馮介玲 祝好

（1 重慶市氣象科學研究所，重慶 401147；2 重慶市農(nóng)業(yè)氣象與衛(wèi)星遙感工程技術(shù)研究中心，重慶 401147）

0 引言

IPCC第五次評估報告提出，由氣候變化引起大多數(shù)地區(qū)強降水事件的發(fā)生頻率呈現(xiàn)增加趨勢，發(fā)生影響大和范圍廣的暴雨災害的可能性也會大幅度增加，嚴重地影響了人民的生命和財產(chǎn)安全以及社會的可持續(xù)發(fā)展。在全球變化的背景下，暴雨災害的發(fā)生過程更加復雜，暴雨事件通常包含多個方面的特征屬性，是多重指標綜合作用的結(jié)果，各個要素之間的相關性也趨于復雜，因此，通過單一要素的分析很難全面地反映暴雨特征，暴雨多要素綜合分析成為極端降水研究領域的熱點。

Copula函數(shù)具有變量不受邊緣分布形式限制，不基于線性假設等特點，能夠靈活地應用于多維變量的聯(lián)合特征分析中，在金融、保險行業(yè)應用成熟，而近年來也被廣泛地運用在氣象和水文等方面的研究中，但是在暴雨方面的研究相對較少。重現(xiàn)期是一個表征發(fā)生可能性的指標，一般是指在較長時期內(nèi)超過某強度閾值的事件發(fā)生的一個相對穩(wěn)定的周期，是描述災害等事件的一個重要參數(shù)。重現(xiàn)期可用于描述災害出現(xiàn)的嚴重程度和頻率，氣象或水文領域上常用“50年一遇”“百年一遇”等來表示。研究暴雨重現(xiàn)期對于城市工程的規(guī)劃設計以及防汛抗洪等都具有重要的參考意義。

本文以重慶萬州區(qū)暴雨事件為研究對象，利用Copula函數(shù)在構(gòu)建多維聯(lián)合分布中的優(yōu)勢，構(gòu)建二維聯(lián)合分布模型研究歷年暴雨多變量的概率分布和聯(lián)合重現(xiàn)期的變化，揭示多變量聯(lián)合下的暴雨特征，以期利用綜合指標分析提高暴雨重現(xiàn)期的評估精度，為減小暴雨災害頻率分析的不確定性，制定合理的防災減災決策以及提高風險管理水平提供科學依據(jù)。

1 資料與方法

1.1 資料選取

根據(jù)中國氣象局《降水量等級》標準，24 h內(nèi)，降雨量達到50 mm的降水定為暴雨。研究采用由重慶氣候監(jiān)測分析平臺提供的萬州區(qū)1967—2019年的歷年降水資料，參照國內(nèi)外學者研究暴雨特征的指標選取情況，統(tǒng)計提取出年暴雨量（

P

）、年暴雨強度（

I

）和年暴雨貢獻率（

R

）作為暴雨要素，從多角度反映暴雨的特征，相應暴雨要素的選擇及定義如表1所示。

表1 暴雨要素的選擇及定義Table 1 Selection and definition of rainstorm factors

1.2 研究方法

1.2.1 Copula函數(shù)的基本形式

在實際應用中，單參數(shù)的Copula函數(shù)由于靈活多變，計算簡單，應用最為廣泛。建立Copula函數(shù)模型時，需要采極大似然法和分步估計法對Copula函數(shù)的參數(shù)估計，三種常見的Copula函數(shù)的表達式及參數(shù)范圍見表2。其中

C

(

u

,

v

)為Copula函數(shù)，

u

和

v

分別為變量的邊緣分布函數(shù)，

θ

為Copula函數(shù)的參數(shù)。

通過計算擬合優(yōu)度評價指標RMSE，AIC，Bias和OLS值，可以對擬合的Copula函數(shù)模型進行優(yōu)度評價。

RMSE的表達式為：

表2 三種常見Copula函數(shù)Table 2 Definition of the three Copula functions

AIC的計算式如下：

Bias的表達式為：上述公式中，

n

是樣本容量，

m

為Copula函數(shù)模型中獨立參數(shù)的個數(shù)，

P

，

P

分別為聯(lián)合分布函數(shù)的經(jīng)驗概率和理論概率。

根據(jù)RMSE，AIC，Bias和OLS值越小，所對應的Copula函數(shù)擬合優(yōu)度越高的原則，選取最優(yōu)的Copula函數(shù)來進一步構(gòu)建聯(lián)合重現(xiàn)期模型。

1.2.2 基于Copula函數(shù)的重現(xiàn)期計算

如果

N

是暴雨事件的時間序列長度，

n

是事件的發(fā)生次數(shù)，

E

(

L

)為暴雨事件發(fā)生的平均間隔時間，則有

E

(

L

) =

N

/

n

。

對于暴雨事件而言，傳統(tǒng)的基于單要素的重現(xiàn)期的計算公式為：

基于Copula函數(shù)的雙要素聯(lián)合重現(xiàn)期可以表示為：

基于Copula函數(shù)的雙要素同現(xiàn)重現(xiàn)期可以表示為：

當同時考慮強暴雨災害的2個要素時，聯(lián)合重現(xiàn)期即為某一暴雨要素超過某一特定值時的重現(xiàn)期，而同現(xiàn)重現(xiàn)期是指2個要素都超過某個特定值的重現(xiàn)期。

2 萬州區(qū)暴雨聯(lián)合特征分析

2.1 暴雨要素特征檢驗

對暴雨的3種要素進行描述性統(tǒng)計分析，圖1顯示了暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的頻率直方圖以及擬合的正態(tài)分布曲線，各要素的描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表3。由圖1可知，暴雨要素的數(shù)據(jù)分布都具有一定的非對稱性，而由表3進一步可知，與正態(tài)分布相比，3個暴雨要素總體的數(shù)據(jù)分布較為陡峭，存在右偏。根據(jù)要素的頻率直方圖形態(tài)及偏度、峰度值初步判斷數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，再利用Matlab R2014a軟件分別對變量進行Jarque-Bera正態(tài)性檢驗，返回值都為1，則認為數(shù)據(jù)都拒絕服從正態(tài)分布的假設，表示暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率數(shù)據(jù)都具有非正態(tài)性，考慮用無需假定邊緣分布形式的Copula函數(shù)來進行暴雨多要素的聯(lián)合分布建模。

圖1 暴雨量（a）、暴雨強度（b）和暴雨貢獻率（c）的頻率直方圖Fig.1 Frequency histogram of rainstorm factors(a) quantity, (b) intensity, (c) contribution

表3 描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)表Table 3 Descriptive statistical data table

2.2 邊緣分布選擇估計

令暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的邊緣分布分別為

F

(

p

)、

F

(

i

)和

F

(

r

)，利用Easyfit5.5軟件對各暴雨要素進行多種邊緣分布類型的擬合以及參數(shù)估計，再根據(jù)Anderson-Darling檢驗的結(jié)果，針對各個暴雨要素分別選取最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)。由擬合結(jié)果可知，Gen Extreme Value（廣義極值分布）對于各暴雨要素的擬合效果均較好，通過0.01水平下的假設檢驗的各要素的最優(yōu)邊緣分布類型以及參數(shù)結(jié)果見表4。

2.3 Copula模型構(gòu)建

利用極大似然法，分別選取3種常見的Copula函數(shù)對暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的兩兩組合進行二維Copula模型的擬合，并計算擬合優(yōu)度評價指標，進行優(yōu)度檢驗，相關的參數(shù)和擬合優(yōu)度檢驗值見表5。比較表5中各Copula函數(shù)的RMSE，AIC，Bias以及OLS值，根據(jù)擬合優(yōu)度指標越小模型擬合度越好的擇優(yōu)原則，選取Frank Copula為暴雨強度和暴雨貢獻率的二維聯(lián)合的最優(yōu)Copula分布函數(shù)，選取Clayton Copula函數(shù)作為暴雨量和暴雨量貢獻率、暴雨強度和暴雨量貢獻率的二維聯(lián)合Copula分布函數(shù)。擬合優(yōu)度檢驗的結(jié)果也表明，Copula函數(shù)對暴雨量和暴雨強度的擬合精度更高。

表4 邊緣分布估計結(jié)果Table 4 Distribution functions of rainstorm factors

Kendall秩相關系數(shù)可以用來度量變量變化總體的一致性程度，從而反映變量間的相關性，分別計算基于三種暴雨要素組合最優(yōu)二維聯(lián)合分布的Kendall秩相關系數(shù)，結(jié)果見表6。由表可知，暴雨強度和暴雨貢獻率的同步性較大，各暴雨要素間存在一定的正相關關系。

構(gòu)建3種要素組合的最優(yōu)聯(lián)合分布模型，如圖2所示。從圖2中可以看出，各擬合的Copula函數(shù)模型在上尾和下尾的頻率都相對較大，符合暴雨要素有較多極端值的特征。由Frank Copula模型反映出的要素上下尾頻率都較大的特點，表示在發(fā)生暴雨災害的情況下，同時出現(xiàn)暴雨量小和暴雨強度低、暴雨強度低和暴雨貢獻率小、暴雨量大和暴雨強度高或者暴雨強度高和暴雨貢獻率大的概率更高，而由Clayton Copula模型反映出暴雨量和暴雨貢獻率兩個暴雨要素在上下尾部表現(xiàn)出一定的非對稱結(jié)構(gòu)，尤其在極端下尾呈現(xiàn)出較強的正相關關系。分析可知，各暴雨要素之間的尾部相關性能被不同類型的Copula函數(shù)清晰地定性刻畫出來，為了更加深入地認識Copula函數(shù)模型在暴雨多要素綜合分析中的應用，需要進一步進行基于最優(yōu)Copula函數(shù)的重現(xiàn)期評估。

表5 Copula函數(shù)的參數(shù)估計和擬合優(yōu)度檢驗值Table 5 Parameters and goodness-of-fit measures for the fitted Copula function

表6 基于最優(yōu)Copula函數(shù)的暴雨要素組合Kendall秩相關系數(shù)值Table 6 The correlation coefficients of the combination of rainstorm factors

3 萬州區(qū)暴雨聯(lián)合重現(xiàn)期分析

3.1 暴雨重現(xiàn)期計算

根據(jù)重現(xiàn)期的計算公式（6）—（8），分別計算出基于最優(yōu)Copula函數(shù)的聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，隨著暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的增加，基于不同最優(yōu)Copula函數(shù)模型的聯(lián)合重現(xiàn)期及同現(xiàn)重現(xiàn)期增大。不同暴雨要素組合的聯(lián)合重現(xiàn)期模型的形態(tài)不同，總體來說聯(lián)合重現(xiàn)期對暴雨強度的變化更敏感。暴雨量與暴雨貢獻率的聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期主要分布在0～400和0～20000年，暴雨量與暴雨貢獻率的聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期主要分布在0～5和0～800年，暴雨強度和暴雨貢獻率的聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期主要分布在0～5和0～1500年。聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期對暴雨要素滿足的取值要求不同，不同要素組合的重現(xiàn)期變化趨勢不同，反映了在分析暴雨的重現(xiàn)期時，需要考慮多個要素的影響。

圖2 暴雨要素的Copula函數(shù)分布圖（a）暴雨量和暴雨強度；（b）暴雨量和暴雨貢獻率；（c）暴雨強度和暴雨貢獻率Fig. 2 The joint cumulative distribution of rainstorm factors(a) P&I, (b) P&R, (c) I&R

3.2 暴雨災害聯(lián)合重現(xiàn)期評估結(jié)果比較

表7 顯示了在單變量重現(xiàn)期分別為2、5、10、20、50和100 年的情況下，根據(jù)單變量重現(xiàn)期公式（6）推導出暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的對應取值，再根據(jù)公式（7）和（8）計算出的不同Copula函數(shù)模型對應的暴雨多要素聯(lián)合重現(xiàn)期以及同現(xiàn)重現(xiàn)期取值。

由表7可以看出，聯(lián)合重現(xiàn)期均比單要素重現(xiàn)期小，同現(xiàn)重現(xiàn)期均比單要素重現(xiàn)期大，且隨著單要素重現(xiàn)期取值的增大，多要素重現(xiàn)期與單要素重現(xiàn)期的差別也逐漸增大，同現(xiàn)重現(xiàn)期的增速遠超聯(lián)合重現(xiàn)期的增速。在單變量重現(xiàn)期小于等于2年的情況下，聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期的差別不明顯，但當單要素重現(xiàn)期大于2年時，基于Copula模型的兩種重現(xiàn)期差別較大。

4 結(jié)論與討論

圖3 暴雨要素的二維Copula重現(xiàn)期Fig. 3 The joint return period of the combination of rainstorm factors

1）廣義極值分布對暴雨量、暴雨強度和暴雨貢獻率的擬合效果最好。根據(jù)邊緣分布情況以及擬合優(yōu)度評價結(jié)果，Clayton Copula函數(shù)適合于構(gòu)建暴雨量和暴雨強度以及暴雨強度和暴雨貢獻率兩個的聯(lián)合分布模型，F(xiàn)rank Copula函數(shù)適合于構(gòu)建暴雨強度和暴雨貢獻率的聯(lián)合分布模型。

2）各暴雨要素之間具有一定的正相關，Copula函數(shù)可以直觀清晰地刻畫要素之間的相關關系，適用于分析暴雨多要素的聯(lián)合概率。

3）Copula函數(shù)模型能夠從綜合指標層面反映暴雨多方面的特征，基于暴雨多要素的聯(lián)合重現(xiàn)期以及同現(xiàn)重現(xiàn)期比基于單要素的重現(xiàn)期能夠提供暴雨的綜合信息，可以反映出暴雨災害發(fā)生時的降水集中程度以及暴雨的強度等級。

表7 基于暴雨單要素的重現(xiàn)期和最優(yōu)Copula函數(shù)模型的暴雨多要素重現(xiàn)期Table 7 The return period of rainstorm based on single element and optimal Copula function model