喬鬧生，孫 萍

（1. 湖南文理學(xué)院 國(guó)際學(xué)院，湖南 常德 415000；2. 湖南省洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟(jì)區(qū)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 常德 415000；3. 湖南文理學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖南 常德 415000；4. 成都信息工程大學(xué) 光電工程學(xué)院，四川 成都 610225；5. 電子科技大學(xué) 電子薄膜與集成器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 6100054）

1 引 言

三維面形測(cè)量系統(tǒng)具有非接觸、高精度、快速、自動(dòng)化等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)械零件的在線質(zhì)量檢測(cè)、服裝制作、醫(yī)學(xué)診斷等領(lǐng)域[1-6]，已在國(guó)內(nèi)外取得了較多的研究成果[7-13]。但在測(cè)量過程中，CCD非線性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致頻譜混疊，從而影響三維面形的測(cè)量精度，在這方面不少學(xué)者開展了大量研究[14-19]。如杜永兆等[6]分析了CCD非線性效應(yīng)導(dǎo)致頻譜混疊的原因，提出了消除頻譜混疊的方法。于杰[7]提出了一種用于相移點(diǎn)衍射干涉儀的加權(quán)最小二乘相位提取算法，完全避免了CCD的二階響應(yīng)非線性。蘇軻等[8]采用最佳的加權(quán)濾波窗口減弱了CCD非線性引起的頻譜混疊對(duì)測(cè)量的影響。

雙頻光柵投影的復(fù)雜物體三維面形測(cè)量應(yīng)用廣泛，研究意義重大[9-12]。如FU Y等[9]采用計(jì)算機(jī)編制雙頻光柵程序投射到測(cè)量對(duì)象上，經(jīng)拼接得到目標(biāo)圖像，設(shè)計(jì)濾波器對(duì)高頻和低頻進(jìn)行濾波，在低頻相位差的基礎(chǔ)上，計(jì)算出高頻相位差，實(shí)現(xiàn)了三維輪廓測(cè)量。武迎春等[10]提出了一種包含兩個(gè)調(diào)制頻率的復(fù)合光柵投影方法，利用低頻指導(dǎo)高頻進(jìn)行相位展開提高解相精度，降低了相鄰載波通道中交流分量之間的傅立葉頻譜重疊度。PENG K等[11]提出將雙頻光柵用于在線三維測(cè)量，在相位計(jì)算中避免了濾波過程中的有效信息損失，將被測(cè)物體的整個(gè)調(diào)制方式與像素匹配，提高了三維重建精度。ERYI H等[12]通過獲取兩幅圖像中物體表面同一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖像強(qiáng)度，采用雙頻技術(shù)提取出無(wú)相位模糊的真實(shí)相位，對(duì)大臺(tái)階試樣的表面形貌進(jìn)行了測(cè)量，取得了較好的實(shí)驗(yàn)效果。

由于是用等效波長(zhǎng)來衡量三維面形測(cè)量精度的[1]，為了減小雙頻光柵三維測(cè)量中由于CCD非線性效應(yīng)導(dǎo)致頻譜混疊而影響測(cè)量精度，本文通過增大雙頻光柵的頻率。

針對(duì)CCD非線性效應(yīng)對(duì)雙頻光柵三維測(cè)量的影響，本文分析了CCD非線性效應(yīng)產(chǎn)生頻譜混疊的原因，討論了CCD非線性效應(yīng)下的雙頻光柵測(cè)量原理，對(duì)雙頻光柵投影輸出的變形條紋進(jìn)行了仿真與實(shí)際實(shí)驗(yàn)測(cè)量，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到的數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提方法的正確性與有效性。

2 基本原理

2.1 CCD非線性效應(yīng)對(duì)三維面形測(cè)量的影響

三維面形測(cè)量系統(tǒng)光路圖如圖1所示，P1P2是投影儀光軸，L0是CCD光心I2與參考平面之間的距離，d是CCD光心I2與投影儀光心P2之間的距離，A和C是參考平面上的兩點(diǎn)，D是物體表面上某點(diǎn)，h是點(diǎn)D到參考平面間的距離。

圖1 測(cè)量系統(tǒng)光路圖Fig. 1 Optical path of measurement system

設(shè)? (x,y)表 示包含被測(cè)物體高度信息h(x,y)的相位。對(duì)于圖1所示的測(cè)量系統(tǒng)，當(dāng)L0?h(x,y)時(shí)，h(x,y) 與 ?(x,y)之間的關(guān)系可簡(jiǎn)單地表示為[1]：

式中f0為光柵基頻。

由式（1）可見，三維物體面形的高度信息h(x,y) 可通過相位? (x,y)求出。

在實(shí)際工作中，現(xiàn)在的CCD精度很高，CCD輸出光強(qiáng)與輸入光強(qiáng)之間存在的二階與三階非線性效應(yīng)是影響測(cè)量精度的主要因素，其他的四階和五階等高階非線性效應(yīng)對(duì)測(cè)量精度的影響非常小，可以忽略不計(jì)。CCD輸出的干涉條紋光強(qiáng)為：

式中g(shù)0(x,y) 為輸入的歸一化光強(qiáng)度條紋,g(x,y)為實(shí)際捕獲的歸一化光強(qiáng)分布，eλ為系數(shù)。

對(duì)式（2）進(jìn)行傅立葉變換可得頻譜為：

由式（3）可見，當(dāng)CCD存在著非線性效應(yīng)時(shí)，頻譜上多出了二倍頻、三倍頻等高級(jí)頻譜成份。因此在相位恢復(fù)過程中，二級(jí)與三級(jí)等高級(jí)頻譜分量可能會(huì)與包含物體高度信息的基頻分量發(fā)生混疊，從而影響基頻分量信息的提取，最終影響相位恢復(fù)及物體高度信息的三維測(cè)量。

2.2 CCD非線性效應(yīng)影響下的雙頻光柵測(cè)量原理

復(fù)雜物體三維面形測(cè)量方法中，所采用的雙頻光柵測(cè)量集中了低頻光柵和高頻光柵各自的優(yōu)點(diǎn)。投影低頻光柵產(chǎn)生條紋得到的包裹相位為φ1(x,y)， 其展開相位 ?1(x,y)相對(duì)容易展開，但精度較低。投影高頻光柵產(chǎn)生條紋得到的包裹相位為φ2(x,y)， 其展開相位 ?2(x,y)相對(duì)較難展開，但精度較高。

在CCD存在著二階與三階非線性效應(yīng)情況下，投影雙頻光柵產(chǎn)生的變形條紋的光強(qiáng)分布為：

對(duì)式（4）進(jìn)行傅立葉變換可得頻譜為：

式（5）中當(dāng)k=1時(shí) ，fk表示低頻光柵的基頻，當(dāng)k=2時(shí)，表示高頻光柵的基頻（以下同），背景光強(qiáng)產(chǎn)生的系列頻譜能夠通過相移技術(shù)消 除[13], 其 中Qkλ(fx?λfk,fy?λfk)和Q?kλ(fx+λfk,fy+λfk)分 別 是和c?kλ(x,y)exp[?i2πλfk(x+y)經(jīng)過傅立葉變換后得到的系列頻譜。

由式（5）可見，投影雙頻光柵產(chǎn)生的變形條紋經(jīng)傅立葉變換后，頻譜中除了產(chǎn)生基頻外，還會(huì)產(chǎn)生二階、三階等高階非線性引起的高級(jí)頻譜成份，這些高級(jí)頻譜成份可能會(huì)與基頻發(fā)生混疊，從而影響基頻中包含物體高度信息的提取，使測(cè)量精度降低。

由于CCD非線性效應(yīng)導(dǎo)致雙頻光柵測(cè)量中基頻與高級(jí)頻譜發(fā)生混疊，減小混疊使各級(jí)頻譜相互分離可以提高測(cè)量精度。測(cè)量精度是由等效波長(zhǎng)來衡量的，等效波長(zhǎng)由L0/d與fk來決定[1]。它們之間有以下關(guān)系：

式中L0/d與fk的比值越小則測(cè)量精度越大，而降低L0/d會(huì)影響測(cè)量范圍[1]。因而，在理想情況下保持L0/d不變，在保證CCD分辨率的前提下，通過增大光柵的基頻fk來增大測(cè)量精度，測(cè)量精度增大了也就意味著基頻與高級(jí)頻譜間的混疊減小了，這樣也就減小或消除了CCD的非線性效應(yīng)。

根據(jù)式（1），在使用雙頻光柵投影測(cè)量三維物體面形時(shí)，對(duì)于高度為h(x,y)的物體上的某點(diǎn)，可得到如下關(guān)系：

由式（7）可得

由于只考慮了來自低頻光柵與高頻光柵的基頻。選擇適合的雙頻光柵基頻f1和f2，采用低通濾波器對(duì)消除了頻譜混疊的式（5）中的頻譜進(jìn)行濾波，濾出雙頻光柵產(chǎn)生的基頻成份Q11(fx?f1,fy?f1)和Q21(fx?f2,fy?f2)， 可得到展開相位?1(x,y)與 ?2(x,y)。 展開相位 ?k(x,y)與 包裹相位 φk(x,y)之間的關(guān)系為：

式中n1(x,y) 和n2(x,y)分別為低頻光柵和高頻光柵產(chǎn)生的條紋整數(shù)級(jí)數(shù)。對(duì)于物體的同一點(diǎn)，存在如下關(guān)系：

聯(lián)合式（7）～式（10）可得

式中(INT){·}表示整數(shù)運(yùn)算符，可以準(zhǔn)確地確定與較高頻率相關(guān)的展開相位?2(x,y)。

可 見，n2(x,y) 能 夠 由mf、n1(x,y) 、 φ1(x,y)及φ2(x,y)確 定，代入式（9）可得到 ?2(x,y)，最后可由式（7）得到包含物體高度信息的三維物體面形。

3 計(jì)算機(jī)仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證基本原理分析的正確性，現(xiàn)用計(jì)算機(jī)仿真與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果及分析

設(shè)測(cè)量系統(tǒng)的幾何參數(shù)為L(zhǎng)0/d=4，低頻光柵的頻率為， 高頻光柵的頻率為=1/9mm?1， 則模擬物體如圖2(a)所示，大小為512pixel×512pixel。設(shè)CCD為線性且存在著非線性效應(yīng)，投影雙頻光柵產(chǎn)生的變形條紋光強(qiáng)分布為：g1(x,y)=g(x,y)、g2(x,y)=0.18+1.32g(x,y)?0.42g2(x,y)。兩種情況下的變形條紋光強(qiáng)經(jīng)傅立葉變換后得到的沿著x軸方向的頻譜分布分別如圖2(b)、2(c)所示。

圖2 模擬物體及沿著x軸方向頻譜分布Fig. 2 Simulation object and spectrum distributions along x axis

可見，圖2(b)中只有低頻光柵與高頻光柵各自產(chǎn)生的基頻，而圖2(c)中因CCD的非線性效應(yīng)的存在，還含有低頻光柵與高頻光柵各自產(chǎn)生的高階頻譜成份，且與基頻等頻譜發(fā)生了混疊。

設(shè)測(cè)量系統(tǒng)的幾何參數(shù)為L(zhǎng)0/d=2.25，低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為=1/32mm?1、=1/8mm?1，來自理想CCD系統(tǒng)的變形條紋光強(qiáng)為g(x,y)=0.5+0.5[cos(2πf1x+φ(x,y))+cos(2πf2x+φ(x,y))]，來自存在非線性效應(yīng)系統(tǒng)輸出的變形條紋光強(qiáng)為g1(x,y)=0.15?0.13g(x,y)+2.34g2(x,y)。

模擬物體如圖3(a)所示，其高度的最大絕對(duì)值與平均絕對(duì)值分別為24.318 1 mm和1.083 9 mm；通過雙頻光柵后的變形條紋光強(qiáng)如圖3(b)所示；變形條紋光強(qiáng)經(jīng)傅立葉變換后得到的沿著x軸方向頻譜如圖3(d)所示；恢復(fù)物體面形后的絕對(duì)高度差如圖3(f)所示，測(cè)量值與實(shí)際值之間的最大絕對(duì)高度誤差與平均絕對(duì)高度誤差分別為0.895 0 mm和0.062 2 mm。

保持系統(tǒng)的測(cè)量參數(shù)不變，使低頻光柵與高頻光柵的基頻分別增加為f1=1/16mm?1、f2=1/4mm?1，模擬物體通過雙頻光柵后的變形條紋、變形條紋光強(qiáng)經(jīng)傅立葉變換后得到沿著x軸方向的頻譜及絕對(duì)高度差分別如圖3(c)、3(e)、3(g)所示，測(cè)量值與實(shí)際值之間的最大絕對(duì)高度誤差與平均絕對(duì)高度誤差分別為0.371 0 mm和0.023 2 mm。

比較圖3(d)與3(e)可見，增大雙頻光柵各自的基頻，可以使雙頻光柵各自產(chǎn)生的基頻較好地分離，同時(shí)使同一光柵產(chǎn)生的基頻與高級(jí)頻譜較好地分離。比較圖3(f)與3(g)可見，增大雙頻光柵各自的基頻，可以明顯提高三維物體的測(cè)量精度。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步證明基本原理分析的正確性，采用如圖4所示的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。通過MATLAB軟件編寫程序得到低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為=1/40mm?1、=1/10mm?1，則其頻率比為mf=4。再由式(4)得到雙頻光柵的變形條紋光強(qiáng)，投影雙頻光柵條紋到被測(cè)物體表面。

圖3 系統(tǒng)存在非線性效應(yīng)時(shí)仿真結(jié)果圖Fig. 3 Simulation results when the system has nonlinearity effect

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig. 4 Schematic diagram of experimental setup

系統(tǒng)為非線性時(shí)，在滿足抽樣條件下，投影雙頻光柵條紋到被測(cè)物體上產(chǎn)生的變形條紋如圖5(a)所示，變形條紋經(jīng)傅立葉變換后所得到的頻譜如圖5(c)所示，恢復(fù)的三維物體面形如圖5(e)所示。再根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由MATLAB軟件編寫程序，得到提升的低頻光柵與高頻光柵的基頻分別為，因而使低頻光柵與高頻光柵的基頻都同等增加了2.5倍，此時(shí)得到新的雙頻光柵變形條紋、變形條紋經(jīng)傅立葉變換后的頻譜、恢復(fù)的三維物體面形分別如圖5(b)、5(d)、5(f)所示。

比較圖5(c)與5(d)可見，兩個(gè)圖的頻譜中除了低頻光柵與高頻光柵各自的包含物體高度信息的基頻成份外，還有由各自產(chǎn)生的二階、三階等高階非線性引起的高級(jí)頻譜成份，兩圖中的基頻都與各自的二級(jí)、三級(jí)等高級(jí)頻譜成份混疊了。但是圖5(c)的基頻與二級(jí)、三級(jí)等高級(jí)頻譜間混疊較多，而圖5(d)的基頻與各高級(jí)頻譜間分離較好且混疊很少。

比較圖5(e)與5(f)可見，圖5(f)的恢復(fù)效果明顯比圖5(e)的效果好很多。圖5(f)的額頭、下巴、鼻子、臉頰等輪廓表面都比圖5(e)的清晰且平滑，圖5(e)的額頭恢復(fù)效果較差，明顯多出一道溝壑。

圖5 系統(tǒng)為非線性情況時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖Fig. 5 Experimental results when the system has nonlinearity effect

4 結(jié) 論

為了減小CCD非線性效應(yīng)對(duì)復(fù)雜光學(xué)三維面形測(cè)量精度的影響，提出了采用雙頻光柵投影消除CCD非線性效應(yīng)并提高測(cè)量精度的方法。分析了CCD非線性效應(yīng)及高級(jí)頻譜成份產(chǎn)生的基本原因，討論了CCD非線性效應(yīng)下的雙頻光柵測(cè)量原理，并給出了理論分析和解析推導(dǎo)。仿真物體最大絕對(duì)值與平均絕對(duì)值分別為24.318 1 mm和1.083 9 mm，得到最大絕對(duì)高度誤差與平均絕對(duì)高度誤差分別為0.895 0 mm和0.062 2 mm，雙頻光柵基頻都提高后，兩個(gè)值分別減小為0.371 0 mm和0.023 2 mm。在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，當(dāng)雙頻光柵的基頻都同等增加2.5倍后，頻譜中的基頻與高級(jí)頻譜間分離較好，測(cè)量精度明顯提高。