寧志杰，袁 穎，2

(1.河北地質(zhì)大學(xué)城市地質(zhì)與工程學(xué)院，河北石家莊 050031；2.河北省高校生態(tài)環(huán)境地質(zhì)應(yīng)用技術(shù)研發(fā)中心，河北石家莊 050031)

0 引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展和城市化進(jìn)程的加快，人們對(duì)空間資源和礦產(chǎn)資源的需求量越來越大，資源的過度開發(fā)對(duì)周圍環(huán)境造成了極大的影響和破壞。其中，以地下空間及礦產(chǎn)資源的開發(fā)和高層建筑的興建等工程活動(dòng)引起的地面沉降現(xiàn)象尤為嚴(yán)重。地面沉降不僅會(huì)引起周邊建筑物和地下管線的變形，而且區(qū)域性的地面沉降往往伴隨著地裂縫的發(fā)生，嚴(yán)重危及人民的生命財(cái)產(chǎn)安全。因此，通過發(fā)現(xiàn)已有地面沉降數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律與本質(zhì)，預(yù)測(cè)未來沉降量與沉降趨勢(shì)是一個(gè)值得探索的問題。

目前應(yīng)用于地面沉降量預(yù)測(cè)的模型有很多種，如種亞輝等(2019)基于時(shí)序InSAR技術(shù)對(duì)常州市重點(diǎn)沉降區(qū)域的沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；周愛紅等(2018)采用粒子群優(yōu)化的支持向量機(jī)模型對(duì)盾構(gòu)施工引起的地面沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；戴文婷等(2019)通過緩沖算子優(yōu)化原始序列，對(duì)地鐵施工過程中的地表沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；彭立順等(2019)采用優(yōu)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)南城高速路基沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。上述各類單一模型都能夠?qū)Τ两盗窟M(jìn)行預(yù)測(cè)，但是均存在預(yù)測(cè)精度較低的情況。為了提高預(yù)測(cè)結(jié)果的精度，結(jié)合不同模型的優(yōu)點(diǎn)建立組合模型在地面沉降量的預(yù)測(cè)中應(yīng)用越來越受到重視。李慧潔等(2016)以山西省太原市閻家峰路段地面沉降數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，建立了泊松和指數(shù)模型的組合模型，對(duì)黃土地區(qū)高填方路堤沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；楊彪等(2016)將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與灰色GM(1,1)模型相結(jié)合，建立了GM(1,1)-ANN預(yù)測(cè)模型對(duì)某工程沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)；武光偉(2016)針對(duì)沉降量具有非平穩(wěn)時(shí)序性和發(fā)展趨勢(shì)確定的特點(diǎn)，建立了GM(1,1)-AR組合模型，對(duì)某高層建筑物的沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)；王朋飛(2017)基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)和支持向量回歸(SVR)相結(jié)合的預(yù)測(cè)方法，建立EMD-SVR模型對(duì)長(zhǎng)春自由大道地鐵站地表沉降量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。上述組合模型有效地提高了沉降預(yù)測(cè)的精度，在一定程度上表明了組合模型在沉降量預(yù)測(cè)中的優(yōu)勢(shì)。

鑒于此，本文基于GM(1,1)模型具有處理小樣本、貧信息，弱化原始序列隨機(jī)性的特征和SVM模型泛化能力強(qiáng)、處理小樣本、波動(dòng)大、非線性樣本數(shù)據(jù)等方面的優(yōu)勢(shì)，采用SVM模型對(duì)GM(1,1)模型沉降量預(yù)測(cè)值的殘差進(jìn)行修正，建立GM(1,1)-SVM模型，并檢驗(yàn)GM(1,1)-SVM模型在沉降量預(yù)測(cè)方面是否能夠取得更好的效果以及該模型能否滿足實(shí)際應(yīng)用的需要。

1 模型理論

1.1 灰色GM(1,1)模型

中國(guó)控制論專家鄧聚龍教授于1981年提出灰色系統(tǒng)概念，并于1982年建立了灰色系統(tǒng)理論。該理論以部分信息已知、部分信息未知的灰色系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過對(duì)部分已知信息的處理、開發(fā)和分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)灰色系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)、變化規(guī)律進(jìn)行準(zhǔn)確的反映和描述。目前，應(yīng)用最廣泛的是GM(1,1)模型，它通過對(duì)原始數(shù)據(jù)累加形成有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，進(jìn)而建立微分方程形式的預(yù)測(cè)模型(Dejamkhooy et al.,2017;Manjunatheshwara and Vinod,2018;Shi et al.,2018;Gao et al.,2018)。具體的步驟為:

(1)設(shè)建模序列x(0)有n個(gè)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n)}

(1)

式中：n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

(2)進(jìn)行累加運(yùn)算使其成為有規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，弱化其隨機(jī)性

(2)

(3)構(gòu)造變量x(1)關(guān)于時(shí)間t的一階微分方程GM(1,1)方程

(3)

式中：ax(1)項(xiàng)中的a為發(fā)展系數(shù)；u為灰色作用量；其中a和u均為未知。

(4)由上式的離散形式，可得如下矩陣，并簡(jiǎn)化為線性模型：

Y=[x(0)(2),x(0)(3),...,x(0)(n)]T

α=(au)T

Y=Bα

(4)

式中：Y為數(shù)據(jù)向量；B為數(shù)據(jù)矩陣；α為參數(shù)向量。

(5)用最小二乘估計(jì)法求解上述簡(jiǎn)化的線性模型得

(5)

(6)

(7)

(7)同時(shí)以平均相對(duì)誤差作為檢驗(yàn)GM(1,1)模型精度和預(yù)測(cè)效果優(yōu)劣的方法，其具體計(jì)算方法為

(8)

(9)

1.2 SVM模型

SVM方法是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論中的VC理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理基礎(chǔ)上的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法。當(dāng)需要處理低維空間難以處理的數(shù)據(jù)集時(shí)，SVM通常會(huì)通過一個(gè)非線性映射將這些數(shù)據(jù)映射到高維空間，在此空間構(gòu)造最優(yōu)超平面使各類之間的距離達(dá)到最大來解決分類問題(圖1)。它的關(guān)鍵在于核函數(shù)，核函數(shù)能夠有效地解決空間內(nèi)積的計(jì)算過程復(fù)雜繁瑣、計(jì)算量龐大的問題，這就意味著，當(dāng)我們確定好核函數(shù)后就能在高維空間對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)和識(shí)別(Huang et al.,2016;Qian et al.,2016;Wei et al.,2018;Abdolrazzaghi et al.,2018)。SVM具體的實(shí)現(xiàn)過程為：

圖1 超平面劃分示意圖

(1)將回歸問題轉(zhuǎn)化為求結(jié)構(gòu)最小風(fēng)險(xiǎn)度問題

對(duì)于給定的樣本，[(xi,yi)],i=1,2,3...,n。n為樣本總數(shù)，xi為訓(xùn)練樣本的各個(gè)參評(píng)指標(biāo)，yi為相對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)結(jié)果。根據(jù)SVM理論建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)并設(shè)置約束條件，將最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)度最小問題。

(10)

(11)

式中：αi和αj為拉格朗日乘值；ω為權(quán)值矢量；b為偏置值；C為懲罰因子；ξi,ξi*為松弛因子；ε為允許誤差；φ(x)為從輸入空間到高維特征空間的非線性映射。

(2)解決對(duì)偶問題并引入核函數(shù)

(12)

(13)

式中：xr和xs為一對(duì)支持向量；αi為與每個(gè)樣本對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘子；αi*為最優(yōu)解；K(xi,x)為核函數(shù)。本文通過閱讀大量文獻(xiàn)選擇了在時(shí)間序列預(yù)測(cè)中應(yīng)用較為廣泛的RBF核函數(shù)，其公式如下：

K(x-xi)=exp(-g|x-xi|2)

(14)

式中：g為參數(shù)。

1.3 GM(1,1)-SVM殘差修正模型

在GM(1,1)模型的精度不理想的情況下,應(yīng)當(dāng)考慮建立殘差修正模型。GM(1,1)-SVM殘差修正模型首先利用SVM模型對(duì)殘差序列進(jìn)行修正，然后將GM(1,1)模型預(yù)測(cè)出來的沉降量與SVM模型修正后的殘差序列相加，最終得到GM(1,1)-SVM模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。在SVM模型訓(xùn)練過程中采用GA算法對(duì)參數(shù)C和g尋優(yōu)(Vijayashree and Sultana,2018;要震等,2018;楊風(fēng)開和程素霞,2018;Han et al.,2019)。GM(1,1)-SVM模型具體的實(shí)現(xiàn)過程如下：

(3)同時(shí)仍以平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)GM(1,1)-SVM殘差修正模型預(yù)測(cè)效果的優(yōu)劣。

2 模型預(yù)測(cè)效果分析

由GM(1,1)-SVM殘差修正模型的建模過程可知，當(dāng)GM(1,1)模型精度較差、預(yù)測(cè)結(jié)果難以滿足實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要考慮建立GM(1,1)-SVM殘差修正模型。因此本節(jié)首先采用GM(1,1)模型對(duì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果分析GM(1,1)模型存在的問題以及是否需要建立殘差修正模型。若GM(1,1)模型精度較差則按1.3節(jié)中的步驟建立GM(1,1)-SVM殘差修正模型，將預(yù)測(cè)結(jié)果與GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析GM(1,1)-SVM模型能否解決GM(1,1)模型存在的問題以該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果能否滿足實(shí)際需要。

2.1 數(shù)據(jù)來源

某高層建筑地面18層，地下2層，基礎(chǔ)埋深8 m，采用天然地基，地基土類型為低壓縮性的粉土及粉質(zhì)黏土。為研究高層建筑建成后對(duì)周圍建筑的影響，有關(guān)單位從2010年高層建筑完工到2012年的2年內(nèi)對(duì)該高層建筑的沉降量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)頻率為1次/月的長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)。記錄了該高層建筑的沉降發(fā)展情況，監(jiān)測(cè)點(diǎn)平面布置圖如圖 2所示，本文以2010年7月～2011年12月的時(shí)間段內(nèi)角點(diǎn)A1、B1和B5的18次沉降數(shù)據(jù)為例進(jìn)行了后續(xù)分析。

圖2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)平面布置圖

2.2 GM(1,1)模型預(yù)測(cè)效果分析

以角點(diǎn)A1、B1和B5的18次沉降數(shù)據(jù)的平均值(表1)作為沉降量樣本，為充分利用所收集的沉降數(shù)據(jù)，提高沉降量的預(yù)測(cè)次數(shù)(即預(yù)測(cè)更長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)的沉降發(fā)展趨勢(shì))，通過不斷的調(diào)整擬合沉降數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)沉降數(shù)據(jù)的次數(shù)經(jīng)過反復(fù)試算，最終確定采用前15次地面沉降值作為建模序列建立GM(1,1)模型，預(yù)測(cè)第16次～第18次的地面沉降值。首先，將前15次沉降值作為建模序列相對(duì)應(yīng)的15次觀測(cè)值(形如式(1)所示)，采用式(2)～(5)對(duì)上述15次觀測(cè)值進(jìn)行累加、建立微分方程、求解線性模型獲得灰參數(shù)α，通過式(6)建立離散形式的GM(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。由式(7)可知，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)過程是一個(gè)累減還原的過程，當(dāng)取式(7)中的t為18時(shí)，不僅能夠得到第16～18次沉降量的預(yù)測(cè)值，并且通過累減還原還會(huì)得到前15次沉降量的預(yù)測(cè)值，稱其為擬合值。將GM(1,1)模型的18次累減還原值劃分為對(duì)前15次沉降量的擬合結(jié)果和第16～18次沉降量的預(yù)測(cè)結(jié)果見圖3,并通過式(8)計(jì)算殘差值見表1。

表1 高層建筑監(jiān)測(cè)點(diǎn)18次實(shí)際沉降量平均值

圖3 高層建筑沉降量擬合結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖

由圖 3從整體上對(duì)18次實(shí)際沉降值與GM(1,1)模型的18次沉降量累減還原值進(jìn)行對(duì)比分析可知，實(shí)際沉降量以第7次觀測(cè)數(shù)據(jù)為分界點(diǎn)，可以近似的看為是斜率不同的兩段直線，分界點(diǎn)前沉降量增長(zhǎng)較快，分界點(diǎn)后沉降量增長(zhǎng)緩慢。表明該高層建筑竣工后的一段時(shí)間內(nèi)地面沉降量增長(zhǎng)迅速，隨著時(shí)間的推移沉降量增長(zhǎng)緩慢乃至于停止，這符合我們對(duì)地面沉降現(xiàn)象的認(rèn)知。而由圖 3中沉降量累減還原值不難看出，在不考慮第一次的沉降量累減還原值時(shí)，沉降量累減還原值的增長(zhǎng)類似于一條增長(zhǎng)率逐漸增大的曲線，這不符合沉降量后期緩慢增長(zhǎng)的實(shí)際情況，將會(huì)導(dǎo)致第16次～第18次的沉降量預(yù)測(cè)值偏高。為排除建模序列長(zhǎng)度對(duì)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)效果的影響，采用1次～第5次的沉降量值作為建模序列建立GM(1,1)模型，預(yù)測(cè)第6次～第7次的沉降量時(shí)，發(fā)現(xiàn)沉降量的累減還原值仍近似于一條增長(zhǎng)率逐漸增大的曲線。該結(jié)果表明模型累減還原值的這種曲線形式的增長(zhǎng)規(guī)律并不是由建模序列過長(zhǎng)引起的。因此，認(rèn)為GM(1,1)模型沉降量累減還原值呈曲線形式增長(zhǎng)是模型本身的問題。

在實(shí)際地面沉降量預(yù)測(cè)過程中，由于預(yù)測(cè)沉降量所對(duì)應(yīng)的沉降實(shí)際值是未知的，不可能通過第16次～第18次地面沉降量的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比分析預(yù)測(cè)效果的好壞，只能通過對(duì)比前15次沉降量擬合值與實(shí)際值判斷GM(1,1)模型第16次～第18次的預(yù)測(cè)值是否符合實(shí)際情況。由表1中殘差值計(jì)算得出GM(1,1)模型的前15次擬合值與實(shí)際值的平均相對(duì)誤差為27.6%可知，模型的精度并不理想；而由圖 3中擬合結(jié)果部分可知，擬合值與實(shí)際沉降值的第4次～第12次擬合程度較高，第1次～第4次和第12次～第15次的擬合效果較差，并且由圖 3中第12次～第15次殘差值逐漸增大的趨勢(shì)可知，沉降量預(yù)測(cè)值增長(zhǎng)量要比實(shí)際沉降值增長(zhǎng)快，綜上所述，推測(cè)GM(1,1)模型的第16次～第18次的預(yù)測(cè)值較實(shí)際值是偏高的，而由圖 3中預(yù)測(cè)結(jié)果部分可知沉降量預(yù)測(cè)值的確比實(shí)際值高。由于這種預(yù)測(cè)值偏高的情況是模型本身導(dǎo)致的，難以通過調(diào)整GM(1,1)模型的相關(guān)參數(shù)提高模型沉降預(yù)測(cè)的效果，只能通過預(yù)判第16次～第18次的殘差值，將其與GM(1,1)模型第16次～第18次的預(yù)測(cè)值相加來降低模型預(yù)測(cè)值的誤差，因此考慮利用泛化能力強(qiáng)、處理突變問題效果較好的SVM模型對(duì)殘差進(jìn)行修正。

2.3 GM(1,1)-SVM模型預(yù)測(cè)效果分析

為了克服模型本身的缺陷，提高預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，以表1殘差序列中的18個(gè)殘差值作為原始數(shù)據(jù)建立SVM模型。SVM模型建模的具體步驟為：以殘差序列的第1次～第3次數(shù)據(jù)作為輸入xi，第4次作為輸出yi；再以第2次～第4次數(shù)據(jù)作為輸入xi，第5次作為輸出yi；以此類推，基于式(10)～(12)對(duì)上述12組數(shù)據(jù)處理得到式(13)中的回歸函數(shù)建立SVM模型，預(yù)測(cè)第16次～第18次殘差值，接著將殘差修正值與GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值對(duì)應(yīng)相加作為GM(1,1)-SVM模型的預(yù)測(cè)值。最后將兩種模型的第16次～第18次地面沉降預(yù)測(cè)值同實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，并根據(jù)式(9)計(jì)算出預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差來檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的精度，如表2所示。

表2 GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

由于SVM模型預(yù)測(cè)效果受參數(shù)C和g影響較大，為了獲得最優(yōu)的參數(shù)值本文利用MATLAB語(yǔ)言編寫GA算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，遺傳算法的初始參數(shù)為：種群的最大數(shù)量設(shè)置為20，進(jìn)化終止代數(shù)為100，參數(shù)C的取值范圍為(0,100]，參數(shù)g的取值范圍為[0,1000]，SVM交叉驗(yàn)證參數(shù)為默認(rèn)值5，GA算法的尋優(yōu)過程如圖 4所示。經(jīng)過不斷地迭代計(jì)算最終確定SVM模型最優(yōu)參數(shù)值為C=3.06，g=0.2。利用GA算法所確定的參數(shù)值作為SVM模型的最優(yōu)參數(shù)值對(duì)上述殘差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。

由圖 4可知，采用GA算法對(duì)SVM模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在遺傳進(jìn)化至54代后，SVM模型能夠?qū)τ?xùn)練樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的識(shí)別，取得了很好的優(yōu)化效果，GA算法有效地避免了依賴經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，同時(shí)縮短了尋找SVM模型最優(yōu)參數(shù)的時(shí)間，提高了預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確率。

圖4 GA算法尋優(yōu)過程圖

由表2可知，GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型的平均相對(duì)誤差分別為24%和2.2%，表明GM(1,1)-SVM模型的沉降預(yù)測(cè)值更逼近真實(shí)值，預(yù)測(cè)精度更高，能夠在實(shí)際工程中取得更好的應(yīng)用。并且通過表2可以計(jì)算出GM(1,1)模型和GM(1,1)-SVM模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差，GM(1,1)模型第16次～第18次地面沉降預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差為17.7%，24.4%，30%；GM(1,1)-SVM模型第16次～第18次地面沉降預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差為1.6%，2.8%，2.3%。由此可知，經(jīng)過殘差修正后建立的GM(1,1)-SVM模型第16～18次地面沉降預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差相對(duì)于GM(1,1)模型均有顯著降低，表明采用SVM模型修正殘差對(duì)提高預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確性是十分有效的。

此外，由表2不難看出，無論是GM(1,1)模型還是GM(1,1)-SVM模型，它們預(yù)測(cè)的沉降量值均高于實(shí)際沉降量的值。因此，利用SVM模型對(duì)殘差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相結(jié)合，并不能從根本上解決GM(1,1)模型對(duì)沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)出現(xiàn)的問題，但是通過這種方法能夠減小預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差，增強(qiáng)預(yù)測(cè)模型在解決實(shí)際問題中的實(shí)用性。

3 結(jié)論

地面沉降是在多種因素共同作用下產(chǎn)生的一種地質(zhì)災(zāi)害現(xiàn)象，難以用單一的預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確有效地預(yù)測(cè)出未來一段時(shí)間內(nèi)地面沉降量的發(fā)展趨勢(shì)。當(dāng)沉降序列展現(xiàn)出增長(zhǎng)率逐漸增大的曲線形式變化規(guī)律時(shí)，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)效果會(huì)更加精確，而大多數(shù)實(shí)際沉降是一個(gè)前期沉降量增長(zhǎng)迅速、后期沉降量增長(zhǎng)緩慢的過程，沉降發(fā)展趨勢(shì)并不符合曲線增長(zhǎng)的變化規(guī)律。因此本文將GM(1,1)模型與SVM模型相結(jié)合建立GM(1,1)-SVM模型，充分發(fā)揮了GM(1,1)模型和SVM模型的優(yōu)勢(shì)，雖然不能從根本上解決GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值偏大的問題，但是該模型做出了更符合工程實(shí)際的預(yù)測(cè)，為地面沉降數(shù)據(jù)的處理提供了一種新方法。

采取GA算法優(yōu)化的SVM模型具有良好的自適應(yīng)性以及預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確率高的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)殘差的有效預(yù)測(cè)，但是在利用殘差序列建立SVM模型的過程中，訓(xùn)練樣本輸入數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與輸出數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的確定，仍有待進(jìn)一步的研究和分析。