梁亞星，張 權(quán),，張 萌，陳 燕，桂志國,

（1.中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051; 2.中北大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)成像與影像大數(shù)據(jù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051; 3.中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引 言

X-ray計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)（CT）是一種重要的現(xiàn)代醫(yī)療診斷手段，在疾病的早期篩查和后續(xù)的診斷治療等方面發(fā)揮著重要作用。新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）傳染性強(qiáng)、潛伏期長。而高分辨率胸部CT敏感度高，能檢測出毫米級病灶[1]，目前國家衛(wèi)生健康委員的診療方案中已將CT作為診斷COVID-19的常規(guī)首選影像學(xué)手段。

鑒于同一患者在診斷過程中往往需要進(jìn)行多次CT復(fù)查，且大多數(shù)患者免疫力降低，不宜接受過多的X線輻射[2-3]，故在掃描過程中降低X射線劑量是有必要的。基于感興趣區(qū)域的局部斷層掃描成像技術(shù)由于可以較好地控制輻射劑量，因而在臨床治療中具有應(yīng)用推廣價(jià)值。該技術(shù)在掃描過程中僅覆蓋可疑的病灶部位，避免了對正常區(qū)域的不必要射線照射，同時(shí)硬件設(shè)備的運(yùn)行損耗也得到降低。但由于采用局部掃描的方式，投影數(shù)據(jù)被截?cái)?，在重建的局部圖像邊界存在高亮的圓環(huán)，且含有灰度移位偽影，從而降低了重建圖像的質(zhì)量。

為有效消除截?cái)鄠斡?，傳統(tǒng)方法在擴(kuò)充缺失數(shù)據(jù)時(shí)多將投影數(shù)據(jù)進(jìn)行外插延拓，基本思想是依據(jù)某一投影角度測量的已知投影數(shù)據(jù)對截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充。其中，陳云斌[4]、王克軍[5]將某一投影角度下處于邊緣的兩個(gè)投影數(shù)據(jù)作為常數(shù)，分別向兩側(cè)擴(kuò)充，直至填充整個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)域；薛少峰[6]利用截?cái)鄶?shù)據(jù)邊界內(nèi)已知的若干連續(xù)投影數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，并根據(jù)該擬合曲線值向外插值，獲取缺失的投影數(shù)據(jù)。此外，王浩[7]則是根據(jù)截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)相鄰部分的已知投影數(shù)據(jù)，利用級比生成法擴(kuò)充缺失數(shù)據(jù)。

此外，近年來深度學(xué)習(xí)由于其強(qiáng)大的圖像特征提取能力，逐漸被應(yīng)用于提高低劑量CT圖像質(zhì)量[8-11]。其中，Li等[10]對于密集和稀疏角度采樣的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)，提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合FBP過程，實(shí)現(xiàn)了CT的精確重建；王蕾[11]則利用深度生成網(wǎng)絡(luò)預(yù)測不完全投影數(shù)據(jù)的缺失部分，進(jìn)一步重建圖像。同時(shí)，深度學(xué)習(xí)處理圖像的效果往往也受限制于低劑量CT圖像質(zhì)量退化程度、訓(xùn)練樣本數(shù)目以及算法的計(jì)算復(fù)雜度，相比較之下，傳統(tǒng)的局部重建方法重建速度較快，應(yīng)用范圍較廣，仍然具有較大的研究價(jià)值。

為此，受文獻(xiàn)[12]基于線過程模型的平滑性約束集投影重建圖像，文獻(xiàn)[13]根據(jù)變分偏微分方程實(shí)現(xiàn)圖像修復(fù)啟發(fā)。基于截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的特點(diǎn)，以及線過程模型描述圖像的邊緣結(jié)構(gòu)特性，本文將線過程模型和全變分模型引入截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)恢復(fù)過程中，提出了一種新的局部重建算法。

1 算法的引出

圖1 局部重建的投影數(shù)據(jù)

故對截?cái)鄶?shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)時(shí)，需要依據(jù)已知的A部分投影數(shù)據(jù)外推截?cái)噙吔缫酝獾腂部分投影數(shù)據(jù)。全變分模型最初應(yīng)用于圖像去噪，后被逐漸應(yīng)用于修復(fù)不同程度的破損圖像，因截?cái)鄶?shù)據(jù)恢復(fù)過程本質(zhì)上也是一個(gè)借助待恢復(fù)區(qū)B的鄰域信息A恢復(fù)較為完整的投影數(shù)據(jù)問題，本文研究了將全變分模型用于恢復(fù)截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的有效性。

由于待恢復(fù)投影數(shù)據(jù)點(diǎn)存在鄰域數(shù)據(jù)缺失的問題，利用全變分模型恢復(fù)截?cái)鄶?shù)據(jù)時(shí)存在不足，需要合理利用已知的投影數(shù)據(jù)值對待恢復(fù)數(shù)據(jù)值的鄰域進(jìn)行預(yù)插值。

2 本文算法

算法的基本思想包括兩部分：根據(jù)已知的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)預(yù)估待修復(fù)點(diǎn)鄰域的投影數(shù)據(jù)；將線過程模型檢測出的截?cái)鄶?shù)據(jù)邊緣信息作為恢復(fù)截?cái)鄶?shù)據(jù)過程中的擴(kuò)充邊界，并利用全變分模型恢復(fù)缺失的投影數(shù)據(jù)?；诨謴?fù)后的投影數(shù)據(jù)，進(jìn)一步濾波反投影重建得到CT局部圖像。

2.1 聯(lián)合線過程和全變分模型的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)恢復(fù)

2.1.1 邊緣檢測

其中閾值Th決定線過程對于投影數(shù)據(jù)邊緣的敏感度，閾值小，則被判斷存在線過程的區(qū)域越大，對截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的邊緣信息保存就越多。

故在利用全變分模型對截?cái)鄶?shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充過程中，需要對判定線過程區(qū)域的閾值Th進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。在擴(kuò)充過程的起始一段時(shí)間，閾值設(shè)置較大，以便快速獲取截?cái)鄶?shù)據(jù)的邊緣位置，此時(shí)依據(jù)全變分模型擴(kuò)充后的投影數(shù)據(jù)值較小；自適應(yīng)調(diào)節(jié)閾值大小，經(jīng)過一定迭代次數(shù)后，使得經(jīng)由全變分模型擴(kuò)散的投影數(shù)據(jù)與截?cái)鄶?shù)據(jù)邊界處的投影數(shù)據(jù)值逐漸接近，從而達(dá)到截?cái)鄶?shù)據(jù)恢復(fù)的目的。

2.1.2 全變分模型用于投影數(shù)據(jù)恢復(fù)的存在問題

根據(jù)偏微分方程理論中的熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，將投影數(shù)據(jù)的灰度值視為平面物體的溫度，則投影數(shù)據(jù)恢復(fù)過程，可視為由截?cái)鄶?shù)據(jù)鄰域已知的投影數(shù)據(jù)作為固定點(diǎn)提供熱量的熱傳遞過程。由于全變分圖像修復(fù)模型采用各向異性的信息擴(kuò)散方式，可以較好地保護(hù)邊緣特征和細(xì)節(jié)信息。因此，在獲取截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的邊界位置后，采用全變分模型擴(kuò)充缺失的投影數(shù)據(jù)。

全變分模型修復(fù)圖像的代價(jià)函數(shù)為

運(yùn)用Language乘子法將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為

式中：r——正的實(shí)函數(shù)；

u——圖像的像素值；

λ——Language乘子。

引入時(shí)間量t，采用梯度下降法求解，則得到最速下降方程為

其中?·、?分別代表散度和梯度算子。

根據(jù)Euler-Lagrange方程，將偏微分采用差分代替，引入半點(diǎn)中心插值法求解函數(shù)u。若采用3×3像素鄰域，則獲得求解公式如下：

其中已知投影數(shù)據(jù)待恢復(fù)點(diǎn)o周圍的四鄰域像素點(diǎn)、四鄰域半像素點(diǎn)，求解過程中循環(huán)次數(shù)、平滑系數(shù)和步長采用控制變量法，經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)確定投影數(shù)據(jù)恢復(fù)的參數(shù)最適值。因局部掃描下投影數(shù)據(jù)不完整，待修復(fù)的像素點(diǎn)處于邊界位置時(shí)，其3×3像素鄰域的部分像素點(diǎn)是不完整的，無法直接利用公式（6）進(jìn)行求解，故應(yīng)合理利用已知的投影數(shù)據(jù)值，對待修復(fù)點(diǎn)的鄰域點(diǎn)進(jìn)行預(yù)插值。

2.2 待恢復(fù)點(diǎn)鄰域預(yù)插值

由于待恢復(fù)的投影數(shù)據(jù)灰度值僅與其鄰域內(nèi)像素有關(guān)，與較遠(yuǎn)像素位置無關(guān)。全變分恢復(fù)過程采用3×3像素鄰域時(shí)，需充分利用鄰近的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)灰度值，對待恢復(fù)點(diǎn)像素的鄰域點(diǎn)進(jìn)行預(yù)插值。

假設(shè)ui,j為一個(gè)待恢復(fù)點(diǎn)，m為待恢復(fù)投影數(shù)據(jù)所在的探測器位置，如圖2所示。由于第m、m-1行探測器投影值為零，采用3×3像素鄰域恢復(fù)中心像素點(diǎn)ui,j時(shí)不免代入零值，降低數(shù)據(jù)恢復(fù)的效率，故第m-1行探測器的數(shù)據(jù)值將通過第 m+1行已知的3個(gè)投影灰度值加權(quán)獲得，即

圖2 待恢復(fù)點(diǎn)ui,j及其鄰域

其中權(quán)重wi根據(jù)待插值點(diǎn)ui與已知點(diǎn)u0的歐氏距離比確定，即

對待恢復(fù)點(diǎn)ui,j的3×3像素鄰域仍存在的未知投影數(shù)據(jù)值ui,j+1，可通過上次全變分模型恢復(fù)的投影數(shù)據(jù)值ui,j-1等值估計(jì)，即

到此，待恢復(fù)點(diǎn) ui,j的3×3像素鄰域點(diǎn)已完成預(yù)插值，則可根據(jù)全變分模型的公式（6），求解待恢復(fù)點(diǎn)ui,j的投影數(shù)據(jù)值。則基于全變分框架的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)恢復(fù)算法框圖如圖3所示。

圖3 基于全變分恢復(fù)截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的局部重建算法

綜上所述，所提算法具體步驟如下：

1） 截?cái)鄶?shù)據(jù)獲?。簩hepp-Logan體模進(jìn)行360°全局掃描，得到圖4（a）所示完整的投影數(shù)據(jù)，對完整數(shù)據(jù)截?cái)嗟玫骄植康膾呙钄?shù)據(jù)，如圖4（b）所示；

2） 投影數(shù)據(jù)邊緣檢測：根據(jù)公式（2），利用線過程模型檢測出的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的邊緣信息作為擴(kuò)充條件，圖4（c）為截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)垂直方向的線過程，即檢測到的待恢復(fù)投影數(shù)據(jù)的邊界位置；

3） 待恢復(fù)點(diǎn)預(yù)插值：在此基礎(chǔ)上應(yīng)用公式（7）、（9）對待恢復(fù)點(diǎn)像素的3×3像素鄰域點(diǎn)進(jìn)行預(yù)插值；

4） 應(yīng)用公式（6）對截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)后的投影數(shù)據(jù)圖4（d）所示；

圖4 仿真模型投影數(shù)據(jù)算法過程圖

5） 依據(jù)恢復(fù)后的投影數(shù)據(jù)，經(jīng)濾波反投影重建得到CT局部重建圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中，采用Shepp-Logan頭部體模和實(shí)際骨盆數(shù)據(jù)，選取以圖像中心為圓心、半徑為50像素圓形區(qū)域?yàn)榇亟ǜ信d趣區(qū)域，重建圖像為256像素×256像素，驗(yàn)證算法進(jìn)行局部重建的可行性。

為了進(jìn)行對比驗(yàn)證，將截?cái)鄶?shù)據(jù)分別進(jìn)行常數(shù)延拓、對稱延拓，并重建圖像。其中，常數(shù)延拓將截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)上、下邊緣處的投影數(shù)據(jù)作為常數(shù)向兩側(cè)擴(kuò)充；對稱延拓則是以截?cái)鄶?shù)據(jù)邊界處的數(shù)據(jù)作為對稱點(diǎn)，以對稱的方式，分別對上、下邊界之外的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充。

此外，為了定量評價(jià)算法的有效性，采用歸一化均方距離判據(jù)NMSD、歸一化平均絕對距離判據(jù)NAAD、均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR和結(jié)構(gòu)相似性SSIM進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證：

式中：ui,j和vi,j——原始圖像和重建圖像第i行、j列的像素灰度值；

μu和μv——原始圖像和重建圖像的平均灰度值；

σu和σv——原始圖像和重建圖像的標(biāo)準(zhǔn)差，圖像的像素為N×N個(gè)。

3.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)采用256像素×256像素的Shepp-Logan仿真模型。采用等角度扇束掃描，投影角度數(shù)為360個(gè)，探元數(shù)目246個(gè)，選取中間68個(gè)探元數(shù)據(jù)作為截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)。圖5（a）、（b）分別是原始體模及其ROI放大顯示圖。

圖5 仿真模型

圖6左列為截?cái)鄶?shù)據(jù)，以及截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)經(jīng)常數(shù)延拓、對稱延拓和本文算法三種算法擴(kuò)充后FBP重建結(jié)果，右列分別為局部重建結(jié)果分別與原圖相應(yīng)的感興趣區(qū)域圖5（b）的差值圖。顯然，截?cái)鄶?shù)據(jù)局部重建圖6（a）和對應(yīng)差值圖6（b）的邊界處都存在環(huán)狀的高亮截?cái)鄠斡?，且重建圖像灰度值產(chǎn)生畸變，邊界區(qū)域像素的灰度值偏高。與其他截?cái)鄶?shù)據(jù)擴(kuò)充后的FBP局部重建圖比較，本文算法重建圖6（g）抑制了邊界處的環(huán)狀截?cái)鄠斡?，且圖像的對比度提高、均勻性較好。比較重建圖像差值圖，可以看出圖6（b）、圖6（d）和圖6（f）的左下角方框區(qū)域內(nèi)存在部分程度損失的邊緣信息，相比之下圖6（h）中的邊緣殘留更少，進(jìn)一步說明本文算法重建局部圖像的邊緣結(jié)構(gòu)信息保存的更加完整。

圖6 左列為不同算法FBP局部重建圖，右列為ROI差值圖

為了更加客觀評價(jià)本文算法，表1列出了各局部重建算法定量評價(jià)參數(shù)。分析比較可見，本文算法的NMSD、NAAD和MSE值較低，表明重建圖像與ROI差異程度小，PSNR值較高表明失真程度小，SSIM數(shù)值表明本文算法局部重建圖像與ROI的結(jié)構(gòu)相似程度高，從而驗(yàn)證了本文算法恢復(fù)截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的有效性。

表1 仿真數(shù)據(jù)經(jīng)不同算法恢復(fù)后的局部重建圖像定量評價(jià)參數(shù)

3.2 實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的實(shí)用性，實(shí)驗(yàn)采用實(shí)際骨盆數(shù)據(jù)。投影角度數(shù)360個(gè)，探元數(shù)目512個(gè)，選取中間180個(gè)探元數(shù)據(jù)為截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)，如圖7所示。

圖7 實(shí)際骨盆

圖8（a）、（b）分別為完整投影數(shù)據(jù)和截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)，圖8（c）為采用本文算法恢復(fù)后的投影數(shù)據(jù)。

圖8 實(shí)際骨盆投影數(shù)據(jù)

圖9左列為截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)經(jīng)不同算法擴(kuò)充后FBP重建結(jié)果，右列為對應(yīng)差值圖。圖9（a）、（b）的邊界處都存在環(huán)狀亮偽影，這與仿真模型截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)的局部重建結(jié)果邊界處存在的高亮環(huán)狀偽影相一致。將局部重建結(jié)果圖與感興趣區(qū)域圖7（b）比較，圖9（e）的矩形框標(biāo)注內(nèi)存在明顯的圖像信息缺失，上下邊界處重建效果較差，這在定量評價(jià)參數(shù)中也得到體現(xiàn)。而本文算法局部重建圖像圖9（g）的邊界處環(huán)狀截?cái)鄠斡暗玫揭种?，視覺效果比較好，對比差值圖9（h）也存在更少的細(xì)節(jié)信息。

圖9 重建圖與插值圖（左列為不同算法FBP局部重建圖，右列為ROI差值圖）

圖10為對應(yīng)算法局部重建結(jié)果圖與完整數(shù)據(jù)重建圖像ROI的結(jié)構(gòu)相似索引圖。比較圖10（a）～（d），本文算法處理的圖10（d）矩形框標(biāo)注區(qū)域內(nèi)的像素亮的程度比較高，進(jìn)一步表明本文算法重建的局部圖像質(zhì)量較高。

圖10 不同算法重建圖的結(jié)構(gòu)相似索引圖

表2列出了局部重建算法定量評價(jià)參數(shù)，與其他截?cái)鄶?shù)據(jù)擴(kuò)充方法比較，本文算法NMSD、NAAD和MSE值降低，PSNR值和SSIM值有明顯的提高。本文算法局部重建圖像的有效性進(jìn)一步得到了驗(yàn)證

表2 實(shí)際數(shù)據(jù)經(jīng)不同算法恢復(fù)后的局部重建圖像定量評價(jià)參數(shù)

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于投影數(shù)據(jù)恢復(fù)的扇束CT局部重建方法。利用線過程模型檢測的截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)邊緣信息作為擴(kuò)充邊界；在恢復(fù)過程中，針對待恢復(fù)點(diǎn)像素的鄰域點(diǎn)的數(shù)據(jù)缺失問題，利用已知投影數(shù)據(jù)的距離比加權(quán)進(jìn)行預(yù)插值，然后依據(jù)全變分模型對中心投影數(shù)據(jù)值進(jìn)行恢復(fù)，改善了直接使用截?cái)鄶?shù)據(jù)重建圖像造成的截?cái)鄠斡皢栴}。對比其他截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)擴(kuò)充方法，從仿真數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)的局部重建圖像的視覺效果及客觀評價(jià)參數(shù)等方面，評估了算法的可行性。