奚蔚,李強,沈培良,何瑞,楊剛,劉世杰

1.中國商飛上海飛機設計研究院 機體集成部,上海 201210

2.中國商飛上海飛機制造有限公司 復合材料中心,上海 201324

近年來,飛機老齡化問題日趨嚴重,它涉及很多方面,廣布疲勞損傷是其中的重點和難點之一。FAR25-132修正案§25.571條款“結(jié)構(gòu)損傷容限和疲勞評定”要求必須建立一個有效性限制,在有效性限制內(nèi),飛機結(jié)構(gòu)不允許發(fā)生廣布疲勞損傷[1]。研究結(jié)構(gòu)的廣布疲勞損傷需要確定3個方面的關(guān)鍵問題：多裂紋萌生、多裂紋擴展以及多裂紋結(jié)構(gòu)失效分析[2-4]。本文就這3個問題進行了研究。

對多裂紋萌生問題,薛景川和弓云昭[5]提出了一種預估結(jié)構(gòu)初始廣布疲勞損傷發(fā)生的概率模型,該模型將結(jié)構(gòu)簡化成一個并串聯(lián)系統(tǒng),并推導出相應的計算公式。王傳勝等[6]給出了一種利用已有單細節(jié)結(jié)構(gòu)試驗結(jié)果定量計算飛機結(jié)構(gòu)發(fā)生多部位損傷可能性的方法,該方法認為當多細節(jié)結(jié)構(gòu)中有2個或2個以上細節(jié)萌生裂紋時,結(jié)構(gòu)發(fā)生多部位損傷。Zhang等[7]從單細節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命概率分布出發(fā),給出了多細節(jié)結(jié)構(gòu)萌生任意多條裂紋概率的數(shù)值計算公式。本文通過研究多細節(jié)結(jié)構(gòu)中裂紋萌生的機理,給出了多細節(jié)結(jié)構(gòu)中依次出現(xiàn)的各條裂紋的萌生壽命概率分布的解析表達式,使得多裂紋萌生壽命概率分布的概念更加清晰,計算過程更加簡單,結(jié)果更加準確。

對多裂紋擴展問題,它的關(guān)鍵是應力強度因子的計算。Cartwright和Rooke[8]提出了多裂紋應力強度因子求解的組合法,組合法是利用疊加原理和約束替代原理建立的一種工程近似計算方法,它將復雜情況分解成若干簡單情況的組合。倪惠玲[9]應用這一方法對多處損傷的特性進行了初步研究。Moukawsher等[10]用修正的Kamei和Yokobori交互作用因子來考慮相鄰裂紋對應力強度因子的影響。上述研究方法只能解決有限情況下特定分布的裂紋問題,對于任意分布的多裂紋問題,有限元法無疑是工程實際中常用的方法[11],它能夠求解復雜幾何邊界條件或復雜載荷傳遞情況的應力強度因子。另外,隨著裂紋擴展,不斷快速動態(tài)更新裂尖應力強度因子也是一個難題。本文先通過有限元方法計算出多裂紋指定長度組合下的應力強度因子,然后引入響應面法,定量地建立裂紋長度與應力強度因子之間的函數(shù)關(guān)系,減少有限元迭代計算工作量,解決了多裂紋應力強度因子的快速動態(tài)計算問題,兼顧了計算精度和效率。

對多裂紋結(jié)構(gòu)失效問題,Swift[12]在窄板剩余強度試驗中發(fā)現(xiàn),由于受到韌帶屈服的限制,窄板的失效由凈截面屈服準則控制。由于各裂紋之間的相互作用,多裂紋結(jié)構(gòu)中的裂紋擴展加快,當相鄰兩裂紋連通時,結(jié)構(gòu)的承載能力急劇下降,因此也有很多失效準則研究集中于多裂紋連通準則。Swift[13]通過大量試驗觀測,提出了韌帶屈服連通準則,該準則認為：當2個裂紋尖端塑性區(qū)發(fā)生接觸時,原先的2條裂紋合并成一條長裂紋。Jeong和Brewer[14]提出了韌帶平均位移準則,該準則基于韌帶上平均位移的協(xié)調(diào),指出當外載荷使韌帶上假想的裂紋表面不可能閉合時,裂紋發(fā)生連通。本文采用亞臨界條件,以首次裂紋連通作為多裂紋結(jié)構(gòu)失效的條件,結(jié)構(gòu)達到該亞臨界狀態(tài)時發(fā)生失效。該方法降低了分析的復雜程度,且不會造成廣布疲勞損傷總壽命減少很多,工程實用性強。

最后,本文將3部分內(nèi)容的分析方法有機結(jié)合,給出了一種簡便易用的多部位損傷全壽命分析工程方法,通過試驗研究驗證了該方法的準確性和有效性。

1 裂紋萌生壽命概率分布分析模型

1.1 單細節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命的概率分布

一般認為,在指定應力水平S下,疲勞壽命N服從威布爾分布[5,15-16],雙參威布爾分布的概率密度函數(shù)為

(1)

式中：α為形狀參數(shù),決定了概率密度函數(shù)曲線的形狀；β為特征壽命,與應力水平S和α的取值有關(guān)。

載荷循環(huán)數(shù)為NR時,單細節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生的概率為

(2)

1.2 多細節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命概率分布分析模型

廣布疲勞損傷敏感結(jié)構(gòu)含有大量的相似細節(jié),這些細節(jié)的結(jié)構(gòu)構(gòu)型相同、應力水平相近,通常認為它們的裂紋萌生壽命服從相同的概率分布,且相互獨立[17]。假設有m個完全相同的該廣布疲勞損傷敏感結(jié)構(gòu)件,每個結(jié)構(gòu)件中的細節(jié)數(shù)為n,在第j個結(jié)構(gòu)件中,各個細節(jié)的裂紋萌生壽命按大小順序排列如下：

j∈{1,2,…,m}

式中:上標j代表第j個結(jié)構(gòu)件；下標i是該結(jié)構(gòu)件中各細節(jié)壽命按照從小到大順序排列的序數(shù)。

根據(jù)概率乘法定理,事件A發(fā)生的概率等于事件1～3發(fā)生概率的乘積,即

經(jīng)整理,得

[1-F(t)]n-if(t)

(3)

Ni的概率分布函數(shù)為

(4)

通過式(3)和式(4),就可由單細節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命概率分布分別求出廣布疲勞損傷敏感結(jié)構(gòu)中各條裂紋萌生壽命的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)。

特別地,當i=1時,Ni代表多細節(jié)結(jié)構(gòu)中第1條裂紋的萌生壽命,其概率密度函數(shù)為

(5)

對比式(5)與文獻[5]中串聯(lián)模型的結(jié)果,兩者相同?？梢?串聯(lián)模型是本文模型的一個特例。

2 多裂紋擴展分析的響應面法

裂紋擴展分析包含2部分工作,首先要準確計算出各裂紋尖端的應力強度因子變程,然后選擇恰當?shù)牧鸭y擴展速率模型,計算出裂紋擴展壽命。

2.1 多裂紋指定長度組合下的應力強度因子計算

由于多裂紋結(jié)構(gòu)中含有多條裂紋,其幾何邊界條件比較復雜,采用解析法求解應力強度因子會遇到相當大的困難,本文采用有限元法,借助有限元軟件ABAQUS進行求解。

指定多裂紋結(jié)構(gòu)中各條裂紋的長度后,可按該長度建立含裂紋的有限元模型。有限元網(wǎng)格劃分時,需在裂尖周圍布置奇異元,示例見圖1。經(jīng)有限元計算后,可得到各條裂紋應力強度因子值。

圖1 含多裂紋有限元模型示意圖

2.2 多裂紋任意長度組合下的應力強度因子計算

多裂紋結(jié)構(gòu)含有多條裂紋,每條裂紋都有其長度,2.1節(jié)講述了多裂紋指定長度組合下求解裂尖應力強度因子的過程。在裂紋擴展過程中,每條裂紋的長度都是不斷變化的,裂紋長度組合有很多種,需要求解很多次應力強度因子。這種情況下,如果每次都通過建立有限元模型來計算應力強度因子,其計算量是巨大的,不便于實施。

(6)

式中:

i′是面Ⅰ4個角點映射到等參坐標系后的新序號,見圖2(b),原序號用括號中數(shù)字表示;Ki′是4個角點所對應裂紋長度組合下的應力強度因子值。

2.3 裂紋擴展計算

裂紋擴展分析采用循環(huán)接循環(huán)法,步驟如下：

步驟1根據(jù)1.2節(jié)的裂紋萌生壽命分析結(jié)果,在第1條裂紋萌生時,于結(jié)構(gòu)上設置a0=0.5 mm 長的一條裂紋。

步驟2按2.2節(jié)的分析方法,計算裂紋長度為ai時(i=0,1,2,…,代表載荷步),各條裂紋的應力強度因子變程ΔKi：

ΔKi=Kmax(1-R)

式中：Kmax為最大應力強度因子,對應最大載荷;R為應力比。

步驟3按設置的載荷循環(huán)間隔ΔN=1計算各裂紋擴展量Δai,計算采用Paris公式[18]：

式中:C為Paris公式中材料性能系數(shù)。

步驟4計算新的裂紋長度ai+1=ai+Δai,載荷步增加ΔN=1,并返回步驟2進行循環(huán)計算。

執(zhí)行步驟4后,如果裂紋長度達到結(jié)構(gòu)失效臨界長度,計算終止；如果到達后續(xù)裂紋萌生時間,于結(jié)構(gòu)上增加一條新的初始長度為0.5 mm的裂紋,繼續(xù)步驟2進行。

整個計算流程如圖3所示。

3 多裂紋結(jié)構(gòu)失效分析

本文采用亞臨界條件來判斷結(jié)構(gòu)是否失效。對多部位損傷問題,認為結(jié)構(gòu)上萌生的首條裂紋與第2條裂紋的位置相鄰,裂紋發(fā)生首次連通時,結(jié)構(gòu)失效。這樣做是保守的,并且不會給全壽命帶來很大程度的減少。

判斷是否連通采用韌帶屈服連通準則,認為當2個裂紋尖端塑性區(qū)剛好發(fā)生接觸時,原先的2條裂紋合并成一條長的裂紋。假設第1條裂紋長度為a1,塑性區(qū)長度為rp1,第2條裂紋長度為a2,塑性區(qū)長度為rp2,孔半徑為r,孔間距為S,各幾何量示意見圖4。當式(7)成立時,裂紋連通。

圖4 韌帶屈服連通示意圖

a1+a2+rp1+rp2=S-2r

(7)

塑性區(qū)長度計算采用Irwin塑性區(qū)模型[19]：

(8)

式中:σys為屈服應力。

4 單細節(jié)與多細節(jié)帶孔板裂紋萌生擴展試驗

為了驗證本文所提出分析模型的正確性,分別進行了單細節(jié)帶孔板與多細節(jié)帶孔板的裂紋萌生擴展試驗。

4.1 單細節(jié)帶孔板裂紋萌生試驗

4.1.1 試驗情況

試驗件和試驗相關(guān)情況詳見文獻[20],采用液壓平板夾具夾持,夾持距離為30 mm,夾頭間試樣有效長度為120 mm,約為試樣寬度5倍,能保證載荷均勻傳遞到試驗件,可認為夾持端對孔邊裂紋萌生無影響。對每個試樣,根據(jù)預估壽命,每隔100 0～20 000個循環(huán),利用觀測設備觀察試樣是否出現(xiàn)裂紋。如果沒有裂紋,繼續(xù)進行試驗；如果出現(xiàn)裂紋,則記錄裂紋的長度和循環(huán)次數(shù),后繼觀測的間隔循環(huán)數(shù)要逐漸減小,直至試樣破壞。由記錄數(shù)據(jù)得到試樣的裂紋萌生壽命和疲勞總壽命。采用正弦波加載,最大應力水平Smax取100 MPa,應力比取R=0.06。

4.1.2 試驗結(jié)果

裂紋萌生階段,貫穿孔前后面的裂紋長度往往不等,以其中較大值達到0.5 mm時的載荷循環(huán)次數(shù)作為裂紋萌生壽命[21-22],單細節(jié)試驗件在Smax=100 MPa下的裂紋萌生壽命值見表1。

表1 單細節(jié)試件裂紋萌生壽命

4.2 多細節(jié)帶孔板裂紋萌生擴展試驗

4.2.1 試驗情況

試驗件和試驗相關(guān)情況詳見文獻[20],采用液壓平板夾具夾持,夾持距離為50 mm,3種試樣夾頭間有效長度分別為280、500和630 mm,由于11細節(jié)和21細節(jié)試樣寬于試驗機標配平板夾塊,采用輔助平板夾具進行軸向加載,見文獻[20]圖18,能保證載荷均勻傳遞到試驗件,可認為夾持端對孔邊裂紋萌生無影響。對每個試樣,根據(jù)預估壽命,每隔10 000個循環(huán),利用觀測設備觀察試樣是否出現(xiàn)裂紋：如果沒有裂紋,繼續(xù)進行試驗；如果出現(xiàn)裂紋,則記錄裂紋長度和載荷循環(huán)次數(shù),后續(xù)觀測的間隔循環(huán)數(shù)逐漸減小,直到裂紋擴展進入失穩(wěn)擴展階段,停止試驗。由記錄數(shù)據(jù)得到試樣各條裂紋的萌生和擴展壽命。采用正弦波加載,最大應力水平取Smax=100 MPa,應力比取R=0.06。

4.2.2 試驗結(jié)果

5細節(jié)試驗件的第1、第2條裂紋萌生和首次連通壽命值見表2,11細節(jié)試驗件的第1、第2、第3條裂紋萌生和首次連通壽命值見表3,21細節(jié)試驗件的第1、第2、第3、第4條裂紋萌生和首次連通壽命值見表4。

表2 5細節(jié)試件裂紋萌生壽命和首次連通壽命

表3 11細節(jié)試件裂紋萌生壽命和首次連通壽命

表4 21細節(jié)試件裂紋萌生壽命和首次連通壽命

5 數(shù)據(jù)分析

5.1 裂紋萌生壽命分析

對單細節(jié)帶孔板裂紋萌生壽命試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析,得到其概率分布,再應用本文分析模型預測多細節(jié)帶孔板各條裂紋的萌生壽命,并與試驗結(jié)果進行對比。

采用最大似然法[23]對裂紋萌生壽命數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理,參數(shù)估計的極大似然估計方程為

(9)

(10)

式中：ti是各試件的壽命值。先用數(shù)值迭代解法通過式(9)解出α值,再由式(10)求出β值。

對單細節(jié)帶孔板裂紋萌生壽命數(shù)據(jù)進行處理,得到α=3.99,β=189 218。所以,單細節(jié)裂紋萌生壽命的概率密度函數(shù)為

(11)

概率分布函數(shù)為

(12)

將式(11)和(12)代入式(3),預測得到第i條裂紋萌生壽命Ni的概率密度函數(shù),繼而由式(4)得到Ni的概率分布函數(shù),再由概率分布函數(shù)得到可靠度為36.8%時的壽命。

采用同樣的統(tǒng)計方法對多細節(jié)帶孔板裂紋萌生壽命的試驗值進行處理,得到α和β值,β值即是36.8%可靠度的壽命,結(jié)果見表5。

36.8%可靠度壽命的預測值Npre與試驗值Nexp的對比見表5和圖5。為說明本文模型與以往裂紋萌生壽命分析模型的差異,在表5中也給出了文獻[5～6]的預測結(jié)果,可見,3種模型的第1條裂紋萌生壽命預測值幾乎一致,但文獻[6]中的模型無法預測后續(xù)裂紋(第2條及以后)的萌生壽命,文獻[5]中的模型對后續(xù)裂紋萌生壽命的預測過于保守。

從表5可見,本文模型預測值與試驗值很接近,由圖5也可以看出,預測壽命均落在試驗壽命2倍分散帶范圍內(nèi),除21細節(jié)第1條裂紋萌生壽命預測值略大于試驗值以外,其他預測值均偏保守,預測效果良好。

表5 裂紋萌生壽命預測值與試驗值

圖5 裂紋萌生壽命預測值與試驗值對比

5.2 裂紋擴展壽命分析

5.2.1 5細節(jié)孔板應力強度因子響應面構(gòu)造

由于保守假定結(jié)構(gòu)上萌生的頭兩條裂紋位置相鄰,且采用首次裂紋連通作為結(jié)構(gòu)失效準則,因此,只需考慮同時存在兩條裂紋的情況。

為構(gòu)造響應面,先采用均勻設計法進行試驗設計,確定若干裂紋長度組合作為樣本點。再建立這些樣本裂紋長度組合下的有限元模型,為使建模過程自動化,本文采用Python語言編寫參數(shù)化建模程序。建模完成后,按2.1節(jié)方法計算兩條裂紋尖端的應力強度因子值。

5細節(jié)孔板2條裂紋在試驗設計樣本點下的應力強度因子計算值分別見表6和表7,K1代表第1條裂紋的應力強度因子,a1代表第1條裂紋的長度,K2代表第2條裂紋的應力強度因子,a2代表第2條裂紋的長度。

表6 5細節(jié)孔板2條裂紋長度組合樣本下第1條裂紋的應力強度因子值K1

表7 5細節(jié)孔板2條裂紋長度組合樣本下第2條裂紋的應力強度因子值K2

用線性模型對這些樣本點進行近似擬合,建立兩條裂紋裂尖應力強度因子的響應面,分別見圖6和圖7。

圖7 5細節(jié)孔板第2條裂紋裂尖應力強度因子K2響應面

為表明響應面法計算多裂紋應力強度因子的可行性,利用上文所建響應面計算了一系列裂紋長度組合下的裂尖應力強度因子值,并與ABAQUS計算結(jié)果進行了對比,見表8,可見響應面法計算誤差很小,且計算花費時間大幅縮短。

表8 響應面法與常規(guī)有限元法多裂紋應力強度因子計算結(jié)果和計算效率對比

5.2.2 5細節(jié)孔板裂紋擴展計算

按2.3節(jié)的循環(huán)接循環(huán)方式計算裂紋擴展。以5細節(jié)試件3-1為例,循環(huán)載荷施加到121 241 次時,在第2個孔(從左向右數(shù))的左側(cè)萌生第1條裂紋,此時將第1條裂紋長度設置成0.5 mm,開始裂紋擴展計算。首先應用響應面模型,計算應力強度因子變程。再計算1個載荷循環(huán)下的裂紋擴展量,計算時材料常數(shù)取自試驗數(shù)據(jù),C=6.74×10-8,n=2.85,按裂紋擴展量更新裂紋長度。循環(huán)計算,直至190 389次循環(huán)時,在第1個孔的右側(cè)萌生第2條裂紋(注：結(jié)構(gòu)中實際第2條裂紋萌生在第4個孔的左側(cè),由于與第1條裂紋的位置不相鄰,在不影響裂紋擴展分析模型驗證的情況下,這里選擇后續(xù)萌生的位置相鄰裂紋作為第2條裂紋進行計算),此時將第2條裂紋長度設置為0.5 mm。再繼續(xù)進行循環(huán)計算。當2條裂紋的塑性區(qū)發(fā)生連通時,計算終止。裂紋擴展試驗數(shù)據(jù)見表9,裂紋擴展預測曲線與試驗數(shù)據(jù)的對比見圖8。

圖8 試件裂紋擴展預測曲線與試驗數(shù)據(jù)對比

表9 試件3-1裂紋擴展試驗數(shù)據(jù)

11細節(jié)和21細節(jié)試件的裂紋擴展預測曲線和試驗數(shù)據(jù)也符合較好,具體計算過程在此不再贅述。說明本文提出的裂紋擴展壽命分析方法滿足工程計算準確度要求。

5.3 全壽命分析

帶孔板裂紋萌生擴展問題是多部位損傷問題,進行失效分析時,保守認為結(jié)構(gòu)上萌生的首條裂紋與第2條裂紋的位置相鄰,當它們發(fā)生首次連通時,結(jié)構(gòu)失效。

根據(jù)5.1節(jié)裂紋萌生壽命預測結(jié)果,見表5,在第1條裂紋萌生預測時間點(36.8%可靠度壽命),于裂紋擴展計算模型中設置第1條裂紋。按2.3節(jié)的循環(huán)接循環(huán)方式計算第1條裂紋的擴展。在第2條裂紋萌生預測時間點(36.8%可靠度壽命),設置第2條裂紋。同時進行2條裂紋擴展的計算。當裂紋連通時,終止計算。分別得到了5細節(jié)、11細節(jié)和21細節(jié)孔板裂紋首次連通時間的預測值,也是36.8%可靠度壽命,它們與試驗值的對比見表10?？梢婎A測值均非常接近試驗值,且偏小,是保守的。證明本文的多部位損傷全壽命分析模型的預測效果令人滿意。

表10 裂紋連通壽命預測值與試驗值對比

6 結(jié) 論

通過多部位損傷全壽命分析模型的建立過程,以及預測值與試驗值的對比,可以得到以下結(jié)論：

1)對多裂紋萌生問題,從多裂紋萌生的物理機制出發(fā),提出了解析的求解方法,不僅能給出首條裂紋萌生壽命的概率分布函數(shù),也能給出之后依次出現(xiàn)的各條裂紋萌生壽命的概率分布函數(shù)。對比預測值與試驗值可見,本文分析模型預測精度高,且偏于保守,滿足工程應用要求。

2)對多裂紋擴展問題,通過引入響應面,提出了多裂紋任意長度組合下的應力強度因子計算方法。結(jié)合裂紋萌生壽命分析結(jié)果,給出了裂紋擴展壽命計算的循環(huán)接循環(huán)計算方法。不同細節(jié)數(shù)帶孔板的裂紋擴展預測曲線和試驗數(shù)據(jù)的趨勢基本一致,符合較好。說明本文提出的多裂紋擴展壽命分析方法滿足工程計算準確度要求。

3)采用亞臨界條件來判斷結(jié)構(gòu)是否失效。對多部位損傷問題,認為結(jié)構(gòu)上萌生的首條裂紋與第2條裂紋的位置相鄰,裂紋發(fā)生首次連通時,結(jié)構(gòu)失效。

4)多裂紋萌生分析、多裂紋擴展分析和多裂紋結(jié)構(gòu)失效準則共同形成了多部位損傷全壽命分析模型,算例表明整個模型的預測結(jié)果滿足工程計算要求。