描述

NCS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。被控對(duì)象為離散對(duì)象，控制器至執(zhí)行器的前向通道和傳感器至控制器的反饋通道均有網(wǎng)絡(luò)連接。輸入輸出數(shù)據(jù)經(jīng)采集后以[u(k),y(k)]的形式打包，并經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳送至控制器，由控制器計(jì)算控制量。執(zhí)行器端設(shè)有延遲補(bǔ)償器，接收控制器發(fā)送的數(shù)據(jù)主動(dòng)補(bǔ)償時(shí)延的影響。

圖1 主動(dòng)補(bǔ)償型網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

為便于后續(xù)理論分析，對(duì)系統(tǒng)作以下假設(shè)：

假設(shè)1傳感器周期性地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣；在執(zhí)行器和控制器端，當(dāng)數(shù)據(jù)到達(dá)后立即動(dòng)作。在反饋網(wǎng)絡(luò)中，數(shù)據(jù)傳輸不存在時(shí)序錯(cuò)亂和丟包現(xiàn)象。

假設(shè)2帶有時(shí)間戳的數(shù)據(jù)包以單包形式傳送。控制器和延遲補(bǔ)償器均設(shè)有足夠容量的先進(jìn)先出(FIFO)緩存區(qū)，用以緩存一定時(shí)序的數(shù)據(jù)包。

2 閉環(huán)子空間方法

子空間方法也是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，其利用輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣?？紤]如下離散線性時(shí)不變狀態(tài)空間形式：

(1)

式中：A、B和C為具有相應(yīng)維數(shù)的常矩陣；K為卡爾曼濾波增益；e(k)為噪聲序列；x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；系統(tǒng)輸出為y(k)∈Rm；作用于被控對(duì)象的控制量u(k)∈Rl。

對(duì)式(1)進(jìn)行迭代可得如下的輸入輸出方程[15]：

(2)

式中：Xp和Xf代表系統(tǒng)“過(guò)去”和“將來(lái)”的狀態(tài)矩陣；Up、Uf、Yp、Yf和Ef為Hankel矩陣。數(shù)據(jù)傳輸存在時(shí)延現(xiàn)象，控制器狀態(tài)空間模型需考慮時(shí)延因素：

(3)

式中：τ為傳輸時(shí)延；v(k)為白噪聲輸入；控制器輸入即為系統(tǒng)輸出y；控制器輸出即為系統(tǒng)輸入u(k)；控制器狀態(tài)向量為xc(k+1)?？紤]時(shí)延因素，將Bc和Dc參數(shù)改為受時(shí)延影響的變量形式，模型可改寫(xiě)為：

用下列暫態(tài)形式替代式(1)和式(3)的白噪聲項(xiàng)e(k)、v(k)：

其值根據(jù)輸入輸出序列的更新通過(guò)如下公式進(jìn)行更新：

(4)

(5)

(6)

將式(1)的等式兩邊對(duì)W[k0k+1)作正交投影可得到：

(7)

Σ[k0k)=U[k0k)∨Θ[k0k)

(8)

式中：U[k0k)=span{u(s)|k0≤s

若定義Y[k0k)=span{y(s)|k0≤s

U[k0k+s]=U[k0k)+U[kk+s]
Y[k0k+s]=Y[k0k)+Y[kk+s]
Θ[k0k+s]=Θ[k0k)+Θ[kk+s]

由此，可以根據(jù)定理1構(gòu)造新的狀態(tài)空間。

(9)

由此，可通過(guò)閉環(huán)子空間方法對(duì)系統(tǒng)矩陣進(jìn)行辨識(shí)。首先構(gòu)造輸入輸出矩陣以及誤差向量，根據(jù)式(8)構(gòu)造擴(kuò)展子空間，將Y[kk+s]沿子空間Σ[kk+s]和W[k0k)分解成兩部分之和:

Y[kk+s]=Y[kk+s]/Σ[kk+s]W[k0k)+

U[kk+s]/W[k0k]Σ[kk+s]

(10)

式(10)中第二項(xiàng)可表示為：

而式(10)的第一項(xiàng)可作為ΓNX[kk+s]的近似，即:

然后通過(guò)矩陣SVD分解可得到矩陣ΓN，最后分別計(jì)算出系統(tǒng)矩陣A、B和C。

證明由式(2)可知：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行斜投影得：

Y[kk+s]/Σ[kk+s]W[k0k)=ΓNX[kk+s]/Σ[kk+s]W[k0k)+

(12)

根據(jù)擴(kuò)展子空間Σ[kk+s]的定義及斜投影的性質(zhì)，式(12)第二項(xiàng)為零，則有：

Y[kk+s]/Σ[kk+s]W[k0k]=ΓNX[kk+s]/Σ[kk+s]W[k0k)=

(13)

閉環(huán)子空間方法對(duì)系統(tǒng)矩陣{A,B,C}估計(jì)的具體算法步驟如下：

① 根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造矩陣U[k0k)、U[kk+s]、Y[k0k)、Y[kk+s]、W[k0k)；

② 計(jì)算暫態(tài)形式的向量e(k)、v(k)，從而得到Θ[k0k+s]，通過(guò)式(7)構(gòu)造閉環(huán)子空間Σ[k0k+s]；

③ 計(jì)算斜投影:

ΓNX[kk+s]=Y[k0k+s]/Σ[k0k+s]W[k0k+s)；

④ 通過(guò)矩陣SVD分解求出ΓN；

3 控制器設(shè)計(jì)

式中：k時(shí)刻控制器收到的數(shù)據(jù)[u(k),y(k)]實(shí)際為k-τsc時(shí)刻傳感器端發(fā)送的數(shù)據(jù)[u(k-τsc),y(k-τsc)]。時(shí)延τsc可根據(jù)數(shù)據(jù)包時(shí)間戳計(jì)算并補(bǔ)償。若p+N-1個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)[u(k),y(k)]為已知，對(duì)系統(tǒng)表達(dá)式迭代展開(kāi)可得到:

(14)

式中：Zp稱(chēng)為過(guò)去輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣。

(15)

式(15)可通過(guò)矩陣LQ分解進(jìn)行求解：

(16)

假設(shè)預(yù)測(cè)長(zhǎng)度為f，令：

在k時(shí)刻可預(yù)測(cè)未來(lái)f步系統(tǒng)輸出[14]：

(17)

式中：

(18)

假定參考信號(hào)序列為：

設(shè)定如下目標(biāo)函數(shù)：

(19)

當(dāng)加入新數(shù)據(jù)向量并去掉舊數(shù)據(jù)向量后，構(gòu)造向量：

znew=[uT(k-p+1)yT(k-p+1)uT(k-p+

2)yT(k-p+2) …uT(k)yT(k)]T

zold=[uT(k-p-N+2)yT(k-p-N+2)uT(k-

p-N+3)yT(k-p-N+3) …uT(k-N+

1)yT(k-N+1)]T

ynew=y(k+1)yold=y(k-N+2)

向量znew、zold、ynew、yold滿(mǎn)足下列關(guān)系：

(20)

(21)

4 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果

以一個(gè)單輸入單輸出的二階直流電機(jī)伺服系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，對(duì)本文提出的控制方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。直流電機(jī)模型由如下傳遞函數(shù)來(lái)描述：

設(shè)采樣時(shí)間T=0.04 s，反饋時(shí)延和前向時(shí)延上界均為2T。首先將傳遞函數(shù)離散化為狀態(tài)空間模型:

電機(jī)轉(zhuǎn)速由系統(tǒng)輸出y表示，電機(jī)輸入電壓由系統(tǒng)輸入u表示。為辨識(shí)系統(tǒng)矩陣參數(shù)，將圖2的偽隨機(jī)二值信號(hào)施加于被控對(duì)象，得到圖3所示的輸出信號(hào)。

圖2 偽隨機(jī)二值序列輸入信號(hào)

圖3 用于辨識(shí)的直流電機(jī)輸出響應(yīng)

將本文方法與文獻(xiàn)[13-14]的開(kāi)環(huán)子空間方法作比較。用開(kāi)環(huán)子空間方法時(shí)，先不考慮加入反饋閉環(huán)，通過(guò)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建Hankel矩陣，再按相應(yīng)算式及矩陣QR分解方法，計(jì)算出Lw和Lu，然后根據(jù)Lw和Lu在線計(jì)算未來(lái)控制輸入序列。

(22)

(23)

采用本文的閉環(huán)擴(kuò)展子空間方法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行辨識(shí)，可得到系統(tǒng)矩陣的估計(jì)值為：

取p=10，f=5，N=100，Q=I，R=I，按本文算法主動(dòng)補(bǔ)償時(shí)延影響。圖4和圖5分別表示總時(shí)延小于等于2T、4T時(shí)，兩種不同方法的階躍響應(yīng)情況。從性能上看，本文方法明顯優(yōu)于開(kāi)環(huán)子空間方法。

圖4 總時(shí)延小于等于2T時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)

圖5 總時(shí)延小于等于4T時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)

5 結(jié) 語(yǔ)

實(shí)際工程中NCS往往難以建模，本文從數(shù)據(jù)角度出發(fā)基于子空間方法設(shè)計(jì)主動(dòng)補(bǔ)償控制算法。由于NCS閉環(huán)反饋環(huán)節(jié)的存在，針對(duì)NCS的開(kāi)環(huán)子空間方法因有偏性變得難以適用。本文通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的輸入輸出誤差序列，構(gòu)建閉環(huán)擴(kuò)展子空間估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)，并給出估計(jì)的一致性分析。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制算法主動(dòng)補(bǔ)償時(shí)延影響。為減小在線遞推計(jì)算量，提高實(shí)時(shí)性，采用一種簡(jiǎn)單的參數(shù)更新方法替代復(fù)雜的矩陣LQ分解。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文方法的有效性。