兌紅娜,劉棟梁,張志賢,潘紹振,楊龍

中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司成都飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所 強(qiáng)度部,成都 610091

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)控是新一代航空航天器一項(xiàng)重要且具有挑戰(zhàn)性的技術(shù)[1],其中需解決的關(guān)鍵問(wèn)題是準(zhǔn)確地測(cè)量與監(jiān)控結(jié)構(gòu)在飛行中所承受的載荷分布、應(yīng)力場(chǎng)等信息[2]。在結(jié)構(gòu)表面布置載荷傳感器來(lái)直接測(cè)量載荷分布是不現(xiàn)實(shí)的,常用的方法是采用應(yīng)變測(cè)量對(duì)載荷進(jìn)行反演[3-8](也稱反推),這顯然是一個(gè)根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)推測(cè)結(jié)構(gòu)載荷輸入的反問(wèn)題。

反問(wèn)題很有挑戰(zhàn)性,因?yàn)樗遣B(tài)(也稱不適定)的,即應(yīng)變測(cè)量的小誤差會(huì)導(dǎo)致載荷反演的較大偏差。此外,不同的載荷輸入可能導(dǎo)致相似的應(yīng)變響應(yīng),因此反問(wèn)題的解可能不是唯一的。

相比傳統(tǒng)的基于應(yīng)變電橋的部件載荷標(biāo)定(如機(jī)翼根部彎矩/剪力/扭矩),本文研究的載荷分布反演需在結(jié)構(gòu)全局更多的位置測(cè)量應(yīng)變,以獲取整個(gè)結(jié)構(gòu)足夠廣泛且穩(wěn)定可靠的應(yīng)變分布。相比電阻式應(yīng)變片,光纖傳感器具有重量輕、測(cè)量范圍廣、壽命長(zhǎng)、抗電磁干擾及抗惡劣環(huán)境的優(yōu)勢(shì),可為載荷分布反演提供有利的條件。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出多種基于應(yīng)變測(cè)量反演靜態(tài)載荷的方法,其中,應(yīng)用最廣泛的是影響系數(shù)法[4-8]。文獻(xiàn)[4-8]中大部分算例是基于有限元分析進(jìn)行理論驗(yàn)證,少量的試驗(yàn)驗(yàn)證也僅是簡(jiǎn)單懸臂梁,目前未見(jiàn)有大型復(fù)雜傳載結(jié)構(gòu)(如真實(shí)飛機(jī)機(jī)翼)的應(yīng)用實(shí)例。

影響系數(shù)法基于線彈性假設(shè),認(rèn)為由不同載荷工況下結(jié)構(gòu)響應(yīng)分布(如位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)變場(chǎng)等)的線性組合可以映射到結(jié)構(gòu)載荷分布的線性組合。

1 影響系數(shù)法

影響系數(shù)法構(gòu)建如下線性矩陣方程：

εg×1=Αg×mβm×1

(1)

fn×1=Pn×mβm×1

(2)

式中：εg×1表示未知載荷工況下的應(yīng)變分布;fn×1表示未知載荷工況下的載荷分布;Ag×m表示影響系數(shù)矩陣;Pn×m表示單位載荷矩陣;βm×1表示線性系數(shù);g表示應(yīng)變測(cè)點(diǎn)數(shù)量;m表示單位載荷工況數(shù)量;n表示載荷加載點(diǎn)數(shù)量。

影響系數(shù)矩陣A通過(guò)施加單位載荷工況P來(lái)確定,影響系數(shù)可以是物理試驗(yàn)的實(shí)際測(cè)量值,或者有限元分析值。其中,單位載荷可以是單點(diǎn)載荷或載荷基函數(shù),詳見(jiàn)下文介紹。

注意,式(1)和式(2)并非文獻(xiàn)[4]中的原式,本文作者進(jìn)行了重組和歸并,以便更清晰地表達(dá)影響系數(shù)法的內(nèi)涵。

根據(jù)單位載荷的類型,影響系數(shù)法又分為單點(diǎn)載荷法和載荷基函數(shù)法。

1.1 單點(diǎn)載荷法

在單點(diǎn)載荷法中,單位載荷工況是僅對(duì)某個(gè)載荷加載點(diǎn)施加單位載荷,此時(shí),m=n,P為單位矩陣,P=diag(1,1,…,1)。

式(1)和式(2)可以合并為

εg×1=Αg×mfm×1

(3)

式中：影響系數(shù)aij表示由于在加載點(diǎn)j處施加單位載荷引起的位置i處的應(yīng)變,i=1,2,…,g,j=1,2,…,m。

在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的地面試驗(yàn)中,考慮到集中載荷對(duì)局部加載區(qū)域的影響,每個(gè)加載點(diǎn)的載荷最大值是有限制的,因此在單位點(diǎn)載荷下大部分區(qū)域的應(yīng)變響應(yīng)并不大,這會(huì)對(duì)載荷反演精度造成不利的影響。因此,對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu),單點(diǎn)載荷法不適用于地面試驗(yàn)驗(yàn)證。

1.2 載荷基函數(shù)法

在載荷基函數(shù)法中,假設(shè)載荷分布滿足某種函數(shù)形式,單位載荷工況是施加某種載荷基函數(shù)形式的單位載荷分布,用fj表示。通常,m≠n,P=[f1,f2,…,fm]。

影響系數(shù)aij表示由于施加第j個(gè)載荷基函數(shù){fj}的載荷分布引起的位置i處的應(yīng)變,i=1,2,…,g,j=1,2,…,m。

文獻(xiàn)[5]將基函數(shù)fj取為沿翼面展向和弦向的多項(xiàng)式分布函數(shù),如常數(shù)、線性、二次、指數(shù)及正弦函數(shù)等。

文獻(xiàn)[6]將基函數(shù)fj取為沿翼面展向和弦向的傅立葉級(jí)數(shù)項(xiàng),如常數(shù)、單傅立葉項(xiàng)、雙傅立葉項(xiàng)等。

載荷基函數(shù)法的難點(diǎn)在于如何選取合適形式和數(shù)量的載荷基函數(shù)。在實(shí)際試驗(yàn)中,作動(dòng)筒加載點(diǎn)是有限的,且同一個(gè)作動(dòng)筒和杠桿系統(tǒng)的載荷分配比例是固定的,很難模擬出復(fù)雜的載荷基函數(shù)。因此,對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu),載荷基函數(shù)法同樣不適用于地面試驗(yàn)驗(yàn)證。

1.3 討 論

經(jīng)分析,載荷分布反演精度主要取決于以下幾方面：

1)單位載荷工況的選取(決定P)

對(duì)于單點(diǎn)載荷法,直接對(duì)各加載點(diǎn)施加單位載荷工況即可。對(duì)于載荷基函數(shù)法,載荷基函數(shù)的類型和數(shù)量直接影響載荷空間的完備性,如果選取的不合適,將很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)任意載荷工況下的載荷分布。

2)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)數(shù)量和位置的選取(決定A)

應(yīng)變測(cè)點(diǎn)應(yīng)盡量分散,且對(duì)加載點(diǎn)載荷的敏感度較高,若某些加載點(diǎn)的載荷變化不能體現(xiàn)在應(yīng)變測(cè)量值上,則該加載點(diǎn)是很難被準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的。

3)反向矩陣病態(tài)化的減弱(決定β)

在實(shí)際應(yīng)用中,應(yīng)變分布不可避免地存在測(cè)量誤差,需引入有效正則化方法來(lái)求解線性矩陣方程(式(1)),以降低病態(tài)化對(duì)載荷反演魯棒性的不利影響。

本文重點(diǎn)針對(duì)以上1)和3)展開(kāi)研究。

2 基工況篩選法

為解決單位載荷工況選取的難題,本文提出一種基于施密特正交化的最大垂直距離逐步篩選基工況法(下文簡(jiǎn)稱為基工況篩選法),總體思路是依次挑選出與當(dāng)前歐式空間垂直距離最大的工況(或向量)組成新的歐式空間,直至所有工況(或向量)均位于該歐式空間,挑選出的工況即為基工況,詳細(xì)步驟見(jiàn)2.1節(jié)。

相比單點(diǎn)載荷法和載荷基函數(shù)法,基工況篩選法從設(shè)計(jì)載荷工況庫(kù)中篩選基工況,單位載荷工況是更為真實(shí)的載荷分布,便于在結(jié)構(gòu)地面試驗(yàn)中施加。

基于基工況篩選法的載荷分布反演流程見(jiàn)圖1,重點(diǎn)在于首先從載荷空間篩選出載荷基工況,然后在應(yīng)變基工況包含載荷基工況的前提下,進(jìn)一步從應(yīng)變空間篩選出應(yīng)變基工況,詳細(xì)步驟見(jiàn)2.2節(jié)。圖1中候選應(yīng)變集指的是結(jié)構(gòu)上根據(jù)實(shí)際情況可允許布置的應(yīng)變測(cè)點(diǎn)集。

圖1 基于基工況篩選法的載荷分布反演流程

2.1 載荷基工況

將設(shè)計(jì)載荷工況的載荷分布矩陣表示為Pn×M=[f1,f2,…,fM],每個(gè)列向量fi表示一個(gè)載荷工況,M為設(shè)計(jì)載荷工況數(shù)量,n為載荷分布的加載點(diǎn)數(shù)量。

載荷列空間屬于n維歐式空間的子空間,只要確定一組線性無(wú)關(guān)的基向量,即基工況,則任意載荷工況均可用這組基工況來(lái)線性表示,此空間記為En×mf,mf為基工況數(shù)量。

基于施密特正交化法,從設(shè)計(jì)載荷工況庫(kù)逐步篩選出載荷基工況,具體步驟[9]為

步驟2選取某個(gè)載荷工況作為初始基工況,記為f1,將其單位矢量記為e1,得到一維載荷列空間En×mf,mf=1。

(4)

從以上步驟可知,載荷列空間的基工況組合不是唯一的,初始基工況f1和誤差閾值α決定了最終的基工況組合。在實(shí)際應(yīng)用中,可將重要考核工況(如載荷最大工況)選為初始基工況。經(jīng)研究分析,誤差閾值α取為所有設(shè)計(jì)載荷工況單位化后最小標(biāo)準(zhǔn)偏差的1/10～1/15較為合理。

通常,載荷向量的維數(shù)n越大,構(gòu)建完備載荷列空間所需的基工況m就越多。在結(jié)構(gòu)有限元分析中,氣動(dòng)載荷和慣性載荷節(jié)點(diǎn)通常很密,但在實(shí)際地面試驗(yàn)時(shí),可用獨(dú)立的作動(dòng)筒載荷表示載荷分布。

2.2 應(yīng)變基工況

將設(shè)計(jì)載荷工況的應(yīng)變分布矩陣表示為Ag×M=[ε1,ε2,…,εM],每個(gè)列向量εi表示一個(gè)載荷工況,M為設(shè)計(jì)載荷工況數(shù)量,g為應(yīng)變測(cè)點(diǎn)數(shù)量。

在載荷基工況的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步從設(shè)計(jì)載荷工況庫(kù)篩選出應(yīng)變基工況。將第2.1節(jié)的載荷分布矩陣Pn×M替換為應(yīng)變分布矩陣Ag×M,并對(duì)篩選步驟2作如下修改：

步驟2選取已篩選出的mf個(gè)載荷基工況作為初始應(yīng)變基工況組合,根據(jù)施密特正交化公式,將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正交矢量,得到mf維應(yīng)變列空間Eg×mf。

其他步驟保持不變,可依次篩選出mε個(gè)應(yīng)變基工況,mε≥mf,mε≤M,mε≤g。此時(shí),確定了影響系數(shù)矩陣Ag×mε和基載荷矩陣Pn×mε。

在以上步驟中,步驟2是關(guān)鍵,應(yīng)變基工況包含載荷基工況的準(zhǔn)則確保了載荷分布反演精度。

3 正則化方法

常規(guī)最小二乘法無(wú)法解決反向矩陣病態(tài)化的問(wèn)題,需引入合適的正則化方法來(lái)求解線性矩陣方程,從而提高載荷分布反演的魯棒性。

在眾多正則化方法中,應(yīng)用最廣泛的是Tikhonov正則化法[10]。與常規(guī)最小二乘法不同,正則化法的關(guān)鍵是增加特定的正則項(xiàng)來(lái)加權(quán)誤差平方和極小的條件,以克服不適定性,使解唯一且穩(wěn)定。

對(duì)于式(1)的線性矩陣方程,Tikhonov正則化的準(zhǔn)則為

(5)

式中：H為正則化矩陣；λ為正則化參數(shù)。在眾多正則化參數(shù)優(yōu)選方法[10]中,最常用的是L-曲線法和廣義交叉驗(yàn)證法,哪種方法更優(yōu)需根據(jù)具體情況而定。

由于篇幅有限,關(guān)于Tikhonov正則化的具體算法,本文將不再贅述,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10-11]。

4 算 例

基于某型飛機(jī)機(jī)翼疲勞試驗(yàn)的作動(dòng)筒載荷和光纖傳感器數(shù)據(jù),對(duì)本文提出的基于基工況篩選法的載荷分布反演方法(見(jiàn)圖1)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。本節(jié)所有圖例中的載荷均經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化處理。

機(jī)翼疲勞試驗(yàn)共749種獨(dú)立載荷工況(M=749),左機(jī)翼下翼面共布置24個(gè)加載作動(dòng)筒(n=24),4根主梁沿翼展方向均粘貼光纖傳感器,有效應(yīng)變測(cè)點(diǎn)共116個(gè)(剔除損壞/異常測(cè)點(diǎn)),在本算例中將其作為候選應(yīng)變集(g=116)。為消除應(yīng)變測(cè)量誤差的影響,對(duì)每個(gè)候選應(yīng)變測(cè)點(diǎn)取同工況多次測(cè)量值的均值,組成候選應(yīng)變矩陣A116×749。

首先,根據(jù)作動(dòng)筒載荷矩陣P24×749,采用2.1節(jié)所述方法,以最大機(jī)翼彎矩工況作為初始工況,閾值取為所有載荷向量單位化后最小標(biāo)準(zhǔn)偏差的1/10,逐步篩選出23個(gè)載荷基工況,mf=23。基工況下的載荷分布情況見(jiàn)圖2。

圖2 基工況載荷分布

然后,根據(jù)候選應(yīng)變矩陣A116×749,采用2.2節(jié)所述方法,基于已篩選出的23個(gè)載荷基工況,逐步篩選出82個(gè)應(yīng)變基工況,mε=82,此時(shí)確定了影響系數(shù)矩陣A116×82和基載荷矩陣P24×82。

假設(shè)749種試驗(yàn)工況下的載荷是未知的,僅已知各工況下的應(yīng)變分布εi,應(yīng)變測(cè)量誤差按以下3種情況：無(wú)誤差、5%隨機(jī)誤差和10%隨機(jī)誤差,根據(jù)式(1)和式(2),分別采用常規(guī)最小二乘法和Tikhonov正則化法預(yù)測(cè)749種工況的作動(dòng)筒載荷,并根據(jù)作動(dòng)筒位置進(jìn)一步計(jì)算子部件總體載荷(機(jī)翼根部剪力/彎矩/扭矩、舵面剪力/鉸鏈力矩),將載荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證以上載荷分布反演方法的預(yù)測(cè)精度和魯棒性。

4.1 無(wú)測(cè)量誤差

假設(shè)未知工況下的應(yīng)變測(cè)量值無(wú)誤差,采用以上步驟進(jìn)行載荷分布反演,見(jiàn)圖3,繪制了采用常規(guī)最小二乘法的24個(gè)作動(dòng)筒載荷對(duì)比圖,橫坐標(biāo)為載荷實(shí)際值,縱坐標(biāo)為載荷預(yù)測(cè)值,圖中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)代表一個(gè)載荷工況?？梢?jiàn)：除4#、5#、15#、16#、20#作動(dòng)筒稍差外,大部分作動(dòng)筒的載荷預(yù)測(cè)精度很高。其中,4#、5#靠近機(jī)翼根部,15#、16#位于副翼,20#位于前襟。

圖3 作動(dòng)筒載荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比(最小二乘法)

舵面作動(dòng)筒(15#、16#、20#)預(yù)測(cè)精度稍差是符合預(yù)期的,因?yàn)楣饫w傳感器僅布置在幾根主梁的緣條上,這些應(yīng)變測(cè)點(diǎn)對(duì)舵面載荷的響應(yīng)并不大。若重點(diǎn)關(guān)注舵面載荷,則應(yīng)增加舵面區(qū)域的應(yīng)變測(cè)點(diǎn),舵面載荷的預(yù)測(cè)精度自然會(huì)提高。

4#、5#作動(dòng)筒預(yù)測(cè)精度差是由于存在多種載荷分布導(dǎo)致相似應(yīng)變響應(yīng)的情況,見(jiàn)圖4,第2個(gè)和第7個(gè)基工況的載荷分布明顯不同,但應(yīng)變分布卻很接近。這種情況是不可避免的,雖然不能保證單獨(dú)加載點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度,但部件總體載荷(如機(jī)翼根部剪力/彎矩/扭矩)以及總體應(yīng)變分布是能準(zhǔn)確反映的。

圖4 不同載荷分布下的相似應(yīng)變響應(yīng)

子部件總體載荷對(duì)比圖見(jiàn)圖5,橫坐標(biāo)是載荷實(shí)際值,縱坐標(biāo)是載荷預(yù)測(cè)值,圖中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)代表一個(gè)載荷工況?？梢?jiàn)：雖然部分作動(dòng)筒的載荷預(yù)測(cè)精度有限,但部件總體載荷的預(yù)測(cè)精度很高。

圖5 子部件載荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比(最小二乘法)

由于本算例的應(yīng)變空間(g=116)是充分的,正則化方法的精度提升效果并不明顯,這里僅列出最小二乘法的結(jié)果。

4.2 隨機(jī)測(cè)量誤差

對(duì)未知工況下的應(yīng)變測(cè)量值分別引入5%和10%的隨機(jī)誤差,采用以上步驟預(yù)測(cè)749工況的作動(dòng)筒載荷和子部件載荷,并采用廣義交叉驗(yàn)證法來(lái)確定Tikhonov正則化參數(shù)。

由于篇幅有限,此處僅繪制部件總體載荷對(duì)比圖,如圖6和圖7,橫坐標(biāo)為載荷實(shí)際值,縱坐標(biāo)為載荷預(yù)測(cè)值,圖中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)代表一個(gè)載荷工況?？芍?/p>

圖6 引入5%隨機(jī)測(cè)量誤差的子部件載荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

圖7 引入10%隨機(jī)測(cè)量誤差的子部件載荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

1)對(duì)于常規(guī)最小二乘法，隨著應(yīng)變測(cè)量誤差的增大，載荷反演精度迅速變差，當(dāng)隨機(jī)誤差為10%時(shí)，精度已差到無(wú)法接受。

2)對(duì)于Tikhonov正則化法，隨著應(yīng)變測(cè)量誤差的增大，載荷反演精度的降低是緩慢的，說(shuō)明正則化方法可有效減弱病態(tài)化對(duì)載荷反演精度和魯棒性的不利影響。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)基于應(yīng)變測(cè)量的載荷分布反演,提出了一種基于施密特正交化的最大垂直距離逐步篩選基工況法,從設(shè)計(jì)載荷工況庫(kù)中篩選載荷基工況和應(yīng)變基工況,建立了一套完整的工程可行的載荷分布反演流程,具體總結(jié)如下：

1)相比單點(diǎn)載荷法和載荷基函數(shù)法,本文提出的基工況篩選法從設(shè)計(jì)載荷工況庫(kù)中挑選出線性無(wú)關(guān)的基工況,單位載荷工況是更為真實(shí)的載荷分布,便于在結(jié)構(gòu)地面試驗(yàn)中施加。

2)本文提出應(yīng)變基工況應(yīng)包含載荷基工況的準(zhǔn)則,以確保載荷分布反演精度。

3)經(jīng)驗(yàn)證,Tikhonov正則化法可有效減弱反向矩陣的病態(tài)化,大大提高載荷反演精度和魯棒性。

4)經(jīng)驗(yàn)證,本文提出的載荷分布反演方法是工程可行的,且具有很高的預(yù)測(cè)精度和魯棒性,可為新一代航空航天器的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)控提供一條可靠的載荷識(shí)別途徑。