何峰　任天嬌　楊松　趙娜　李春林

摘 ?要：文章按照國家建設(shè)“金課”要求，基于吳家龍教授編著的彈性力學(xué)教材內(nèi)容和課程“三難”特點(diǎn)，以應(yīng)力狀態(tài)理論部分常見題型求解任意微分斜面應(yīng)力矢量、正應(yīng)力、切應(yīng)力、主應(yīng)力和應(yīng)力主方向及最大切應(yīng)力為例，分別應(yīng)用Maple編制程序，再現(xiàn)彈性力學(xué)求解思維，解決學(xué)生數(shù)理求解難題;應(yīng)用Matlab-GUI模塊編制應(yīng)力狀態(tài)理論求解器，把繁瑣抽象的力學(xué)公式和微分斜面結(jié)果進(jìn)行圖形可視化，使學(xué)生的抽象思維和力學(xué)思維得到兼容;通過彈性力學(xué)“金課”建設(shè)實(shí)踐，可為學(xué)生力學(xué)學(xué)習(xí)及力學(xué)同行教學(xué)提供借鑒。

關(guān)鍵詞：彈性力學(xué);“金課”建設(shè);“三難”問題;應(yīng)力狀態(tài)求解器;微分斜面

中圖分類號：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）04-0077-04

Abstract： According to the requirements of construction of "golden course"， based on the contents of the Elasticity compiled by Wu Jialong， and the "trilemma" characteristics of the course， this research takes the common questions in the stress state theory as an example. The problems of the stress vector， normal stress， shear stress， principal stress， principal direction of applied force and maximum shear stress of any differential inclined plane are solved. The application of Maple programming to reproduce the elastic mechanics solution thinking is to solve the mathematical problems of students. Matlab-GUI module is used to compile the stress state theory solver， the complex abstract mechanical formula and differential slope results for graphic visualization， so that the students' abstract thinking and mechanical thinking is compatible. Through the construction practice of "golden course" of elasticity mechanics， it can provide reference for students' mechanics learning and mechanics teaching.

Keywords： Elasticity; construction of "golden course"; "Trilemma" problem; stress state solver; differential bevel

引言

金課建設(shè)是指教育部實(shí)施的一流課程建設(shè)?！傲吭揭话渭狻庇?jì)劃2.0實(shí)施一流課程建設(shè)“雙萬計(jì)劃”，即建設(shè)10000門左右國家級一流課程和10000門左右省級一流課程，包括具有高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度的線上、線下、線上線下混合式、虛擬仿真和社會實(shí)踐各類型課程[1]。彈性力學(xué)課程是普通高校力學(xué)類、土木類等理工科本科專業(yè)核心課，是從力學(xué)基本理論過渡到工程實(shí)際應(yīng)用的橋梁;具有教師難教、學(xué)生難學(xué)、工程思維和力學(xué)思維難兼容的“三難”課程特點(diǎn)。基于課程重要性和特點(diǎn)，眾多學(xué)者進(jìn)行了彈性力學(xué)教學(xué)改革，如張偉偉[2]等提出了彈性力學(xué)三段式教學(xué)方法，即圍繞每一知識點(diǎn)，按照工程背景、數(shù)理基礎(chǔ)、力學(xué)原理進(jìn)行劃分，在教學(xué)實(shí)施中遵循先工程，后數(shù)理，再力學(xué)的講解順序。潘東輝等[3]將MATLAB/PDE工具箱引入彈性力學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)彈性力學(xué)的可視化教學(xué)。劉楊[4]等提出了“互聯(lián)網(wǎng)+項(xiàng)目指派”式教學(xué)模式在《彈性力學(xué)及有限單元法》的教學(xué)中的實(shí)踐方式和考核辦法。陳小亮[5]等利用

Maple軟件探索了彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)逆解法的計(jì)算機(jī)求解規(guī)范流程。盧小雨[6]等利用Maple來求解彈性力學(xué)中的一些具體問題。邢靜忠[7]等將Maple引入力學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具的習(xí)慣和能力，強(qiáng)化算法設(shè)計(jì)和程序的通用性和靈活性，為處理復(fù)雜問題提供幫助。丁洲祥[8]詳細(xì)介紹了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple在土力學(xué)與基礎(chǔ)工程研究型教學(xué)中的具體應(yīng)用。

論文按照國家建設(shè)“金課”要求，基于吳家龍教授編著的彈性力學(xué)教材內(nèi)容和課程特點(diǎn)，以應(yīng)力狀態(tài)理論部分的求解斜面應(yīng)力分量及主應(yīng)力和最大切應(yīng)力為例，綜合應(yīng)用Maple符號計(jì)算系統(tǒng)及Matlab-GUI模塊，通過編制程序把繁瑣抽象的力學(xué)公式結(jié)果進(jìn)行了圖形可視化，力求突破“三難”瓶頸，提升學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)興趣。

一、應(yīng)力狀態(tài)理論[9]

彈性力學(xué)的研究對象為三維彈性體，由于滿足連續(xù)性和均勻性假設(shè)，因此從微分單元體分析入手，確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。研究思路是首先確定應(yīng)力狀態(tài)描述方法，包括應(yīng)力矢量定義及其分解為正應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力坐標(biāo)軸分量，應(yīng)力張量表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài);其次從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，建立平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件;任意截面的應(yīng)力分量確定-轉(zhuǎn)軸公式;一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定：主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力。該部分教學(xué)中學(xué)生和老師常見問題有，如何直觀體現(xiàn)已知方向余弦、如何確定應(yīng)力主方向、最大切應(yīng)力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦，同時(shí)可視化微分斜面。

二、應(yīng)力狀態(tài)理論常見題型

已知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：

求：通過該點(diǎn)平面為x+y+3z=1的微面上沿x、y與z軸的應(yīng)力分量、總應(yīng)力、正應(yīng)力、剪應(yīng)力和主應(yīng)力、應(yīng)力主方向和最大切應(yīng)力。

（一）Maple符號計(jì)算系統(tǒng)求解程序

1. 據(jù)應(yīng)力張量確定應(yīng)力分量：

2. 顯示三元一次函數(shù)的微分面如圖1所示：

3. 求斜面沿著坐標(biāo)軸的應(yīng)力分量：

4. 求該微分斜面的應(yīng)力矢量、正應(yīng)力和切應(yīng)力：

5. 主應(yīng)力和最大切應(yīng)力及應(yīng)力主方向：

（a）算例微分斜面

（b）最大主應(yīng)力微分斜面

（c）最大切應(yīng)力微分斜面

圖1 Maple微分斜面圖

（二）Matlab-GUI模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器

編制基于Matlab-GUI模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器，程序流程如圖2所示;通過該求解器如圖3所示可顯示應(yīng)力狀態(tài)圖和微分斜面;通常遇到題型有兩種：一種題型為給出方向余弦可求出三元一次方程系數(shù)進(jìn)而顯示微分面方程和斜面圖;另一種題型若直接給出三元一次方程及系數(shù)也可求出方向余弦和顯示微分斜面;同時(shí)可求出三個主應(yīng)力及主方向和最大切應(yīng)力及方向余弦，可把主方向拷貝到方向余弦處，再重復(fù)第一種題型情況如圖4和圖5所示，分別顯示主平面和最大切應(yīng)力平面，驗(yàn)證主應(yīng)力所處面切應(yīng)力是為零，應(yīng)力矢量和正應(yīng)力相等;取得最大切應(yīng)力微面，正應(yīng)力不一定為零等結(jié)論。

三、結(jié)論

文章按照國家建設(shè)“金課”要求，結(jié)合彈性力學(xué)課程特點(diǎn)，力求突破“三難”瓶頸;以彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論常見題型為例，分別應(yīng)用Maple強(qiáng)大的符號計(jì)算系統(tǒng)，通過編制程序過程，體現(xiàn)彈性力學(xué)中數(shù)理求解思路，也同時(shí)簡化了繁雜的計(jì)算過程，提高了學(xué)生的編程和求解能力;同時(shí)利用于Matlab-GUI模塊編制應(yīng)力狀態(tài)理論求解器，形象直觀再現(xiàn)計(jì)算結(jié)果，使得數(shù)學(xué)力學(xué)公式可視化，學(xué)生的抽象思維和具象思維達(dá)到兼容。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部發(fā)力本科建設(shè)打造“金專”“金課”.中華人民共和國教育部網(wǎng)[EB/OL].[2019-05-02].

[2]張偉偉，田錦邦.彈性力學(xué)的三段式教學(xué)方法[J].力學(xué)與實(shí)踐，2017（2）：191-195.

[3]潘東輝，馬崇武.MATLAB/PDE在彈性力學(xué)可視化教學(xué)中的應(yīng)用[J].力學(xué)與實(shí)踐，2014，36（04）：500-504.

[4]劉楊，孟慶宇.“互聯(lián)網(wǎng)+項(xiàng)目指派”式教學(xué)模式在《彈性力學(xué)及有限單元法》教學(xué)中的應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2018，35（S2）：137-139.

[5]陳小亮，鄭恒偉，丁劍平.彈性力學(xué)應(yīng)力場解答的數(shù)學(xué)美感探討[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2017（22）：103-104.

[6]盧小雨，董春亮，經(jīng)來旺.Maple在彈性力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].大眾科技，2013，15（09）：104-105+88.

[7]邢靜忠.代數(shù)系統(tǒng)Maple在力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討[J].力學(xué)與實(shí)踐，2010，32（04）：96-101.

[8]丁洲祥，李濤，白冰，等.MAPLE在土力學(xué)與基礎(chǔ)工程研究型教學(xué)中的應(yīng)用[J].力學(xué)與實(shí)踐，2013，35（06）：87-89.

[9]吳家龍.彈性力學(xué)（第3版）[M].北京：高等教育出版社， 2016：7-25.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金“高應(yīng)力狀態(tài)下煤柱松弛時(shí)效性研究”（編號：51774167）;校級金課建設(shè)項(xiàng)目“遼寧工程技術(shù)大學(xué)‘金課建設(shè)項(xiàng)目”（編號：2019030）

作者簡介：何峰（1978-），男，漢族，山西洪洞人，博士，副教授，工程力學(xué)系主任，研究方向：力學(xué)教學(xué)及巖土工程。

通訊作者：任天嬌（1997-），女，漢族，遼寧本溪人，碩士在讀，研究方向：近場動力學(xué)。