宋 琴，王順利，于春梅

(1.西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010；2.綿陽(yáng)市產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)所國(guó)家電器安全質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心，四川 綿陽(yáng) 621000；3.四川華泰電氣股份有限公司，四川 遂寧 629000)

0 引言

工業(yè)時(shí)代，鋰電池已成為了當(dāng)前新能源汽車的主要?jiǎng)恿?lái)源[1]。卡爾曼濾波(Kalman filter，KF)算法以最小均方誤差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型[2]，建立模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，推導(dǎo)出狀態(tài)變量和觀測(cè)變量之間的關(guān)系[3]，并采用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新狀態(tài)變量[4]。但是，在采樣過(guò)程中，未知噪聲干擾采樣信號(hào)[5]。自適應(yīng)卡爾曼濾波(adaptive Kalman algorithm,AKF)在采用測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波時(shí)，會(huì)不斷地由濾波本身判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化[6-7],對(duì)模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行估計(jì)和修正，以此改進(jìn)濾波設(shè)計(jì)、縮小實(shí)際誤差[8-9]。在恒流放電工況下進(jìn)行仿真驗(yàn)證，采用1 C倍率的恒定電流對(duì)鋰電池進(jìn)行完全放電試驗(yàn)，并由混合動(dòng)力脈沖能力特性(hybrid pulse power characteristic,HPPC)試驗(yàn)得到電池工作狀態(tài)的內(nèi)部參數(shù)[10]。

1 理論分析

1.1 等效電路模型

Thevenin等效電路模型如圖1所示。

圖1 Thevenin等效電路模型

在鋰電池的芯片系統(tǒng)(system on a chip,SOC)估計(jì)過(guò)程中，電池等效模型的建立起著重要的作用。Rint模型包括理想電壓源和電池內(nèi)阻，沒(méi)有考慮電池的極化特性，而電池在進(jìn)行過(guò)放電和循環(huán)放電的過(guò)程中，會(huì)進(jìn)行大電流放電產(chǎn)生電池極化，由此估算的SOC值精度會(huì)比較低。鋰電池的荷電狀態(tài)受溫度、充放電狀態(tài)、自放電、老化等因素的影響，內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)多變，其特性又呈高度非線性。這些特點(diǎn)使SOC估計(jì)變得困難。比較常用的SOC估計(jì)方法有很多。其中：安時(shí)積分法(ampere hour,AH)的誤差較大；開路電壓法主要用于離線估計(jì)；高精度的SOC估計(jì)方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、模糊推理法、卡爾曼濾波法等?？柭鼮V波法是最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，通過(guò)對(duì)狀態(tài)變量進(jìn)行實(shí)時(shí)最優(yōu)的估計(jì)，能夠提高SOC估計(jì)的精度。而擴(kuò)展卡爾曼對(duì)非線性函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行一階線性化處理，把剩余的高階項(xiàng)忽略，從而把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，從而將卡爾曼線性濾波算法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)中。鑒于以上分析，選擇Thevenin模型。相較于新一代汽車伙伴計(jì)劃(partnership for a new generation of vehicles,PNGV)、非線性(general non-liner,GNL)等模型，Thevenin模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，屬于非線性低階模型，涉及參數(shù)較少，且精度能達(dá)到工程應(yīng)用的要求。在這基礎(chǔ)上，充分考慮了極化現(xiàn)象同時(shí)對(duì)電壓和SOC本身的影響，進(jìn)而建立非線性狀態(tài)空間方程，再對(duì)SOC進(jìn)行估計(jì)。

圖1中：用直流電壓源Uo來(lái)表示開路電壓，用R表示歐姆內(nèi)阻，用極化內(nèi)阻R1和極化電容C1并聯(lián)表示鋰電池發(fā)生的極化現(xiàn)象，用I表示充放電的電流。通過(guò)HPPC試驗(yàn)計(jì)算此模型的參數(shù)。

歐姆內(nèi)阻計(jì)算式如(1)所示：

(1)

時(shí)間常數(shù)為：

(2)

極化電阻為：

(3)

極化電容為：

(4)

1.2 自適應(yīng)卡爾曼濾波法

自適應(yīng)卡爾曼濾波法是在測(cè)量的同時(shí)，不斷地通過(guò)誤差協(xié)方差修正鋰電池SOC的當(dāng)前值，起到自適應(yīng)調(diào)節(jié)的作用。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)噪聲協(xié)方差，以及誤差協(xié)方差進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，從而有效地修正當(dāng)前的估計(jì)值。不斷地由濾波本身去判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)是否有變化，對(duì)模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行估計(jì)和修正，以改進(jìn)濾波設(shè)計(jì)，進(jìn)而縮小濾波的實(shí)際誤差。該種濾波方法將系統(tǒng)辨識(shí)與濾波估計(jì)有機(jī)地結(jié)合為一體。AKF 算法在卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)對(duì)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì)。通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)yk對(duì)噪聲的均值qk、rk和方差Qk、Rk進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，再根據(jù)實(shí)時(shí)更新的均值和方差修正當(dāng)前的狀態(tài)估計(jì)值，以提高算法精度、規(guī)避發(fā)散現(xiàn)象。在線性卡爾曼濾波器中，過(guò)程噪聲Wk和Vk測(cè)量噪聲均值為零，定義Wk、Vk如式(5)所示。

Wk～N(qk,Qk)Vk～N(rk,Rk)

(5)

式中：k為離散時(shí)間。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)噪聲估計(jì)器相關(guān)量的計(jì)算式如式(6)～式(9)所示：

(6)

APk+1AT)GT

(7)

(8)

(9)

式中：“∧”表示該統(tǒng)計(jì)量為估計(jì)量；xk為系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)；yk為對(duì)應(yīng)狀態(tài)的觀測(cè)信號(hào)；uk為系統(tǒng)的輸入量；A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B為系統(tǒng)控制矩陣；C為觀測(cè)矩陣；G=(ГГT)ГT，Г 為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣。

式(6)～式(9)均為算術(shù)平均，(k+1)-1為每一項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。

在時(shí)變系統(tǒng)中，新近數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)的影響較大，因此采用指數(shù)加權(quán)法對(duì)估計(jì)器進(jìn)行一定的改進(jìn)，在式(6)～式(9)中，每個(gè)公式均乘以一個(gè)不同的指數(shù)加權(quán)系數(shù)β。β滿足的表達(dá)式如式(10)所示。

βi=βi-1b

(10)

可進(jìn)一步得到如式(11)所示的表達(dá)式。

(11)

式中：b為遺忘因子，i=0,1,2,...,k。

把原估計(jì)器中每項(xiàng)的(k+1)-1替換成βk-1，便得到改進(jìn)后的時(shí)變系統(tǒng)的噪聲估計(jì)要求。在線性卡爾曼濾波器基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的自適應(yīng)卡爾曼濾波器的具體步驟如下。

(12)

②統(tǒng)計(jì)(k+1)時(shí)刻的狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣，如式(13)、式(14)所示：

(13)

(14)

③根據(jù)上一步得到的當(dāng)前狀態(tài)的誤差協(xié)方差，計(jì)算卡爾曼增益LK，如式(15)所示：

(15)

④據(jù)系統(tǒng)的觀測(cè)值yk+1，對(duì)下個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值和誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新，如式(16)和式(17)所示：

(16)

Pk+1 | k=(E-LkC)Pk+1 |

(17)

式中：E為單位矩陣。

對(duì)rk、qk、Qk和Rk進(jìn)行相應(yīng)更新，再返回到步驟①，繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到滿足要求。

自適應(yīng)卡爾曼濾波法的工作原理是：確定初始狀態(tài)的誤差協(xié)方差矩陣，對(duì)下一個(gè)時(shí)刻的誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新；再根據(jù)當(dāng)前的誤差協(xié)方差計(jì)算當(dāng)前的卡爾曼增益，采用計(jì)算的增益再對(duì)下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值和誤差協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)。

AKF算法流程如圖2所示。

圖2 AKF算法流程圖

采用試驗(yàn)分析中的HPPC試驗(yàn)步驟，將試驗(yàn)獲得的電壓、電流數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB工作平臺(tái)，對(duì)估算模型進(jìn)行分析，得到動(dòng)態(tài)測(cè)試應(yīng)力(dynamic stress test,DTS)工況下的估算SOC。將試驗(yàn)過(guò)程中的電池參數(shù)電壓、容量和電流經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)分析，計(jì)算得到算法的誤差值。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

自適應(yīng)卡爾曼的Simulink 模型如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)卡爾曼的Simulink 模型

①以1 C的放電倍率進(jìn)行間歇性放電，根據(jù)設(shè)定的放電倍率和所需關(guān)系坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)量，設(shè)定每次循環(huán)放電的時(shí)間，得到10個(gè)關(guān)系坐標(biāo)點(diǎn)。所以每次放電時(shí)間為6 min。每次放電結(jié)束后擱置1 h，使電池內(nèi)部的化學(xué)狀態(tài)穩(wěn)定得到開路電壓，得到SOC-OCV的曲線關(guān)系。

②HPPC方法表現(xiàn)出電池電壓隨電池充電和放電條件的變化，反映了電池在實(shí)際操作期間的動(dòng)態(tài)特性?？梢愿鶕?jù)HPPC測(cè)試中輕松確定Thevenin等效電路模型的各項(xiàng)所需的關(guān)鍵參數(shù)。HPPC測(cè)試主要通過(guò)充電、放電開始和結(jié)束時(shí)的瞬間電池端電壓的動(dòng)態(tài)改變，檢測(cè)電池內(nèi)部歐姆電阻值，并在充電和放電之后通過(guò)電池端電壓緩慢的變化，檢測(cè)并求取內(nèi)部極化電阻和極化容量值。具體的試驗(yàn)步驟如下。

首先，對(duì)電池進(jìn)行充電操作，以1/3 C恒定電流，對(duì)鋰電電池充電，充電的截止電壓為3.65 V。當(dāng)電壓充到3.65 V時(shí)，繼續(xù)以3.65 V的恒定電壓充電。當(dāng)電池的電流減小到0.05 C的時(shí)候停止。此時(shí)，電池已經(jīng)充滿，為使電壓穩(wěn)定應(yīng)該擱置電池1 h。然后，以1 C放電10 s，靜置40 s，再以0.75 C充電10 s，在循環(huán)測(cè)試中，讓鋰離子電池在等間隔SOC點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)力脈沖測(cè)試。測(cè)試選取的SOC值是0～1的等間隔的點(diǎn)，相鄰脈沖測(cè)試之間電池需要擱置1 h，使電池恢復(fù)到電化學(xué)平衡和熱平衡狀態(tài)。

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

根據(jù)上述試驗(yàn)步驟，對(duì)鋰離子電池進(jìn)行HPPC測(cè)試。不同SOC階段的歐姆內(nèi)阻R、極化內(nèi)阻R1、極化電容C1開路電壓E計(jì)算如表1所示。

表1 不同SOC狀態(tài)下的模型參數(shù)

通過(guò)Thevenin模型建立的非線性空間方程和根據(jù)混合脈沖的充放電試驗(yàn)，得到0～1的SOC采樣點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的實(shí)際的電池內(nèi)阻、極化電容和極化電阻的真實(shí)值。

根據(jù)前文構(gòu)建的、基于AKF的鋰電池SOC估計(jì)模型，在MATLAB/SIUMLINK建立仿真模型。擬在多種工況試驗(yàn)條件下，對(duì)模型的估算精度、估算過(guò)程中的收斂性以及對(duì)于真實(shí)數(shù)據(jù)的跟蹤性進(jìn)行研究，驗(yàn)證AKF算法在SOC初始值不為1.0時(shí)的收斂效果。

2.2 恒流放電試驗(yàn)

將鋰離子電池以1 C倍率恒流放電，每次放電結(jié)束擱置40 min后電池的化學(xué)反應(yīng)與熱效應(yīng)達(dá)到平衡。此時(shí)，電池電壓就是與當(dāng)前SOC所對(duì)應(yīng)的OCV值。

從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取這些離散的點(diǎn)，得到OCV-SOC關(guān)系曲線如圖4所示。

圖4 OCV-SOC關(guān)系變化曲線

2.3 HPPC試驗(yàn)

根據(jù)上述混合脈沖功率特性試驗(yàn)分析，不同SOC的采樣點(diǎn)電壓變化曲線如圖5所示。

圖5 不同SOC的采樣點(diǎn)電壓變化曲線

鋰電池SOC每降低0.1，便進(jìn)行一次HPPC充放電試驗(yàn)。如此可獲得不同SOC狀態(tài)下電池的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。根據(jù)動(dòng)力鋰電池在工作過(guò)程中不同的SOC值，可以得到電池內(nèi)部的各個(gè)參數(shù)變化。

從原始數(shù)據(jù)中抽出所有的電壓數(shù)據(jù)，描繪出HPPC測(cè)試試驗(yàn)整個(gè)過(guò)程中的鋰離子電池端電壓變化情況。

從每次恒流放電結(jié)束擱置1 h的電壓曲線可以看出，電池電壓在放電結(jié)束后經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的擱置會(huì)逐漸趨于平穩(wěn)，表示電池的內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)和熱效應(yīng)基本達(dá)到平衡，所以可以得到開路電壓和SOC的關(guān)系曲線。

2.4 DST工況試驗(yàn)

分別運(yùn)用AH、擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)和無(wú)跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)方法對(duì)鋰電池的SOC進(jìn)行估計(jì)。根據(jù)以有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)論表明：在這三種方法中，估算初期AH積分法無(wú)法快速收斂跟蹤真實(shí)有效的SOC值。其估算誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于EKF以及UKF，且隨著估算時(shí)間的加長(zhǎng)，誤差越來(lái)越大。這是誤差在長(zhǎng)時(shí)間累積的結(jié)果。EKF以及UKF算法都能夠跟蹤到真實(shí)SOC值，并且在估算后期誤差穩(wěn)定。同時(shí)，相比較EKF，UKF能夠更快速地收斂跟蹤到真實(shí)值，并且后期估算誤差小于EKF。估算誤差維持在2%以內(nèi)。不同算法比較如圖6所示。

圖6 不同算法比較圖

驗(yàn)證初始值不為1時(shí)，自適應(yīng)卡爾曼的收斂效果更好。恒流放電下SOC估算及估算誤差如圖7所示。

從圖7中可以看出，自適應(yīng)卡爾曼濾波能夠跟蹤真實(shí)、有效的SOC值，并且效果很好。通過(guò)MATLAB繪出AKF的誤差曲線，計(jì)算得到AKF的誤差值。

圖7 恒流放電下SOC估算及估算誤差

由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可分析出各個(gè)算法對(duì)工作狀態(tài)中動(dòng)力鋰電池的SOC估算的精確值。DST測(cè)試下，AH、EKF以及UKF對(duì)SOC的估算誤差如表2所示。

表2 DST測(cè)試下AH、EKF以及UKF對(duì)SOC的估算誤差

通過(guò)對(duì)比實(shí)際的值和由自適應(yīng)卡爾曼濾波法估算的SOC值，明顯地觀察到預(yù)測(cè)值可以完美跟隨真實(shí)值，并把誤差范圍收斂到0.03%。對(duì)比其他幾種SOC的估算方法，AKF能更有效地跟蹤復(fù)雜工況下鋰電池的荷電狀態(tài)。

3 結(jié)論

電池內(nèi)阻是參數(shù)識(shí)別的一個(gè)非常重要的方面?；旌厦}沖特性試驗(yàn)有方便的測(cè)量方法，充放電電池電壓瞬間的變化可以采用歐姆定律，也可以通過(guò)時(shí)域關(guān)系檢測(cè)出電池的內(nèi)部參數(shù)。二階RC的Thevenin模型考慮了電池的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)特性。它是一種非線性低階模型，涉及的參數(shù)更少，精度更高。對(duì)比分析實(shí)際的SOC值和預(yù)測(cè)的SOC值，發(fā)現(xiàn)在自適應(yīng)卡爾曼的誤差范圍小于擴(kuò)展卡爾曼的誤差范圍。在電池管理系統(tǒng)的采樣過(guò)程中，即使是采樣信號(hào)受到外界的干擾，當(dāng)這些干擾在在硬件濾波基礎(chǔ)上加以自適應(yīng)卡爾曼濾波，能夠降低成本和更易于實(shí)現(xiàn)。通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)估計(jì)荷電狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化，可修正噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，自適應(yīng)卡爾曼濾波可以將誤差范圍控制在0.03%以內(nèi)。