張凌宇，王世宇，高越，呂清松

（蘇州城市學(xué)院，江蘇蘇州，215104）

0 引言

擺是進(jìn)行控制理論研究的典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，可以分為倒立擺和順擺兩大類。其中，倒立擺是一個(gè)典型的非線性、高階次、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定、欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。對倒立擺的控制涉及到控制科學(xué)中處理非線性、高階次、強(qiáng)耦合對象的關(guān)鍵技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了倒立擺的高品質(zhì)控制，就解決了控制領(lǐng)域中的難題。

按照基座的運(yùn)動(dòng)形式，倒立擺主要分為直線倒立擺、環(huán)形倒立擺和平面倒立擺三大類。目前，直線型倒立擺作為一種實(shí)驗(yàn)儀器以其結(jié)構(gòu)相對簡單、形象直觀等優(yōu)點(diǎn)，廣泛運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)等環(huán)節(jié)。環(huán)形倒立擺的基座運(yùn)動(dòng)形式與直線倒立擺有所差異，但二者相同之處是基座僅有一個(gè)自由度。

相比之下，平面倒立擺是倒立系統(tǒng)中最復(fù)雜的一類，其非線性、耦合性、多變量等特性更加突出。目前，關(guān)于平面倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究相對較少。因此，本文主要開展平面一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究與設(shè)計(jì)工作。

1 平面一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模

對平面一級(jí)倒立擺的結(jié)構(gòu)做簡化處理，假設(shè)擺桿是勻質(zhì)的，且忽略摩擦力的條件下，平面一級(jí)倒立擺可以被抽象為由基座小車質(zhì)量塊和均勻擺桿組成的剛體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，并建立如圖1所示的全局坐標(biāo)系OXYZ。

圖1

圖1 (a)中，l為倒立擺擺桿長度，lxz，lyz分別是擺桿在x-z，y-z平面的映射長度，θ為擺桿與z軸方向的夾角，α，β分別為擺桿在x-z，y-z平面的映射與z軸方向的夾角?？傻茫?/p>

在擺桿垂直向上的平衡位置時(shí)可近似認(rèn)為lxz，lyz≈l。根據(jù)坐標(biāo)定義，只考慮x-z平面內(nèi)情況，如圖1(b)所示。

采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)建立平面倒立擺的數(shù)學(xué)模型，有拉格朗日方程及為拉格朗日算子可知倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢能V 分別可以通過下列方程組進(jìn)行計(jì)算：

根據(jù)式（4），可得倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能分別為：

結(jié)合式（5），并整理可得如下方程組：

由此可見，平面一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在垂直向上的平衡位置附近進(jìn)行近似處理后，擺桿在互相垂直的兩個(gè)方向上是非耦合的。因此，在X、Y兩個(gè)方向可以分別設(shè)計(jì)控制器，而不必?fù)?dān)心兩個(gè)方向上的互相干擾的問題。

2 系統(tǒng)硬件設(shè)計(jì)

如圖2所示，系統(tǒng)主要分為三個(gè)部分：機(jī)械硬件單元、電機(jī)驅(qū)動(dòng)單元和控制單元。

圖2

機(jī)械硬件單元主體采用CoreXY結(jié)構(gòu)，通過兩個(gè)直流減速電機(jī)來控制滑塊在XOY平面內(nèi)的自由移動(dòng)。同時(shí)，滑塊上端通過萬向節(jié)與擺桿底座相連接，并將姿態(tài)傳感器（MPU6050）緊貼于底座，以獲取擺桿的實(shí)時(shí)姿態(tài)信息；電機(jī)驅(qū)動(dòng)單元主要實(shí)現(xiàn)兩路直流電機(jī)的驅(qū)動(dòng)和正/反轉(zhuǎn)控制，并為控制單元供電；控制單元選用STM32F1系列控制器，通過姿態(tài)傳感器和兩路電機(jī)的編碼器信號(hào)獲取擺桿的實(shí)時(shí)傾角信息以及相對位置信息。

■2.1 機(jī)械硬件單元

相較于僅具有一個(gè)控制維度的直線倒立擺，平面倒立擺增加了一個(gè)控制維度，因此具有更大的控制難度。為了減少執(zhí)行電機(jī)數(shù)目，系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中采用CoreXY結(jié)構(gòu)，以減少執(zhí)行電機(jī)數(shù)目，具體結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3

如圖3所示，設(shè)?X、?Y分別為滑塊在X和Y方向的位移，?A、?B分別為電機(jī)A與電機(jī)B的線位移，則有：

由式（7）可得：

因此，僅用兩個(gè)電機(jī)和傳送帶的耦合，就可以控制中心滑塊向平面內(nèi)各個(gè)方向的自由移動(dòng)，從而降低了系統(tǒng)的控制難度。

■2.2 電機(jī)驅(qū)動(dòng)單元

電機(jī)驅(qū)動(dòng)單元主要采用由兩片BTN7971B構(gòu)成的H橋電路來控制電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)。相較于由MOS管組成的H橋電路，其更為簡單，且占用面積小，便于PCB布局。此外，其內(nèi)置限流保護(hù)電路，可有效保護(hù)電路。具體硬件電路，如圖4所示。

圖4

同時(shí)，為了避免感性負(fù)載（電機(jī)）產(chǎn)生的反向倒灌電流燒毀微控制器，設(shè)計(jì)中選用緩沖芯片74LS244來實(shí)現(xiàn)微控制器與驅(qū)動(dòng)電路間的隔離。

控制單元選用STM32F1系列控制器，通過姿態(tài)傳感器和兩路電機(jī)的編碼器信號(hào)獲取擺桿的實(shí)時(shí)傾角信息以及相對位置信息，并將采集到的上述信息通過OLED進(jìn)行顯示。

（1）姿態(tài)傳感器

姿態(tài)傳感器選用6軸傳感器模塊MPU6050，其結(jié)合了3軸陀螺儀和一個(gè)3軸加速度計(jì)，工作電壓為2.4V～3.5V。MPU6050作為整合性6軸運(yùn)動(dòng)處理組件，相較于多組件方案，免除了組合陀螺儀與加速器時(shí)之軸間差的問題，減少了大量的包裝空間。

（2）OLED液晶

OLED具備輕薄、省電、使用壽命高等特性，以及許多LCD不可比擬的優(yōu)勢。本設(shè)計(jì)使用的OLED顯示模塊，采用SPI通信協(xié)議，并帶有相關(guān)接口，只需要占用微控制器的4個(gè)IO口，就能達(dá)到顯示效果。

3 系統(tǒng)程序設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)倒立擺擺桿的穩(wěn)定控制，在Keil MDK5集成開發(fā)環(huán)境上完成了系統(tǒng)的程序開發(fā)。系統(tǒng)程序流程圖，如圖5所示。

圖5

如圖5(a)所示，系統(tǒng)上電后，首先對微控制器(串口、中斷、定時(shí)器、IIC等)、編碼器、電機(jī)、MPU6050以及OLED液晶進(jìn)行初始化，然后進(jìn)入定時(shí)器中斷，在中斷中實(shí)現(xiàn)相應(yīng)檢測控制功能。定時(shí)器中斷的程序流程，如圖5(b)所示。首先，微處理器讀取MPU6050采集到的擺桿傾角信息，并通過兩路編碼器讀取滑塊的相對位置信息；然后，微處理器根據(jù)所獲得的實(shí)時(shí)信息，計(jì)算保持?jǐn)[桿平衡所需的滑塊位移，并將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電機(jī)的控制信號(hào)，從而控制滑塊向相應(yīng)方向進(jìn)行移動(dòng)，達(dá)到保持?jǐn)[桿平衡的目的。

其中，MPU6050初始化的程序流程，如圖6所示。

圖6

如圖6所示，MPU6050的初始化過程主要完成陀螺儀、加速度傳感器的量程、采樣速率設(shè)置、內(nèi)置DMP使能，以及原始數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)濾波、原始姿態(tài)四元數(shù)解算、濾波數(shù)據(jù)融合、姿態(tài)角輸出等任務(wù)。

4 系統(tǒng)測試

在完成系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)和硬件電路設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，最終完成了系統(tǒng)樣機(jī)的制作。樣機(jī)實(shí)物，如圖7所示。

圖7

在實(shí)現(xiàn)平面倒立擺系統(tǒng)的基本功能后，對所設(shè)計(jì)倒立擺系統(tǒng)的抗沖擊能力進(jìn)行了測試。

具體測試過程中，采用24V開關(guān)電源為整個(gè)系統(tǒng)供電，用玩具槍來模擬外界沖擊，并通過平拋運(yùn)動(dòng)的思想來測量子彈的出膛速度。隨后，采用控制變量法，通過依次改變子彈重量、射擊距離以及沖擊位置，最終測得了該倒立擺系統(tǒng)所能承受的最大沖量距。與此同時(shí)，對于相同沖量距情況下的沖擊效果進(jìn)行了多次測量，測試結(jié)果表1所示，表明：相同沖量距情況下的沖擊測試結(jié)果基本相同，從而驗(yàn)證了沖量距這一物理概念。

表1 測試結(jié)果

5 結(jié)語

對于平面倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究具有巨大的應(yīng)用價(jià)值。本文在建立平面一級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，完成了系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)和硬件電路的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了對擺桿姿態(tài)的實(shí)時(shí)、穩(wěn)定控制。同時(shí)，相關(guān)測試結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的平面一級(jí)倒立擺系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。